2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.2 第2课时 排列数的应用教案 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.2第2课时排列数的应用教案新人教B版选择性必修第二册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：排列数的应用

2.教学年级和班级：高中二年级数学班

3.授课时间：2024年11月12日，星期二，第5节

4.教学时数：45分钟

本节课将围绕新人教B版选择性必修第二册第3章排列、组合与二项式定理中3.1排列与组合的内容，重点探讨排列数的应用。通过具体例题和实践练习，使学生掌握排列数的计算方法及其在实际问题中的运用。核心素养目标1.理解并掌握排列数的概念和计算方法，提高数学抽象和逻辑推理能力。

2.能够运用排列数解决实际问题，培养数学建模和数学应用的核心素养。

3.通过小组合作探讨排列数的性质，增强合作交流和问题解决的能力。

4.感悟排列数在日常生活和科学领域的广泛应用，激发对数学学科的兴趣和认识。学情分析本节课面向的是高中二年级学生，他们在数学知识、能力和素质方面具备以下特点：学生已经掌握了基本的排列概念，能够进行简单的排列计算，具备一定的数学抽象和逻辑推理能力。然而，对于排列数的深入理解和在更复杂问题中的应用，他们可能还缺乏足够的经验。在能力方面，学生们的数学运算和问题解决能力参差不齐，部分学生对数学建模和实际应用问题处理较为吃力。素质方面，学生们普遍具有探究精神，但合作交流意识有待加强。在行为习惯上，部分学生缺乏主动思考和积极参与的习惯，这对课程的深入学习有一定影响。因此，本节课将从实际案例出发，通过启发式教学和小组合作，引导学生深入理解排列数的应用，提高他们的数学素养和解决问题的能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有新人教B版选择性必修第二册教材，以便查阅相关概念和例题。

2.辅助材料：准备排列数应用相关的实际案例图片、图表和动画视频，用于直观展示排列数在现实生活中的应用。

3.实验器材：无需特别准备实验器材，但需准备足够的计算器和纸张，供学生进行排列计算和问题解决。

4.教室布置：将教室划分为小组讨论区域，每组配备白板或黑板，方便学生记录和展示讨论成果。同时，设置讲台区域用于教师讲解和演示。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过学校的学习平台，发布关于排列数应用的预习资料，包括概念定义和简单例题。

-设计预习问题：围绕排列数的实际应用，设计问题，如“排列数在日常生活中有哪些具体应用？”

-监控预习进度：通过学习平台的数据，了解学生的预习情况，并通过微信或邮件进行个别指导。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读教材和相关资料，初步理解排列数的概念和计算方法。

-思考预习问题：学生尝试回答预习问题，记录自己的思考过程和疑问。

-提交预习成果：学生将自己的预习笔记和疑问通过平台提交。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立探索新知识，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台，实现资源的快速共享和预习进度的监控。

作用与目的：

-帮助学生为课堂学习打下基础，理解排列数的概念。

-培养学生的独立思考和自主学习能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个关于安排座位的问题，引出排列数的应用。

-讲解知识点：详细讲解排列数的计算公式，结合实例进行解释。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生共同解决一个实际排列问题。

-解答疑问：在讨论过程中，及时解答学生的疑问。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，思考排列数的计算方法。

-参与课堂活动：在小组中积极讨论，共同解决给定的问题。

-提问与讨论：针对不懂的问题进行提问，与小组成员或教师讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解和实例分析，帮助学生掌握排列数的计算公式。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中应用排列数知识。

-合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队合作和沟通能力。

作用与目的：

-加深学生对排列数计算方法的理解，突破重难点。

-通过实践活动，培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。

-增强学生的团队合作意识和交流能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置一些涉及排列数应用的题目，要求学生在课后完成。

-提供拓展资源：向学生推荐一些高级排列问题的研究文章或视频，供学有余力的学生拓展学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，提供个性化反馈。

学生活动：

-完成作业：认真完成作业，巩固课堂所学知识。

-拓展学习：对感兴趣的内容进行深入研究和思考。

-反思总结：对自己的学习过程进行反思，总结排列数学习的收获和不足。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生在课后自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：指导学生通过写学习总结，促进自我认识和提升。

作用与目的：

-巩固排列数知识，确保学生对概念和计算方法的熟练掌握。

-通过拓展学习，激发学生的学习兴趣和探究精神。

-通过反思总结，帮助学生形成良好的学习习惯，提升自我学习能力。知识点梳理1.排列数的定义与计算公式

-排列数是指在给定n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能的排列的个数。

-排列数的计算公式为：$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$，其中n!表示n的阶乘，即从1乘到n的结果。

