考研数学二分类模拟206

考研数学二分类模拟206一、选择题1.

设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足则______A.u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B.u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C.u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得D.u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得正确答案：A[解析]记则由已知，B≠0，A，C互为相反数，则Δ=AC-B2＜0，所以u(x，y)在D内无极值，则最值在边界处取得。故选A。

本题讨论函数u(x，y)在有界闭区域D上的极值是在D的内部取到还是在D的边界上取到。最值如果在区域内部取到，则一定是极值，将题目中的条件与无条件极值的充分条件联系起来，先判断函数是否可能取到极值。

2.

设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ'y(x，y)≠0。已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是______A.若f'x(x0，y0)=0，则f'y(x0，y0)=0B.若f'x(x0，y0)=0，则0f'y(x0，y0)≠0C.若f'x(x0，y0)≠0，则f'y(x0，y0)=0D.若f'x(x0，y0)≠0，则f'y(x0，y0)≠0正确答案：D[解析]令F=f(x，y)+λφ(x，y)，

若f'x(x0，y0)=0，由(1)式得λ=0或φ'x(x0，y0)=0。当λ=0时，由(2)式得f'y(x0，y0)=0，但λ≠0时，由(2)式及φ'y(x0，y0)≠0得f'y(x0，y0)≠0。

若f'x(x0，y0)≠0，由(1)式，则λ≠0，再由(2)式及φ'y(x0，y0)≠0，则f'y(x0，y0)≠0。故选D。

3.

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]结合二重积分的定义可得

故选D。

4.

设其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，则______A.I3＞I2＞I1B.I1＞I2＞I3C.I2＞I1＞I3D.I3＞I1＞I2正确答案：A[解析]在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有

已知函数cosx在上为单调减函数，于是

因此

故选A。

5.

设平面D由，x+y=1及两条坐标轴围成，则______A.I1＜I2＜I3B.I3＜I1＜I2C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1正确答案：C[解析]显然在D上，则ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，从而有

故选C。

6.

设D为单位圆x2+y2≤1，则______A.I1＜I2＜I3B.I3＜I1＜I2C.I3＜I2＜I1D.I1＜I3＜I2正确答案：D[解析]由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3是y的奇函数，则

积分区域关于y=x对称，从而由轮换对称性可知

由于在D内|x|≤1，|y|≤1，则x6+y6≤x4+y4，则

从而有I1＜I3＜I2。故选D。

7.

设Dk是圆域D={(x，y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，记，则______A.I1＞0B.I2＞0C.I3＞0D.I4＞0正确答案：B[考点]本题考查的是二重积分的性质。[解析]根据极坐标系下二重积分的计算可知

所以I1=I3=0，故选B。

有两种方法可以求解：一是计算每一个积分区域上的二重积分，再比较大小；二是通过观察被积函数y-x在D2，D4的符号，再结合对称性化简之后再进行比较。

8.

设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则

A．不一定存在

B．存在且等于f(0，0)

C．存在且等于πf(0，0)

D．存在且等于正确答案：C[解析]由积分中值定理知

故选C。

二、填空题1.

设则df(x，y，z)|(1,1,1)=______。正确答案：dx-dy[解析]由有

两边分别对x，y，z求偏导，得

代入点(1，1，1)，得

f'x=1，f'y=-1，f'z=0，

故df(x，y，z)|(1,1,1)=dx-dy。

2.

设z=xf(u)+g(u)，且f(u)及g(u)具有二阶连续导数，则正确答案：0[解析]由复合函数求导法则

因此

3.

设，f，φ具有二阶连续导数，则正确答案：yf"(xy)+φ'(x+y)+yφ"(x+y)[解析]由题干可得

4.

设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二阶连续导数，则正确答案：g'(x+y)+xg"(x+y)+2yφ'(xy)+xy2φ"(xy)[解析]由题干可知

5.

设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数z=f(x，xy)，则正确答案：xf"12+f'2+xyf"22[解析]由题干可知

6.

设函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：[解析]令u=xg(y)，v=y，则所以

7.

二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极小值为______。正确答案：[解析]由题干可知

f'x=2x(2+y2)，f'y=2x2y+lny+1。

由

又有

所以则A＞0。

故是f(x，y)的极小值，且

8.

设且z(1，y)=siny，则z(x，y)=______。正确答案：[解析]由有

又根据已知可得

所以

从而

三、解答题1.

