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文档简介
数学归纳法
数学归纳法
[1]第一数学归纳法
一般地,证明一个与正整数〃有关的命题p(〃)时,有如下步骤:
⑴证明当〃取第一个值々时命题p(〃)成立;
(2)假设当71=%(%»%)时命题P(/l)成立,并在此基础上,当71=Z+1时命题也成立.
[2]第二数学归纳法
对于某个与自然数"有关的命题P(〃),有如下步骤:
(1)验证〃=々时P(")成立;
(2)假设々时P(〃)成立,并在此基础上,推出P(Z+1)成立.
综合⑴(2)对一切自然数〃(〃》4),命题P(〃)都成立.
1.设数列{”“}满足q=2,。用=an+—,(n=l,2,3...)
证明an>J2”+1对一切正整数n成立;
证法一:当〃=1时,%=2〉72x1+1,不等式成立.
假设〃=左时,a*>J2k+1成立
当”=左+1时,
,11
。女7+1=H——+2>2k+3H——>2(左+1)+1.
akak
n=k+1时,a.>,2(左+1)+1时成立
综上由数学归纳法可知,4>J2-+1对一切正整数成立.
22.(本小题满分12分)
己知数歹!J{aj中国=2,a„+i—(血-1)(a0+2),n—1,2,3…。
(I)求仿“}的通项公式;
一3b+4
(II)若数歹!J{4}中从=2,bn+i=------,n=l,2,3,•,证明:
2a+3
V2<bn<a4n_3,n=l,2,3…。
22.解:
(I)由题设:
%=(0—1)(%+2)
=(V2-l)(a„-V2)+(V2-l)(2+V2)
=(V2-l)(a„-V2)+V2,
%-0=(夜-1)(4-扬。
所以,数列{%,-后}是首项为2-JI,公比为友-1的等比数列,
-72=72(72-1)\
即。“的通项公式为4=应[(后—1)"+斗n=l,2,3……。
(II)用数学归纳法证明。
(i)当n=l时,因y[2<2,bi=ai=2,所以
\[2<bl^al,结论成立。
(ii)假设当n=k时,结论成立,即血<久<。4"3,
也即0<bk-41W—亚。
当n=k+l时,
%「忘="-后
=(3-2回瓦+(4-3伪
―2b~^
(3-2后)(4-/)、八
—>U,
2%+3
又一--<——=3-272,
24+32V2+3
所以…=w
2bk+3
v(3-2夜了电-石
W(A/2—I)4(。4"3-血)
=〃4左+1-夜°
也就是说,当n=k+l时,结论成立。
根据(i)和(ii)知J2<bnW%—‘H=1,2,3,…。
2
22.(本题14分)已知数列{%},盘巳0,q=0,an+^+an+i-1=6in(nGN').
记:Sn=q+a?++c1n.
求证:当〃wN*时,
(I)an<an+1;
(IDS“〉〃-2;
22.本题主要考查数列的递推关系,数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能,同时
考查逻辑推理能力.满分14分.
(I)证明:用数学归纳法证明.
①当〃=1时,因为%是方程/+工一1=。的正根,所以4<%.
②假设当〃=左(左eN*)时,ak<ak+i,
因为%-a:=(。/+a/T)-(如+:+a*+iT)
=(W+2-4+1)(W+2+ak+i+1),
所以久+1<以+2・
即当〃=左+1时,an<4+i也成立.
根据①和②,可知?<%+i对任何〃wN*都成立.
(II)证明:由以+:+%+]—1=〃/,左=1,2,,八一1(〃22),
得a;+(%+/++%)—("—1)=.
因为%=0,所以S〃=〃—1—
2
由%<an+l及an+l=1+a;-2an+1<1得<1,
所以S,,>n-2.
(jN
3W+2+52«+In)能被14整除.
(377+1)-7'-1(/7G.N)能被9整除.
—1—+.1--1---1-__1_
Vl,242・3+
一(屈1叫y+至H----\~—<2A/77
y/n
77(77+1)iI/~~~(77+1)
———
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