2024-2025学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念（4）教案 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念（4）教案新人教A版必修第一册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是高中数学新人教A版必修第一册第五章“三角函数”中的5.2节“三角函数的概念（4）”。内容主要包括：进一步理解正弦、余弦、正切函数的定义，探讨三角函数在单位圆上的表示方法，以及初步了解三角函数的周期性。这部分教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在前面的学习中已经掌握了锐角三角函数的基本概念，理解了正弦、余弦、正切函数的基本性质，并能够运用这些知识解决一些简单的实际问题。在此基础上，本节课将进一步深化学生对三角函数概念的理解，为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。核心素养目标分析本节课的核心素养目标旨在培养学生以下几方面的能力：首先，通过探究三角函数在单位圆上的表示方法，提高学生的几何直观和空间想象能力；其次，通过分析三角函数的周期性，培养学生的抽象概括能力；最后，通过解决实际问题时运用三角函数，强化学生的数学建模和问题解决能力。这些核心素养目标与新课标要求相契合，旨在让学生在掌握三角函数概念的基础上，提升数学思维品质，为未来的学习和生活打下坚实基础。重点难点及解决办法重点：1.三角函数在单位圆上的表示方法；2.三角函数的周期性。

难点：1.理解三角函数在单位圆上表示的几何意义；2.掌握三角函数周期性的推导和应用。

解决办法及突破策略：

1.对于重点一，通过动态演示和实际操作，让学生观察单位圆上各点的坐标变化，从而直观理解三角函数的表示方法。结合实际例题，让学生动手画图，加深对几何意义的理解。

2.针对难点一，设计小组讨论环节，让学生相互交流，分享各自对三角函数在单位圆上表示方法的理解，以达到共同提高。

3.对于重点二，通过引入实际生活中的周期性现象，如四季更替、潮汐变化等，帮助学生理解周期性的概念。结合数学实例，引导学生发现和总结三角函数的周期规律。

4.针对难点二，通过讲解和练习，让学生掌握周期性的推导方法，并能熟练应用于解决实际问题。同时，设置分层练习，使不同水平的学生都能在原有基础上得到提高。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教A版必修第一册数学教材，方便学生跟随课堂进度查阅相关内容。

2.辅助材料：准备三角函数在单位圆上表示的动态演示视频、图表以及实际生活中的周期性现象图片，以增强学生的直观理解。

3.实验器材：准备单位圆模型、量角器等实验器材，供学生动手操作，加深对三角函数概念的理解。

4.教室布置：将教室划分为讲解区、讨论区及实验操作台，便于学生进行小组讨论和实验操作，创造良好的学习氛围。教学过程1.导入新课

同学们，我们在上一节课已经学习了三角函数的基本概念，今天我们将进一步探讨三角函数在单位圆上的表示方法以及它的周期性。请大家打开教材第五章“三角函数”的5.2节，我们一起来看看今天的课程内容。

2.复习与新课联系

在开始新课之前，我们先来复习一下。谁能告诉我，我们已经学过的正弦、余弦、正切函数的定义是什么？嗯，小明同学回答得很好。那么，这些三角函数与单位圆有什么关系呢？这就是我们今天要学习的内容。

3.探究三角函数在单位圆上的表示方法

（1）动态演示

首先，我给大家播放一个动态演示视频，请大家认真观察视频中的单位圆和三角函数的变化。

（2）小组讨论

看完视频后，请大家以小组为单位，讨论以下问题：

-三角函数在单位圆上的表示方法是什么？

-这种表示方法有什么几何意义？

讨论时间约为10分钟，大家可以互相交流，共同探讨。

（3）分享与总结

讨论结束后，请各小组派代表分享你们的讨论成果。好的，第一小组的代表说，三角函数在单位圆上的表示方法是通过单位圆上的点与坐标轴的交点来表示的。这种表示方法有助于我们直观地理解三角函数的值。其他小组还有要补充的吗？

4.理解三角函数的周期性

（1）实例引入

请大家观察这张图表，这是我国某地一天内的温度变化情况。我们可以发现，温度在一天之内呈现出周期性变化。同样，三角函数也具有周期性。

（2）周期性推导

那么，三角函数的周期性是如何推导出来的呢？请大家看教材上的例题5.2-3，我们一起来看一下。

（3）实践操作

现在，请大家拿出单位圆模型和量角器，我们一起来验证一下三角函数的周期性。具体操作步骤如下：

-将单位圆模型放在桌面上，用直尺和量角器测量出角度为30°的正弦值和余弦值；

-然后，将角度增加到150°，再次测量正弦值和余弦值；

-对比两次测量结果，看看有什么发现？

5.课堂总结

今天我们学习了三角函数在单位圆上的表示方法以及它的周期性。通过动态演示、小组讨论、实践操作等方式，大家对这部分内容有了更深入的理解。希望大家课后能继续巩固所学知识，为下一节课的学习打下坚实基础。

