考研数学二分类模拟204

考研数学二分类模拟204一、选择题1.

设则f(x，y)在点(0，0)处______A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续正确答案：B[解析]由偏导数定义，有

由对称性知f'y(0，0)=0，而

上式极限不存在。

事实上

故f(x，y)在(0，0)点不可微。故选B。

2.

已知则______A.f'x(0，0)，f'y(0，0)都存在B.f'x(0，0)不存在，f'y(0，0)存在C.f'x(0，0)存在，f'y(0，0)不存在D.f'x(0，0)，f'y(0，0)都不存在正确答案：B[解析]由于

故f'x(0，0)不存在。

所以f'y(0，0)存在。故选B。

3.

已知f'x(x0，y0)存在，则

A．f'x(x0，y0)

B．0

C．2f'x(x0，y0)

D．正确答案：C[解析]由题意

故选C。

4.

设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，Δz是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处______A.Δz=dzB.Δz=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)ΔyC.Δz=f'x(x0，y0)dx+f'y(x0，y0)dyD.Δz=dz+o(ρ)正确答案：D[解析]由于z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则

Δz=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)Δy+o(ρ)=dz+o(ρ)，

故选D。

5.

设则f(x，y)在点(0，0)处______A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微正确答案：D[解析]由

可知

f(x，y)-f(0，0)+2x-y=o(ρ)(当(x，y)→(0，0)时)，

即得

f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+o(ρ)，

由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微。故选D。

6.

考虑二元函数f(x，y)的四条性质：

①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；

②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；

③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；

④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在。

则有______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由于f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，而f(x，y)可微是其连续的充分条件。故选A。

7.

函数f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由

且有

可知，f(x，y)的两个一阶偏导数f'x(x，y)和f'y(x，y)在(0，0)点连续，因此f(x，y)在(0，0)点可微。

故选D。

二、填空题1.

设在点(0，0)处连续，则a=______。正确答案：0[解析]因为

利用夹逼定理知，又知f(0，0)=a，则a=0。

2.

设连续函数z=f(x，y)满足则dz|(0,1)=______。正确答案：2dx-dy[解析]根据以及函数z的连续性可知f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为

或者

根据可微的定义，f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有

f'x(0，1)=2，f'y(0，1)=-1，

dz|(0,1)=2dx-dy。

3.

设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则f'x(0，1，-1)=______。正确答案：1[解析]已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f'x(x，y，z)=ex+y2z'x。在等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+z'x+yz+xyz'x=0。

由x=0，y=1，z=-1，可得z'x=0。

故f'x(0，1，-1)=e0=1。

4.

正确答案：[解析]由题意可知

则可得

5.

设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz|(1,0)=______。正确答案：2edx+(e+2)dy[解析]由已知

因此

dz|(1,0)=2edx+(e+2)dy。

6.

设z=z(x，y)是由方程e2yz+x+y2+z=确定的函数，则正确答案：[解析]在方程e2yz+x+y2+z=两边分别对x，y求偏导，得

7.

设函数f(u)可微，且f'(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz|(1,1)=______。正确答案：4(dx+dy)[解析]由题干可知，dz=f'(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则

dz|(1,1)=f'(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。

8.

设函数f(u)可微，且则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz|(1,2)=______。正确答案：4dx-2dy[解析]直接利用微分的形式计算，因为

所以

三、解答题1.

证明可微的必要条件：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f'x(x0，y0)与f'y(x0，y0)都存在，且

dz|(x0,y0)=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)Δy。正确答案：证明：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则等式成立。令Δy=0，于是

令Δx→0，有于是证明了f'x(x0，y0)与f'y(x0，y0)存在，并且

dz|(x0，y0)=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)Δy。

2.

设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且正确答案：解：在等式u=f(x，y，z)的两端同时对x求导数，得到如下等式

而再在等式φ(x2，ey，z)=0的两端同时对x求导数，得到

解得

因此，可得

3.

设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求正确答案：解：分别在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的两端对x求导，得

整理后得

解得

4.

设z=f(x，y)，其中f，g，φ在其定义域内均可微，求正确答案：解：由z=f(x，y)，有

dz=f'1dx+f'2dy。

由有

解得

代入dz表达式中，得

其中分母不为0。

5.

设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，y=f(ex，cosx)，求正确答案：解：由复合函数求导法则可得

6.

正确答案：解：先求而且f(x)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量；φ(xy)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量。由于且先求方便，由复合函数求导法则得

7.

设其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求正确答案：解：根据复合函数的求导公式，有

于是

8.

设z=f(x2-y2，exy)，其中f具有连续二阶偏导数，求正确答案：解：因为由已知条件可得

9.

设z=f(x+y，x-y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz与