高中数学试题：数学归纳法1

数学归纳法

数学归纳法

[1]第一数学归纳法

一般地，证明一个与正整数〃有关的命题p(〃)时,有如下步骤：

⑴证明当〃取第一个值々时命题p(〃)成立；

(2)假设当71=%(%»%)时命题P(/l)成立,并在此基础上,当71=Z+1时命题也成立.

[2]第二数学归纳法

对于某个与自然数"有关的命题P(〃),有如下步骤：

(1)验证〃=々时P(")成立；

(2)假设々时P(〃)成立,并在此基础上,推出P(Z+1)成立.

综合⑴(2)对一切自然数〃(〃》4),命题P(〃)都成立.

1.设数列｛”“｝满足q=2,。用=an+—,(n=l,2,3...)

证明an>J2”+1对一切正整数n成立；

证法一：当〃=1时,%=2〉72x1+1,不等式成立.

假设〃=左时,a*>J2k+1成立

当”=左+1时，

,11

。女7+1=H——+2>2k+3H——>2(左+1)+1.

akak

n=k+1时,a.>,2(左+1)+1时成立

综上由数学归纳法可知，4>J2-+1对一切正整数成立.

22.(本小题满分12分)

己知数歹！J{aj中国=2,a„+i—(血-1)(a0+2),n—1,2,3…。

(I)求仿“}的通项公式；

一3b+4

(II)若数歹！J{4}中从=2,bn+i=------，n=l,2,3,­­•,证明:

2a+3

V2<bn<a4n_3,n=l,2,3…。

22.解：

(I)由题设：

%=(0—1)(%+2)

=(V2-l)(a„-V2)+(V2-l)(2+V2)

=(V2-l)(a„-V2)+V2,

%-0=(夜-1)(4-扬。

所以，数列｛%,-后｝是首项为2-JI,公比为友-1的等比数列,

-72=72(72-1)\

即。“的通项公式为4=应[(后—1)"+斗n=l,2,3……。

(II)用数学归纳法证明。

(i)当n=l时，因y[2<2,bi=ai=2,所以

\[2<bl^al,结论成立。

(ii)假设当n=k时,结论成立，即血<久<。4"3，

也即0<bk-41W—亚。

当n=k+l时，

%「忘="-后

=(3-2回瓦+(4-3伪

―2b~^

(3-2后)(4-/)、八

—>U，

2%+3

又一--<——=3-272,

24+32V2+3

所以…=w

2bk+3

v(3-2夜了电-石

W(A/2—I)4(。4"3-血)

=〃4左+1-夜°

也就是说，当n=k+l时，结论成立。

根据(i)和(ii)知J2<bnW%—‘H=1,2,3,…。

2

22.(本题14分)已知数列{%},盘巳0,q=0,an+^+an+i-1=6in(nGN').

记：Sn=q+a?++c1n.

求证：当〃wN*时，

(I)an<an+1；

(IDS“〉〃-2；

22.本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时

考查逻辑推理能力.满分14分.

(I)证明：用数学归纳法证明.

①当〃=1时，因为%是方程/+工一1=。的正根，所以4<%.

②假设当〃=左(左eN*)时，ak<ak+i,

因为%-a：=(。/+a/T)-(如+:+a*+iT)

=(W+2-4+1)(W+2+ak+i+1)，

所以久+1<以+2・

即当〃=左+1时，an<4+i也成立.

根据①和②，可知?<%+i对任何〃wN*都成立.

(II)证明：由以+：+%+]—1=〃/,左=1,2,，八一1(〃22),

得a；+(%+/++%)—("—1)=.

因为％=0,所以S〃=〃—1—

2

由%<an+l及an+l=1+a；-2an+1<1得<1,

所以S,,>n-2.

(jN

3W+2+52«+In)能被14整除.

(377+1)-7'-1(/7G.N)能被9整除.

—1—+.1--1---1-__1_

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