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2025千题百炼——高考数学100个热点问题(二):第35炼形如AD=xACyAB条件的应用含答案第35炼形如条件的应用一、基础知识:1、平面向量基本定理:若平面上两个向量不共线,则对平面上的任一向量,均存在唯一确定的,(其中),使得。其中称为平面向量的一组基底。(1)不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量(2)唯一性:若且,则2、“爪”字型图及性质:(1)已知为不共线的两个向量,则对于向量,必存在,使得。则三点共线当,则与位于同侧,且位于与之间当,则与位于两侧时,当,则在线段上;当,则在线段延长线上(2)已知在线段上,且,则3、中确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示,进而确定(2)若题目中某些向量的数量积已知,则对于向量方程,可考虑两边对同一向量作数量积运算,从而得到关于的方程,再进行求解(3)若所给图形比较特殊(矩形,特殊梯形等),则可通过建系将向量坐标化,从而得到关于的方程,再进行求解二、典型例题:例1:在中,为边的中点,为的中点,过点作一直线分别交于点,若,则的最小值是()A.B.C.D.思路:若要求出的最值,则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图,所以,其中,下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系:且,所以,因为,所以,由平面向量基本定理可得:,所以,所以,而,所以答案:A例2:如图,在中,,是上的一点,若,则实数的值为()A.B.C.D.思路:观察到三点共线,利用“爪”字型图,可得,且,由可得,所以,由已知可得:,所以答案:C例3:在平面内,已知,设,则等于()A.B.C.D.思路:所求为,可以考虑对两边同时对同一向量作数量积,从而得到的方程,解出,例如两边同对作数量积,可得:,因为,,所以有,同理,两边对作数量积,可得:,即,所以,通过作图可得或,从而,代入可得:答案:B小炼有话说:(1)当向量等式中的向量系数含参时,可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数,则可根据字母的个数确定构造方程的数量(2)本题也可通过判定,从而想到建立坐标系通过坐标解出,进而求出例4:如图,在正六边形中,点是内(包括边界)的一个动点,设,则的取值范围是()A.B.C.D.思路:因为为动点,所以不容易利用数量积来得到的关系,因为六边形为正六边形,所以建立坐标系各个点的坐标易于确定,可得:,则,所以设,则由可得:,因为在内,且,所以所满足的可行域为,代入可得:,通过线性规划可得:答案:例5:已知,则与的夹角的余弦值为__________思路:若要求与的夹角,可联想到,所以只需确定与,由一方面可以两边同时对作数量积得到,另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出,进而求出解:且答案:例6:如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则的值为_______思路一:由图像可得:,由此条件中可提供的模长及相互的夹角,若要求得,可考虑求出的值。则需要两个方程。对两边同时对作数量积,即,由,可得:,再将两边对作数量积,则,即,所以,即思路二:从图形中可想到建系,得到的坐标,从而利用坐标可求得的值:如图建系可得:,所以,从而可得,所以答案:6例7:已知在中,为的外心,,且,则___________思路:通过观察条件发现很难从几何方向直接求,从而考虑利用计算数量积,如何利用这个条件呢?对于已知可以考虑等式两边对同一向量作数量积,从而得到关于的实数方程。由于是外心,进而在上的投影为各边的中点,所以可用数量积的投影定义计算出,结合所求,可确定两边同时与作数量积即可。解:由,可得:(*)在上的投影向量为(为中点),同理:所以(*)变形为:小炼有话说:对于形如,若想得到关于的方程,可以考虑对同一向量作数量积即可,而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。例8:给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_____.思路:所求的最值,可考虑对等号两边对同一向量作数量积,从而转化为的等式:即即,从而可发现,所以只需求得的最大值,其中根据扇形的特点可知的终点为的中点,即,所以,只需最大即可。可知重合时,,所以的最大值为答案:例9:已知是外接圆的圆心,为的内角,若,则的值为()A.B.C.D.思路:本题所求与等式中的系数相关,是外心所以在上的投影为两边中点,考虑两边同时对做数量积,再结合正弦定理变形等式即可解:可得:(*),因为是外心(*)变形为在中,设外接圆半径为,即,且(*)变形为:例10:已知的外接圆圆心为,且满足,且,,则()A.B.C.D.思路:由外接圆的性质可知在上的投影为中点,所以考虑对两边同时对作数量积,从而得到系数的关系:,因为,所以有,再结合,解三元一次方程组即可得到:答案:A三、历年好题精选1、如图,在正方形中,为的中点,是以为圆心,为半径的圆弧上的任意一点,设,则的最小值为__________答案:2、(2016,郑州一测)已知点,,,平面区域是由所有满足的点组成的区域,若区域的面积为,则的最小值为________.3、(2015,北京)在中,点,满足.若,则 ; .4、(2015,新课标I)设为所在平面内一点,且,则()A.B.C.D.5、(安徽六校联考)如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若存在最大值,则的取值范围为()A.B.C.D.6、(2016,河南中原第一次联考)在直角梯形中,为边上一点,为中点,则()A.B.C.D.7、如图,在直角梯形中,,动点在以点为圆心,且与直线相切的圆上或圆内移动,设,则的取值范围是()A.B.C.D.OACBDP8、如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内(含边界)的动点,设,则的最大值等于__________OACBDP9、在中,,若(是的外心),则的值为___________10、在中,边,过作于,且,则________11、如图,是圆的直径,是圆上的点,且若,则()A.B.C.D.12、如图,将的直角三角板和的直角三角板拼在一起组成平面四边形,其中的直角三角板的斜边与的直角三角板的所对的直角边重合,若,则分别等于()A.B.C.D.13、如图,在中,,过点的直线分别交射线于不同的两点,若,则的最小值为()A.B.C.D.14、在中,点在线段的延长线上,且,点在线段上(与不重合),若,则的取值范围是________15、已知在中,,点为的外心,若,则有序实数对为()A.B.C.D.