求曲线x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。正确答案：解：构造函数

L(x，y)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1)，

且令

得唯一驻点x=1，y=1，即M1(1，1)。

考虑边界上的点，M2(0，1)，M3(1，0)，距离函数在三点的取值分别为f(0，1)=1，f(1，0)=1，因此可知最长距离为，最短距离为1。[解析](1)在计算的时候，本题把目标函数由变成了x2+y2，这是由于x2+y2更便于计算导数，同时与x2+y2取最大值和最小值的点是完全一样的。很多时候，为了计算的简便，都需要对目标函数作平方或是取对数的变化，然后再使用拉格朗日乘数法。

(2)在使用拉格朗日乘数法时要记住“所求即所得”的原则，解出极值点之后无需讨论是极大值还是极小值，如果题目中要求的是最大值，那么所有点中函数值最大的就是最大值，要求最小值亦然。这里求解的关键是要保证求出所有的极值点，这要求在对方程进行变形时必须注意，避免丢根。

2.

求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。正确答案：解：方法一：可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数

F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-4)，

且令

解方程组得

(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(-2，-2，8)。

代入原函数，求得最大值为72，最小值为6。

方法二：问题可转化为一个约束函数的情况，求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在条件x+y+x2+y2=4下的最值，设

F(x，y，λ)=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ(x+y+x2+y2-4)，

目令

解得(x1，y1)=(1，1)，(x2，y2)=(-2，-2)，代入z=x2+y2，得z1=2，z2=8。

同理可得原函数最大值为72，最小值为6。

3.

求|z|在约束条件下的最大值与最小值。正确答案：解：|z|的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令

F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2-2z2)+μ(x+3y+3z-5)。

且令

解得

所以当x=1，时，|z|=1最小；当x=-5，时，|z|=5最大。

4.

求原点到曲面(x-y)2+z2=1的最短距离。正确答案：解：根据题意，要求曲面上的点(x，y，z)到原点的距离在条件(x-y)2+z2=1下达到最小值，运用拉格朗日乘数法。令

F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x-y)2+λz2-λ，

则有

即得

由(3)式，若λ=-1，代入(1)式和(2)式得解得x=0，y=0。代入曲面方程(x-y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。

若λ≠-1，由(3)式解得z=0。由(1)式和(2)式得到x=-y。代入曲面方程(x-y)2+z2=1，得到

故所求的最短距离为

5.

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。正确答案：解：先求在D内的驻点，即

解得

因此在D内只有驻点相应的函数值为f(2，1)=4。

再求f(x，y)在D边界上的最值：

①在x轴上y=0，所以f(x，0)=0；

②在y轴上x=0，所以f(0，y)=0；

③在x+y=6上，将y=6-x代入f(x，y)中，得

f(x，y)=2x2(x-6)，

因此f'x=6x2-24x=0，得x=0(舍)，x=4。所以y=6-x=2。

于是得驻点相应的函数值f(4，2)=x2y(4-x-y)|(4,2)=-64。

综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=-64。

6.

已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值。正确答案：解：根据题意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C'(y)=-2y，因此有C(y)=-y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2-y2+2。

令得可能极值点为x=0，y=0。且

Δ=B2-AC=4＞0，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。

下面讨论其边界曲线上的情形，令拉格朗日函数为

求解

得可能极值点x=0，y=2，λ=4；x=0，y=-2，λ=4；x=1，y=0，λ=-1；x=-1，y=0，λ=-1。

将其分别代入f(x，y)得，f(0，±2)=-2，f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在区域D={(x，y)|x2+≤1}内的最大值为3，最小值为-2。[解析]在求边界上的条件极值点时，可以使用拉格朗日乘数法，如果边界曲线比较简单，也可以将边界的方程直接代入目标函数，将其化简为一元函数再求最大值和最小值。

7.

设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成。计算正确答案：解：根据已知

则有

[解析]直角坐标下选择积分次序的基本原则：一看区域，选择更便于定限的积分次序，尽量避免分类讨论；二看被积函数，评估计算量，选择使得第一步的积分更简单的积分次序。

8.

计算其中D是由y=-x，所围成的平面区域。正确答案：解：x2-2x+y2=0(x-1)2+y2=1；

y=-x与x2+y2=4的交点为；

y=-x与x2-2x+y2=0的交点为(0，0)和(1，-1)；

x2+y2=4与x2-2x+y2=0的交点为(2，0)。

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