结构力学第十四章总结

一、几个(jǐɡè)值得注意的问题1.弹性(tánxìng)体系的振动自由度

描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。三个集中质量，一个自由度一个集中质量，两个自由度第十四章结构动力学总结共四十七页2.确定体系振动(zhèndòng)自由度的方法

方法一可以(kěyǐ)运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图a中，需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)，故体系有两个振动自由度。

方法二当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。例如图a铰化为铰接链杆体系后，需要增加两根链杆（图c）。第十四章结构动力学总结共四十七页

例：若忽略直杆的轴向变形(biànxíng),图a所示结构的动力自由度为多少？

解：铰接链杆体系(tǐxì)如图b或图c，需附加4根链杆，体系有4个自由度。第十四章结构动力学总结共四十七页

例：设直杆的轴向变形(biànxíng)不计，图a所示体系的动力自由度为多少？

解：铰接(jiǎojiē)链杆体系如图b所示，增加链杆1、2.体系的动力自由度为2。第十四章结构动力学总结共四十七页

例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的动力(dònglì)自由度数为多少？解：用附加链杆法（图b）,动力(dònglì)自由度数等于5。第十四章结构动力学总结共四十七页3.结构的自振周期(zhōuqī)（频率）结构(jiégòu)自振周期的几种计算公式：

周期T的单位是“s（秒）”；圆频率ω的单位是“s-1”，即“弧度/每秒”；工程频率f的单位为“Hz（赫兹）”，即每秒振动的次数。,第十四章结构动力学总结共四十七页注意(zhùyì)：

（1）结构自振周期（频率）是结构动力性能的一个很重要的标志。两个外表看来相似的结构，如果自振频率相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外表看来并不相同的结构，如果其自振频率相似，则在动荷载(hèzài)作用下其动力性能基本一致。

（2）自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初始条件及外界的干扰因素无关。第十四章结构动力学总结共四十七页例：图a所示结构(jiégòu)频率为ωi，求图b所示结构频率ω。

解：图b体系(tǐxì)为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和.k=k1+k2+k3第十四章结构动力学总结共四十七页例：图a

所示结构周期(zhōuqī)为Ti，求图b所示体系周期。

解：图b体系为串联弹簧(tánhuáng)，其刚度系数k的倒数等于各弹簧刚度系数ki的倒数之和。第十四章结构动力学总结共四十七页

例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度(ɡānɡdù)为k1，弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。

解：体系(tǐxì)可简化为图b所示的串联弹簧体系，竖向振动频率为第十四章结构动力学总结共四十七页

例：图a所示体系中k1为横梁在C点的侧移刚度，k2为弹簧(tánhuáng)刚度。求体系的竖向振动频率。

解：体系可简化为图b所示的并联(bìnglián)弹簧体系，竖向振动频率为第十四章结构动力学总结共四十七页4.单自由度体系(tǐxì)的强迫振动时的动力放大系数(1)简谐动荷载作用在质体上，内力(nèilì)动力系数与位移动力系数相同。动力系数

计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法算出相应的位移、内力，再乘以动力系数

即可。

计算结构的位移和内力时，应先算出质体上的惯性力，并将惯性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示），然后按静力方法计算。(2)简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一的动力系数。第十四章结构动力学总结共四十七页(3)最大位移和最大内力(nèilì)的计算

振动(zhèndòng)体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；最大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。

5.阻尼对振动的影响(1)考虑阻尼时体系的自振频率其中,

为阻尼比,c为阻尼系数。通常ξ很小，一般结构可取

r≈

。

(2)阻尼比的确定。利用有阻尼体系自由振动时振幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。第十四章结构动力学总结共四十七页

＜1为小阻尼(zǔní)，体系具有振动的性质；

＞1（大阻尼）和

=1（临界阻尼）时，体系不具有振动的性。

（3）有阻尼振动的动力系数。在强迫(qiǎngpò)振动中,阻尼起着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：

当

／

的值在0.75~1.25之内（共振区）时，阻尼对降低动力系数的作用特别显著。

第十四章结构动力学总结共四十七页（4）动荷载频率的大小(dàxiǎo)与结构受力特点的关系。当外荷载的频率(pínlǜ)很大时(θ>>ω)，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。当外荷载的频率很小时（θ<<ω)，体系振动很慢，因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。当外荷载接近自振频率时(θ≈