习题答案:1、解析:本题所处图形为正方形与圆的一部分,所以考虑建系处理,以为轴建立坐标系。设正方形边长为单位长度,则,点所在圆方程为,设则,,,由得:,解得:设令,所以:由可得:,结合分式的单调性可得当时,达到最小值,即2、答案:解析:设,,∵,∴.∴,∴,∵∴,即∴表示的可行域为平行四边形,如图:由,得,由,得,∴,∵到直线的距离,∴,∴,∴,∴,.3、答案:解析:,所以4、答案:A解析:由图可想到“爪字形图得:,解得:5、答案:D解析:以为轴建立坐标系,设,则,,由可得:,若存在最大值,则存在极值点在有零点令,因为,解得:6、解析:取的中点,连结,,则,所以,=,于是==7、答案:C解析:由直角梯形可知依直角建立坐标系,则,直线圆的半径设,由可得:在圆内设,则,其中由可知,且所以8、答案:解析:可依直角建立坐标系,则设,则有,由图可得所在的区域为不等式组:所求,利用线性规划可得:的最大值为,最优解在处取得9、答案:解析:由可得:由是的外心可得:,所以10、答案:解析:,由可得:,所以即另一方面,由三点共线可得:,所以解得:,所以11、答案:A解析:以圆为单位圆建系,可得由图可知,所以,由可得:从而12、答案:D解析:可如图以所在直线为轴建立坐标系,以为单位长度,则只需求出点坐标即可,由已知可得:,联立方程可解得,所以可得:13、答案:D解析:连结,由“爪字型”图的模型可知,因为,代入可得:①,在中,由三点共线以及①可得:,所以,设,则,因为,所以可得的最小值在处取得,即14、答案:解析:设15、答案:A解析:为的外心由可得:解得:,所以为第36炼向量的数量积——寻找合适的基底在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题,如果无法寻找到计算数量积的要素(模长,夹角)那么可考虑用合适的两个向量(称为基底)将两个向量表示出来,进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法一、基础知识:(一)所涉及的平面向量定理及数量积运算法则:1、平面向量基本定理:若向量为两个不共线的向量,那么对于平面上任意的一个向量,均存在唯一一对实数,使得。其中成为平面向量的一组基底。(简而言之,不共线的两个向量可以表示所有向量)2、向量数量积运算,其中为向量的夹角3、向量夹角的确定:向量的夹角指的是将的起点重合所成的角,其中:同向:反向:4、数量积运算法则:(1)交换律:(2)系数结合律:(3)分配律:因为向量数量积存在交换律与分配律,才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同:例如:5、若,则由此可见,只要知道基底的模与数量积,以及将用基底表示出来,则可计算(二)选择合适基底解题的步骤与技巧:1、如何选择“合适”的基底:题目中是否有两个向量模长已知,数量积可求呢?如果有,那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可以边所成向量作基底的图形有:等边三角形,已知两边的直角三角形,矩形,特殊角的菱形等。2、向量的表示:尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示,常用的方法有:(1)向量的加减运算 (2)“爪”字型图:在中,是上的点,如果,则,其中知二可求一。特别的,如果是边上的中线,则3、计算数量积:将所求向量用基地表示后,代入到所求表达式计算即可,但在计算过程中要注意基底的夹角二、例题精炼例1:如图,在中,是边上一点,,则_______________思路:模长未知(尚可求出),夹角未知,所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底,,可计算出,进而对于,模长均已知,数量积已求,条件齐备,适合作为基底。用表示:,,答案:例2:如图,已知在中,,则______思路:观察条件,很难直接利用公式求解.考虑选择两个向量表示,条件中(数量积有了),(模长有了),所以考虑用作为基底。下一步只需将表示出来,(底边比值——联想到“爪”字型图),解得:所以答案:例3:在边长为1的正三角形中,设,则__________思路:如图,等边三角形三边已知,夹角已知,由此对于三边所成的向量,两两数量积均可计算,所以考虑用三边向量进行表示,表示的方法很多,例如观察“爪”字形图可得,(注意向量夹角)答案:小炼有话说:这道题由于是等边三角形,故可以建系去做,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴。坐标完成之时,就是计算的完成之日,且此法在计算上更为简便。例4:如图,在中,已知,点分别在边上,且,点为中点,则的值是()A.B.C.D.思路:在本题中已知及两个向量的夹角,所以考虑将作为一组基底。则考虑将用进行表示,再做数量积即可解:且,所以有:由已知可得:答案:C例5:已知向量的夹角是,且,若,且,则实数的值是____________思路:题中模长夹角已知,所以选择它们作为基底,表示,再根据求出即可解:即①①式变为:解得答案:例6:在边长为的正三角形中,,则的最大值为___________答案:思路:所给为等边三角形,则三边所成向量两两数量积可解。所以用三边向量将表示出来,再作数量积运算并利用消元即可求出最值解:且等号成立条件:答案:小炼有话说:(1)本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决:(2)在消元时要注意,如果所消去的元本身有范围,则这个范围由主元来承担,比如本题中用把消掉,则所满足的条件除了已知的之外,还有,即例7:如图,在四边形中,是等边三角形,则的值为_____________思路:从条件中可分析,的边所成的向量两两之间数量积可求,其公共边为,所以以作为突破口,所求数量积中只有需要转换,可得,所以,进而可解解:在中,在等边三角形中,答案:小炼有话说:(1)在求时要注意夹角不是,而是它的补角!(2)在求也可以用投影定义来解,即在上的投影为,所以例8:如图,四边形满足,若是的中点,则()A.B.

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