1.1.2数列的函数特性课件高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列1.2数列的函数特性北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.能从函数的单调性方面研究数列的特性,并能画出有规律的简单数列的图象.2.了解数列的函数特性.基础落实·必备知识一遍过知识点

数列的增减性一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列.

如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列.注意n∈N+如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.注意n∈N+名师点睛1.数列的增减性可以借助数列对应的图象直观理解,数列是一种特殊的函数,可以把数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数.2.数列的图象是平面直角坐标系内的一串点.思考辨析1.数列0,1,0,1,…是常数列吗?提示

根据常数列的定义知,常数列的各项均相等,故此数列不是常数列.2.已知函数f(x)=x2-1,当x=1,2,3时对应的函数值分别是什么?这三个函数值按由小到大排列成一个数列,请作出该数列的图象.提示

该数列为0,3,8,其图象如图所示.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.(

)(2)无穷数列不可能是常数列.(

)(3)常数列就是每一项都是常数的数列.(

)(4)数列可以看作一个函数,其项就是项数的函数.(

)×××√2.在数列{an}中,,则{an}(

)A.是常数列B.无法判断数列{an}的增减性C.是递增数列D.是递减数列D重难探究·能力素养速提升探究点一数列与函数的关系【例1】

根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来.(1)an=(-1)n+2;解

(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图象如图所示.规律方法

数列是一个特殊的函数,因此也可以用图象来表示,以位置序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,an),描点画图,就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其图象是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.探究点二数列的增减性角度1.数列增减性的判断【例2】

(1)作出下列数列的图象,并根据图象判断数列的增减性.①数列{an}的通项公式是an=2n+3;②数列{bn}的通项公式是bn=.解

①作图如下:由图知数列{an}是递增数列.②作图如下:由图知数列{bn}是递减数列.(2)已知数列{an}的通项公式

(n∈N+),试判断该数列的增减性.规律方法

数列增减性的判断方法

变式训练2[人教B版教材例题]已知函数f(x)=,设数列{an}的通项公式为an=f(n),其中n∈N+.(1)求证:0≤an<1;(2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.角度2.利用数列的增减性求参数

【例3】

设函数

数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(

)D规律方法

利用数列{an}的增减性解决问题时,要结合函数单调性的知识,同时要注意数列本身的特性,如n的取值是正整数.变式训练3已知数列{an}满足

(n∈N+),若对于任意n∈N+都有an>an+1,则实数a的取值范围是

.

探究点三数列的最值【例4】

(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N+.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.分析①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.解

①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N+,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项的项数为第9,10项,规律方法

求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如增减性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.变式训练4(1)已知数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则数列{an}各项中最大项是(

)A.第13项 B.第14项C.第15项 D.第16项C解析

根据题意,数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则an-1=-3(n-1)2+88(n-1)=-3n2+94n-91,则an-an-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91,当1≤n≤15时,an-an-1>0,即an>an-1,当n≥16时,an-an-1<0,即an<an-1,故数列{an}各项中最大项是第15项,故选C.★(2)已知数列{an}的通项公式为an=2n×0.9n,求数列{an}中的最大项.本节要点归纳1.知识清单:(1)数列的分类.(2)数列增减性的判断.(3)数列的最大值和最小值.2.方法归纳:等价转化、分类讨论.3.常见误区:忽略n∈N+.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1819201.[探究点二(角度1)](多选题)若数列{an}为递减数列,则{an}的通项公式可能为(

)A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1C.an=

D.an=1AC解析

可以利用数列的函数特性一一判断,A,C中数列为递减数列,B中数列既不是递增数列,也不是递减数列,D中数列是常数列.故选AC.12345678910111213141516171819202.[探究点一]函数f(x)定义如表,数列{xn}满足x1=2,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2023等于(

)x12345f(x)51342A.1 B.2 C.4 D.5B解析

根据定义,可得x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=2,x5=f(x4)=1,x6=f(x5)=5,…,所以周期为3,故x2

023=x1=2.1234567891011121314151617181920B12345678910111213141516171819204.[探究点三]在数列{an}中,若an=n(n-8)-20,则该数列从第

项开始递增,数列的最小值为

.

4-36解析

由题意得,an+1-an=2n-7,令2n-7>0,得n>,故数列{an}从第4项开始递增.an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,故当n=4时,{an}的最小值为a4=-36.12345678910111213141516171819205.[探究点二(角度2)]已知对于任意的正整数n,an=n2+λn,若数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是

.

(-3,+∞)解析

∵{an}是递增数列,∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0,对于任意的正整数n恒成立,即λ>-2n-1对于任意的正整数n恒成立,又n∈N+,当n=1时,(-2n-1)max=-3,∴λ>-3.12345678910111213141516171819206.[探究点一·2024江苏苏州期末](1)当自变量x依次取1,2,3,…时,函数f(x)=2x+1的值构成数列{an},写出这个数列的前5项,并作出它的图象;(2)数列{an}的通项公式为

写出这个数列的前10项,并作出它的图象.1234567891011121314151617181920解

(1)根据题意,依次将x的值代入函数f(x)=2x+1,可得数列的前5项依次为3,5,7,9,11,其图象如下:123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819207.[探究点二(角度1)、探究点三]已知数列{an}的通项公式为,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项.1234567891011121314151617181920当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1<a2<a3<a4,当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4,当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…,所以{an}从第1项到第4项递增,从第5项起递减.1234567891011121314151617181920B级关键能力提升练8.已知,则数列{an}中相等的连续两项是(

)A.第9项,第10项 B.第10项,第11项C.第11项,第12项 D.第12项,第13项B解析

假设an=an+1,则有

,解得n=10,所以相等的连续两项是第10项和第11项.12345678910111213141516171819209.已知数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N+).若数列{an}是常数列,则a=(

)A.-2 B.-1 C.0 D.(-1)nA123456789101112131415161718192010.对任意的a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象是(

)A123456789101112131415161718192011.

已知数列{an}满足,则当an取得最小值时n的值为(

)A.2024 B.2023或2022C.2022 D.2022或2021D123456789101112131415161718192012.(多选题)下列数列{an}中是递增数列的是(

)BD1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192013.(多选题)已知函数f(x)=-x2+2x+1,设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+),则此数列(

)A.图象是二次函数y=-x2+2x+1的图象B.是递减数列C.从第3项往后各项均为负数D.有两项为1BC123456789101112131415161718192014.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}中的最大项为

.

a8和a912345678910111213141516171819201123456789101112131415161718192016.数列

中的最大项为