2.1两角和与差的余弦公式及其应用课件高一下学期数学北师大版

第四章三角恒等变换2.1两角和与差的余弦公式及其应用北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.能利用三角函数的定义与向量知识推导出两角和与差的余弦公式.2.掌握两角和与差的余弦公式,能够运用公式解决相关问题.3.体会公式运用中一般与特殊的转化关系.基础落实·必备知识全过关知识点一

两角差的余弦公式

如图,设角α,β的终边与单位圆的交点分别记为P,Q.此时,点P和点Q的坐标分别为(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ).如果0≤α-β≤π,由于向量

和向量

都是单位向量,它们的夹角是α-β,根据向量数量积的定义知,=cos(α-β),再利用向量的坐标表示,得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.所以对于任意角α,β来说,上述结论仍然成立.这样,就得到了两角差的余弦公式:cos(α-β)=

,记作Cα-β.

cosαcosβ+sinαsinβ过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cosα-cosβ.(

)(3)cos54°cos24°+cos36°sin24°=cos30°.(

)××√知识点二

两角和的余弦公式这里用的是加法和减法运算的联系.因为Cα-β中对任意α,β都成立,所以把其中的β换成-β也一定成立因为α+β=α-(-β),所以由公式Cα-β,得cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=

.

这就是两角和的余弦公式,记作Cα+β.cosαcosβ-sinαsinβ名师点睛公式中的角α,β是任意的,要注意公式的逆用、变形应用.两角和的余弦值等于两角的余弦之积减去正弦之积.名称公式简记符号条件两角和的余弦cos(α+β)=cos

αcos

β-sin

αsin

βCα+βα,β∈R两角差的余弦cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsin

βCα-β过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)不存在角α,β,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(2)对于任意角α,β,总有cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(3)对于任意角α,β,总有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)××√×2.在cos(α±β)的公式中,α,β可以是几个角的组合吗?提示

可以.重难探究·能力素养全提升探究点一利用两角和与差的余弦公式解决给角求值问题【例1】

求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα;(2)cos

75°cos

15°-sin

75°sin

195°=cos

75°cos

15°+sin

75°sin

15°=cos(75°-15°)=cos

60°=.(3)cos(α+45°)cos

α+sin(α+45°)sin

α=cos

[(α+45°)-α]=cos

45°=.规律方法

利用公式Cα-β求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值.在转化过程中,要充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值.变式训练1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解

(1)sin

46°cos

14°+sin

44°cos

76°=sin(90°-44°)cos

14°+sin

44°cos(90°-14°)=cos

44°cos

14°+sin

44°sin

14°=cos(44°-14°)=cos

30°=.(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos

[(θ+70°)-(θ+10°)]=cos

60°=.探究点二利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题规律方法

给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:探究点三利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题规律方法

解决三角函数给值求角问题的方法步骤(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某种三角函数值,最好选取在上述范围内单调的三角函数;(3)结合三角函数值及角的范围求角.B本节要点归纳1.知识清单:(1)两角和与差的余弦公式的推导;(2)给角求值,给值求值,给值求角.2.方法归纳:构造法.3.常见误区:(1)公式中符号易弄反;(2)求角时易忽视角的范围.成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练1.(多选)下列各式化简正确的是(

)A.cos80°cos20°-sin80°sin20°=cos100°B.cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°C.sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=cos45°ABC解析

根据两角和与差的余弦公式知,A,B,C均正确,D选项错误.12345678910111213141516A12345678910111213141516C12345678910111213141516BCD1234567891011121314151612345678910111213141516AC123456789101112131415166.化简cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=

.

123456789101112131415167.已知sinα=,α是第二象限角,则tanα=

,cos(α+60°)=

.

1234567891011121314151612345678910111213141516B级关键能力提升练A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数D12345678910111213141516A12345678910111213141516ABCD12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151613.在△ABC中,A,B,C为三个内角,向量p=(cosB,-sinB),q=(cosC,sinC),且(q-2p)⊥q,则A=

.

123456789101112131415161234567891011121314151615.如图,在平面直角坐标系的单位圆O中,设∠AOx=α,∠BOx=β,∠AOB=α-β.(1)利用单位圆、向量知识证明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516C级学科素养创新练16.在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1).(2)若角β满足下列三个条件之一:①锐角