ω)，弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。第十四章结构动力学总结共四十七页6.多自由度体系(tǐxì)主振型的正交性

当ωi

≠

ω

j

时，两个(liǎnɡɡè)主振型具有正交性，即质量正交和刚度正交。Y(i)

TM

Y(j)

=0Y(i)

TK

Y(j)

=0

由于质量正交计算简单，所以常用它来校核主振型的计算结果。但应能够形成正确的质量矩阵。。

第十四章结构动力学总结共四十七页解：

例：体系的质点位移编号(biānhào)如图所示，写出体系的质量矩阵M。第十四章结构(jiégòu)动力学总结共四十七页7.能量法计算(jìsuàn)自振频率

能量(néngliàng)法求自振频率是一种近似计算方法。

设结构单位杆长的质量为

m，结构中有若干个集中质量m。根据结构的边界约束条件和变形特点，选择一条位移曲线Y（x）作为某一主振型（通常是第一主振型）的近似曲线，则可按下式求得频率的近似值。

若取结构在自重q(x)作用下的弹性曲线Y（x）作为振型线，则频率公式为：第十四章结构动力学总结共四十七页8.对称性利用(lìyòng)

振动体系的对称性是指：结构(jiégòu)对称，质量分布对称或动荷载对称。

对称体系的自由振动或强迫振动计算都可利用对称性而得到简化：将体系的自由振动视为对称振动与反对称振动的叠加，对两种振动分别取半结构进行计算；对于体系的强迫振动，则宜将荷载分解为对称与反对称两组。对称荷载作用时，振动形式为对称的；反对称荷载作用时，振动形式为反对称的，可分别取半结构计算。

选择变形曲线时应考虑结构的边界条件（位移边界条件和力的边界条件）,其中位移边界条件必须满足，否则将导致很大的误差，通常取等截面杆的自重q(x)作用下的变形曲线作为振型曲线Y(x)，由于它能较好地满足边界条件，所得结果的近似程度都较好。第十四章结构动力学总结共四十七页例：求图a所示体系(tǐxì)的自振频率。

解：设该体系振动时转角的幅值为

（图b）。当位移达到(dádào)幅值时，质量m1和m2上的惯性力也同时达到幅值，其大小为于是，可就幅值处列出动力平衡方程如下：由此可求得:

第十四章结构动力学总结共四十七页

例：求图a所示结构(jiégòu)的自振频率，EI=常数,弹簧的刚度系数

k=6EI／l3。

解：本题的重点(zhòngdiǎn)是求柔度系数

，用力法，取图b的基本体系。力法典型方程为，因此

应用图乘法求出系数并代入方程解得

，第十四章结构动力学总结共四十七页

另解：体系简化成并联(bìnglián)弹簧体系（图b），设梁在质点m处的刚度系数为k2，k2=1/

2

，由M图（图c）可求得

2第十四章结构(jiégòu)动力学总结共四十七页

例：已知图a刚架受简谐荷载(hèzài)作用，θ=0.6ω,绘出动力弯矩图Md，并求柱顶最大位移

ymax。解：利用对称性取半边(bànbiān)结构如图b所示。柱顶位移

，代入方程，得将惯性力

（注意：取半结构后，质量应减半）第十四章结构动力学总结共四十七页由于(yóuyú)

，代入上式，则方程(fāngchéng)变为

只考虑稳态振动，设方程的特解

代入方程解得，

所以M图如图f所示。第十四章结构动力学总结共四十七页例：求图a所示体系(tǐxì)的自振频率及主振型。梁EI=常数。

解：将原结构化成(huàchénɡ)正对称和反对称半结构分别计算（图b、c）。第十四章结构动力学总结共四十七页，

当ω=ω1时，振型为正对称(duìchèn)，则当ω=ω2时，振型为反对(fǎnduì)称，则

第十四章结构动力学总结共四十七页二、思考题

1.结构动力计算与静力计算的主要(zhǔyào)区别是什么？2.为什么说结构的自振周期(zhōuqī)是结构的固有属性？3.动力位移总是否要比静力位移大一些？4.在振动过程中，体系的重力对动力位移是否产生影响？

第十四章结构动力学总结共四十七页

3.多自由度体系，刚度系数(xìshù)与柔度系数(xìshù)的关系是：kij=1/δij

。（

）4.图示体系作动力计算(jìsuàn)时，若不计轴向变形影响则为单自由度体系。（

）

2.