6.作业布置

请大家完成教材上的习题5.2-1、5.2-2，并思考以下问题：

-三角函数的周期性在实际生活中有哪些应用？

-如何将三角函数的周期性应用于解决实际问题？

下节课我们将分享大家的思考成果，共同探讨三角函数的应用。今天的课就到这里，同学们，再见！拓展与延伸1.拓展阅读材料

为了帮助大家更好地理解三角函数的概念及其应用，我推荐以下拓展阅读材料：

-《数学趣味读物：三角函数的故事》

-《数学探究：从单位圆到三角函数》

-《数学建模实例：三角函数在实际问题中的应用》

这些材料将为大家提供一个更广阔的视角，帮助你们了解三角函数的发展历程、数学家们的研究成果以及在实际问题中的应用。

2.课后自主学习和探究

（1）研究三角函数的历史

了解三角函数的起源和发展过程，研究古代数学家如何发现和运用三角函数，从而加深对三角函数的理解。

（2）探索三角函数在其他学科的应用

同学们可以尝试查找三角函数在物理学、工程学、地理学等领域的应用实例，例如：

-在物理学中，三角函数如何描述简谐运动？

-在工程学中，三角函数如何应用于建筑设计？

-在地理学中，三角函数如何帮助测量地球表面？

（3）研究三角函数的衍生概念

同学们可以进一步研究三角函数的衍生概念，如反三角函数、双角公式等，并尝试理解它们在实际问题中的应用。

（4）开展数学实践活动

组织一次数学实践活动，让同学们分组合作，运用三角函数解决实际问题。例如，测量学校旗杆的高度、计算建筑物之间的距离等。

（5）撰写数学小论文

鼓励同学们结合所学知识，撰写一篇关于三角函数应用的小论文。可以是自己解决问题的过程，也可以是对三角函数在实际问题中应用的思考。板书设计①重点知识点：

-三角函数在单位圆上的表示方法

-正弦、余弦、正切函数的周期性

-周期性的推导和应用

②重点词句：

-单位圆上的点表示

-周期性：周期、频率

-实际应用：简谐运动、建筑测量

③艺术性与趣味性：

-使用不同颜色的粉笔，突出重点知识，如周期性用红色标出，表示方法用蓝色强调。

-设计简洁有趣的图形，如单位圆的示意图，以及三角函数波形图，增强视觉效果。

-结合生活实例，如画出一天温度变化的波形图，让学生在欣赏板书的同时，理解周期性的实际意义。

-创设互动环节，如在板书上预留空间，让学生上台填写周期性的推导过程，提高课堂参与度。重点题型整理1.计算题：已知角α的终边与单位圆交点P的坐标为（√3/2，1/2），求角α的正弦值、余弦值和正切值。

解答：

由题意得，sinα=1/2，cosα=√3/2，tanα=sinα/cosα=(1/2)/(√3/2)=1/√3。

2.应用题：一辆秋千在竖直平面内做简谐运动，其周期为4秒。求秋千摆动的角频率。

解答：

简谐运动的周期T与角频率ω的关系为：T=2π/ω。

代入题目中的周期T=4秒，得ω=2π/4=π/2。

3.计算题：已知正弦函数f(x)=sinx，求f(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。

解答：

正弦函数在区间[0,π]内单调递增，在区间[π,2π]内单调递减。

当x=π/2时，sinx取得最大值1；

当x=3π/2时，sinx取得最小值-1。

4.证明题：证明三角函数sin(x+π)=-sinx和cos(x+π)=-cosx。

解答：

根据三角函数的周期性，有sin(x+π)=sinx和cos(x+π)=cosx。

又因为sin(-x)=-sinx和cos(-x)=cosx，所以sin(x+π)=-sinx和cos(x+π)=-cosx。

5.应用题：一艘船在距海岸线垂直距离为500米的A点，从A点出发向正东方向航行，船的航速为10米/秒。求船在t秒后距离海岸线的距离。

解答：

设船在t秒后的位置为B点，则AB=10t。

由直角三角形的性质，可得船在t秒后距离海岸线的距离为AC=√(500^2+(10t)^2)=√(25000+100t^2)。课堂1.课堂评价

（1）提问环节

在课堂教学中，通过提问可以了解学生对三角函数概念的理解程度。针对不同难度的知识点，设计不同层次的问题，观察学生的回答情况，及时发现问题并给予解答。

（2）观察环节

在课堂实践操作和小组讨论中，观察学生的参与程度、合作能力和解决问题的能力。对于表现优秀的学生，给予表扬和鼓励；对于学习困难的学生，及时给予指导和帮助。

（3）测试环节

2.作业评价

（1）作业批改

对学生的作业进行认真批改，关注学生的解题思路、计算过程和结果。在批改过程中，发现学生的错误，标注出来，并在旁边给予提示或解答。

（2）作业点评

在课堂上，对学生的作业进行点评，指出普遍存在的问题和典型错误，分析原因，帮助学生巩固知识点。

（3）反馈与鼓励

及时将作业评价结果反馈给学生，对于成绩优秀的学生，给予表扬和鼓励，激发他们的学习积极性；对于成绩不理想的学生，鼓励他们找出问题所在，继续努力，提高学习成绩。教学反思与改进在教学过程中，我注意到了一些需要改进的地方。首先，我发现部分学生对三角函数在单位圆上的表示方法理解不够深入。为了解决这个问题，我计划在下一节课中增加一些实际操作环节，让学生通过动手实践来更好地理解这个概念。

其次，我发现部分学生在推导三角函数周期性时存在困难。为了帮助学生更好地掌握这个知识点，我