4.1.2乘法公式与全概率公式课件高二上学期数学人教B版选择性

第四章概率与统计4.1.2乘法公式与全概率公式人教B版

数学

选择性必修第二册课程标准1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.*3.了解贝叶斯公式.基础落实·必备知识全过关知识点

乘法公式与全概率公式1.乘法公式:由条件概率的计算公式P(B|A)=可知,P(BA)=

,这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.

P(A)P(B|A)2.全概率公式:全概率可理解为事件的和与乘法公式的综合应用P(A)P(B|A)定理1

若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:(1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且上述公式也称为全概率公式.*3.贝叶斯公式:一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有

这称为贝叶斯公式.定理2

若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:(1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B,有上述公式也称为贝叶斯公式.过关自诊1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=

.

2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B|)=0.4,则P(B)=

.

3.袋子中有三个红球、一个黑球,不放回地摸球,则第二次摸到红球的概率是

.

0.06解析

P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.0.35解析

用A1表示“第一次摸到红球”,A2表示“第二次摸到红球”,B1表示“第一次摸到黑球”,由全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)重难探究·能力素养全提升探究点一乘法公式【例1】

[北师大版教材例题]已知口袋中有3个黑球和7个白球,这10个球除颜色外完全相同.(1)先后两次从中不放回地各摸出一球,求两次摸到的均为黑球的概率;(2)从中不放回地摸球,每次各摸一球,求第三次才摸到黑球的概率.解

设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i=1,2,3),则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”.变式探究

本例中条件不变,求先后两次从中不放回地各摸出一球,第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.规律方法

乘法公式求概率的关注点(1)来源:乘法公式是条件概率公式的变形式.(2)适用情境:求P(AB)时可用乘法公式.变式训练1[北师大版教材习题]甲、乙两人参加面试,每人的试题通过不放回抽签的方式确定.假设被抽的10个试题签中有4个是难题签,按甲先乙后的次序抽签.(1)求甲抽到难题签的概率;(2)若甲抽到难题签,求乙也抽到难题签的概率;(3)求甲和乙都抽到难题签的概率.解

设事件A表示“甲抽到难题签”,事件B表示“乙抽到难题签”.(1)甲抽到难题签的概率(2)若甲抽到难题签,则乙也抽到难题签的概率为(3)甲和乙都抽到难题签的概率为探究点二全概率公式【例2】

[人教A版教材习题]现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率.变式训练2从5件正品、2件次品中不放回地取出2件,则第二次取出正品的概率是

.

探究点三贝叶斯公式【例3】

[人教A版教材例题]有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.解

设B表示“任取一个零件为次品”,Ai表示“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.根据题意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052

5.(2)“如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.规律方法

贝叶斯公式的理解(1)贝叶斯公式可以看作是全概率公式和条件概率公式的综合应用.(2)贝叶斯公式可用于责任承担的评估,像例题中计算得到3号车床的责任份额最大.变式训练3[人教A版教材习题]在A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.

解

设A表示“选取的人患流感”,用B1,B2,B3分别表示“选取的人来自A,B,C地区”,成果验收·课堂达标检测123456789101112A级必备知识基础练B1234567891011122.[探究点二]已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,则一辆汽车中途停车修理的概率为(

)B123456789101112B1234567891011124.[探究点三]两批同规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取一件,则这件产品合格的概率是

,已知取得的产品是合格品,则它取自第一批产品的概率是

.

0.956解析

设A1表示“产品取自第一批产品”,A2表示“产品取自第二批产品”,B=“取得的产品为合格品”,根据题意P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.96.由全概率公式,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956,由贝叶斯公式,1234567891011121234567891011125.[探究点一·人教A版教材例题]已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?123456789101112B级关键能力提升练6.[2023江苏南京天印高级中学高二期中]设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为

.现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(

)A.0.08 B.0.1

C.0.15

D.0.2A解析

以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,1234567891011121234567891011127.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,病人中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S.则(

)A.任意一位病人有症状S的概率为0.02B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25ABC123456789101112解析

P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,由全概率公式得1234567891011128.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以A1,A2和A3表示由甲箱取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是(

)A.事件B与事件Ai(i=1,2,3)相互独立BD1234567891011129.甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中5个红球、5个白球,乙箱中8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲箱中摸出1个球;如果点数为3,4,5,6,从乙箱中摸出1个球,则摸到红球的概率是

.

12345678910111210.有两台车床加工同一型号的零件,第1台车床加工的次品率为5%,第2台车床加工的次品率为6%,加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%,55%,则任取一个零件是次品的概率为

.

0.055

5

解析

依题意,任取一个零件,它是次品的概率为5%×45%+6%×55%=5.55%.12345678910111211.有3箱同种型号零件,里面分别装有50件、30件、40件,而且一等品分别有20件、12件和24件,现在任取一箱,从中不放回地先后取出2个零件.(1)求先取出的零件是一等品的概率;(2)求两次取出的零件均为一等品的概率.(结果保留两位小数)123456789101112解

(1)记事件Ai表示“任取的一箱为第i箱零件”,则i=1,2,3;记事件Bj表示“第j次取到的是一等品”,则j=1,2.123456789101112123456789101112C级学科素养创新练12.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记