动力位移总是要比静力位移大一些。（

）

1.

动力荷载对结构的影响不仅随时间而变化，而且使结构产生不容忽视的惯性力。（）√

╳

╳

╳

一、判断题自测题共四十七页6.能量法求出结构的基本周期，小于等于(děngyú)精确值。()

5.在动力计算(jìsuàn)中，以下两图所示结构的动力自由度相同(各杆均为无重弹性杆)。()

╳√自测题共四十七页2.当结构(jiégòu)发生共振时(考虑阻尼)，结构的（）

B

二、选择(xuǎnzé)填空A．质量小，刚度小B．质量大，刚度大C．质量小，刚度大D．质量大，刚度小

1.体系的跨度、约束、质点位置不变，下列哪种况自振频率最小：

（)D

A．动平衡条件不能满足B．干扰力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡C．干扰力与弹性力平衡，惯性力与阻尼力平衡D．干扰力与惯性力平衡，弹性力与阻尼力平衡自测题共四十七页

3.将图a中支座B换成杆BC为图b刚架，杆分布质量(zhìliàng)不计，I1

、I2

、h为常数，则图a结构自振周期比图b结构自振周期：()A.大B．小C．大或小取决于I1/I2D．小或相等(xiāngděng)，取决于h

B

自测题共四十七页C自测题共四十七页1.在动力计算中，图a、b所示体系的动力自由度分别(fēnbié)为：（）（4分）（西南交通大学1997年）A

三、考研题选解A.1，4B.2，3C.2，2D.3，4

提示:用附加链杆法分析，附加链杆分别(fēnbié)如图c、d，有几个附加链杆，就有几个自由度。自测题共四十七页

2.已知一单自由度体系的阻尼比为

=1.2，则该体系自由振动时的位移方程曲线的形状可能(kěnéng)为。（）（2分）(北京交通大学1997年）D自测题共四十七页3.对图示体系(tǐxì)，主振型关于质量的正交条件是_______。（大连理工1995）（3分）自测题共四十七页解：

4.

试计算图示结构体系质体m水平振动时的自振频率(pínlǜ)和周期，各杆EI为常数。10分）（东北大学1998、西南交通大学2001年）因此，自测题共四十七页

解：结构相当于作用在m上两个并联弹簧的），刚度(ɡānɡdù)系数K为因此

5.

求图a所示体系(tǐxì)的自振频率，设EI=常数。（8分）（东南大学1996年）自测题共四十七页有

,注意：本题应能正确求解(qiújiě)具有弹簧支座的结构的柔度系数。

6.

试求图示体系的自振频率及质量m的最大动力位移，设θ=0.

5ω，弹簧刚度k=0.05EI／l3,各杆EI相同。计算时不考虑阻尼影响(yǐngxiǎng)。（20分）（天津大学1996年）解：用柔度法

自测题共四十七页

解

两个(liǎnɡɡè)自由度，利用对称性，分解为正对称和反对称两种振动形式，取半结构(都是单自由度体系)分别计算。（1）正对称(duìchèn)的计算（图b）（2）反对称的计算（图c）将自振频率按由小到大的顺序排列，有

，

7.求图示结构的自振频率，各杆EI=常数。（11分）（北京交通大学1997年）有有自测题共四十七页

8.图示简支刚架，质点质量均为m，杆的自重不计,动力荷载F(t)=Fsinθt,不考虑阻尼，EI为常数。（1）建立运动方程；（2）求出结构的自振频率(pínlǜ)；（3）求出质量处的最大位移。（20分）（天津大学2000年）解：本体系是单自由度体系，荷载未作用(zuòyòng)在质量上，，自测题共四十七页得质量(zhìliàng)处的最大位移为代入振动方程自测题共四十七页四、考国家一级注册结构(jiégòu)师试题选解1.图示三个单跨梁的自振频率(pínlǜ)之间关系分别为:A.

ωa>ωc>

ωbB.ω

a>ωb>ωc

C.ωb>ωa>ωcD.ωc>ωa>ωbA自测题共四十七页2.图a所示刚架不计分布