2.排列数的性质

-交换律：$A_n^m=A_n^{n-m}$

-递推关系：$A_n^m=n\timesA_{n-1}^{m-1}$

-排列数的和：$\sum_{k=0}^{n}A_n^k=n!$

-排列数的界限：$A_n^m\leq2^{n\choosem}\leqA_n^m\cdot2^{m-1}$

3.排列数的应用

-座位安排：如会议、剧场等场所的座位安排。

-人员分配：如团队建设、项目分配等人员安排问题。

-密码学：在密码组合与破解中，排列数的概念也具有重要意义。

4.排列数与组合数的关系

-组合数是指在给定n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同的组合的个数。

-组合数的计算公式为：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

-排列数与组合数的关系：$A_n^m=C_n^m\timesm!$

5.排列数在实际问题中的模型建立

-确定问题的类型：判断问题属于排列问题还是组合问题。

-抽象问题：将实际问题抽象为排列数的计算问题。

-建立模型：根据问题的需求，选择合适的排列数计算公式。

-求解与验证：计算出结果，并验证其是否符合实际情况。

6.排列数的案例分析

-通过案例分析，让学生了解排列数在生活中的具体应用，如电话号码的排列、车牌号码的组合等。

-分析案例中排列数的计算过程，理解如何将实际问题转化为排列数问题。

7.排列数的练习题与解题技巧

-练习题涵盖基本的排列数计算、实际应用问题、与其他数学知识点的综合应用等。

-解题技巧包括但不限于：利用排列数的性质简化计算、通过递推关系解决问题、利用组合数与排列数的关系等。教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、积极性和理解程度。评价学生是否能够专心听讲，积极回答问题，对排列数的概念和应用提出有见地的看法。

2.小组讨论成果展示：评估学生在小组讨论中的贡献，包括对问题的分析、解决方案的提出和排列数计算的正确性。同时，评价学生在展示时的表达能力和逻辑性。

3.随堂测试：进行一次包括选择、填空和解答题的随堂测试，以检验学生对排列数计算方法和应用的理解程度。测试结果将用于分析学生对知识点的掌握情况。

4.课后作业完成情况：通过批改课后作业，评价学生对排列数知识的掌握程度，以及他们在解决问题时的思路和方法。

5.教师评价与反馈：针对学生的课堂表现、讨论成果、测试成绩和作业完成情况，给予及时的反馈。指出学生的优点和需要改进的地方，提供个性化的指导和建议，帮助学生提高数学素养和解决问题的能力。

具体评价内容包括：

-学生对排列数定义和计算公式的理解和记忆。

-学生在解决实际问题时运用排列数的能力。

-学生在小组合作中的沟通、协作和贡献。

-学生在课堂和随堂测试中的主动性和创造性。

-学生作业的准确性、完整性和解题过程的逻辑性。

反馈方式包括：

-课堂即时反馈：在课堂上对学生的回答和表现给予即时评价。

-书面反馈：通过批改作业和测试，提供详细的书面反馈。

-个性化指导：针对学生的个别问题，提供一对一的指导和建议。

-总结性反馈：在课程结束时，对学生的整体表现进行总结，鼓励优秀表现，指出普遍存在的问题和改进方向。重点题型整理-题目：从数字1,2,3,4中任取3个不同的数字进行排列，共有多少种不同的排列方式？

-答案：$A_4^3=\frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4\times3\times2\times1}{1}=24$种不同的排列方式。

2.题型二：排列数的性质应用

-题目：一个会议有10位代表，要从中选出3位代表进行发言，有多少种不同的选择方法？

-答案：$A_{10}^3=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}=120$种不同的选择方法。

3.题型三：排列数的实际应用

-题目：一个密码由4位数字组成，每位数字可以是0-9中的任意一个，且数字不重复，共有多少种不同的密码？

-答案：$A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{6\times5\times4\times3\times2\times1}=5040$种不同的密码。

4.题型四：排列数与组合数的关系

-题目：从7个不同的小球中任取3个进行排列，有多少种不同的排列方式？如果只考虑组合，不考虑顺序，又有多少种不同的组合方式？

-答案：排列方式：$A_7^3=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{4\times3\times2\times1}=210$种。

-组合方式：$C_7^3=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1\times4