高中数学讲义微07 分段函数的性质与应用

微专题07分段函数的性质与应用

分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解

析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分

段函数一一分段看”

一、基础知识：

1、分段函数的定义域与值域一一各段的并集

2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的

还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在

两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像

判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较/（x）,/（-%）的关系，要注

意羽-x的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题

（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数

（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是

..2x-l,x<3

断开的。例如：/（%）=9，将l=3代入两段解析式，计算结果相同，那么此分

'，X2-4,X>3

2x-l,x<3

段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如/（%）=<2中，两段

x-l,x>3

解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例

/、II,,,1—1+3,

如:小)=|1+3,可转化/t为：4)=—<]

5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量

的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论

6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必

要时进行数形结合。

二、典型例题

2+1x<l「/「

例1：已知函数=1,若/■[/（（））]=4a,则实数a=

x+axx>1」

思路：从里向外一层层求值，/（0）=2°+1=2,-./（/（0））=/（2）=4+2«

所以4+2〃=4a=a=2

答案：a=2

cos》x,x〉010

例2：设函数〃x)=</(x+l)-l,x<0，则/的值为.

思路：由/(%)解析式可知，只有x>0,才能得到具体的数值，x<0时只能依靠

/(尤)=/(%+1)—1向尤>0正数进行靠拢。由此可得:

9

答案：—

2

小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解

析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响)比如在本题

中：x<0,/(x)=/(x+l)—1可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1,其作用在于自变

量取负数时，可以不断+1直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。

例3：函数/•")=2，则不等式的解集是()

----,x>2

B.H，1]UI，3

A.U

c.D.?3

思路：首先要把/(%)转变为具体的不等式，由于/(%)是分段函数，所以要对X的范围

分类讨论以代入不同的解析式：当时，/(%)>1^|3^-4|>1,可解得：1或

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xN—。所以1或一Kx<2；当x>2时，———1解得尤<3,

33')x-1

所以2<xV3,综上所述：x€U"1,3

答案：B

例4：已知函数/(%)=｛尤］尤>0,则不等式%+(%+1)/。+1)<1的解集是

思路：要想解不等式，首先要把/(X+1)转变为具体的表达式，观察已知分段函数,

—x+1%<0

/(X)=\,X占据了()整个括号的位置，说明对于函数而言，括号里的

x-lxN0

式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0时，代入下段解析式。故要对％+1的

符号进行分类讨论。(1)当x+l<O=xv—1时，/(x+1)=—(x+l)+l=—x,不等式变

为：x-x(x+l)<1^>-x2v1nx£0

(2)当％+1N0=XN—1时，/(x+l)=x+l—l=x,不等式变为:

X+X(X+1)<1^>X2+2X-1<0^>-1-A/2<x<-l+y/2

XG[-1,-1+V2J

答案：XG|^—1,—1+^/2J

'2

,、一x+2%+3,%V0/、/\

例5：已知函数=｛、+],则不等式/(%+8)</(炉o+3无)的解集为

2+1,x〉0

思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及

x+8,f+3x的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在

一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析了(%)的图像性质，发现

了(%)的两段解析式均可作图，所以考虑作出〃龙)的图像，从而发现"％)是增函数，从而

无论x+8,x?+3x在哪个范围，/(x+8)</(f+3%)=>尤+8<f+3无，从而解得：

x<T或无>2

答案：(r)T)U(2,y)

小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x

进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3,例4)。另一种是通过作出分段函

数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式(比如例5)。

+2%%20

例6：已知函数〃x)=，5一.若/(—a)+/(a)<2/(1),则a的取值范围是

£-2x,x<0

A.[-1,0)B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,2]

思路：本题可以对a进行分类讨论，以将/(—a)+/(a)W2/(l)变成具体不等式求解，但也

可从一的特点出发，考虑判断了(九)的奇偶性，通过作图可发现了(%)为偶函数，所以

/(-a)=/(a),所解不等式变为/⑷W/⑴，再由图像可得只需同K1,即—l<a<l

答案：C

小炼有话说：

(1)本题判断函数7(%)的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中

一。的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示

(2)由于/(尤)两段图像均易作出，所以在判断了(%)奇偶性时用的是图像法。对于某些不

易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判

断：整体思想依然是找到了(%),/(—九)，只是在代入过程中要注意—x,x的范围：设

xe(0,+oo),则一％w(^x),0),.二/(%)=%2_2.(_工)=%2+2%,所

以/(X)=/(-%),即/(%)为偶函数

例7：已知函数/(%)=1一2%2,g(九)=/一2%，若尸(%)=<

值域是________________

解析：/是一个分段函数，其分段标准以7(x),g(x)的大小为界，所以第一步先确定好x

的取值，解不等式：/(x)>g(x)^l-2x2>x2-2x,解得：一,故

1

x9—2x,—VxV1

3

1,分别求出每段最值，再取并集即可

1-2X2,X<——orx>\

3

答案：

(〃一2)1-1(x<1)/、

例8：已知函数/(x)=1,若/(%)在(-oo,y)单调递增，则实数。的

log。%(%>1)

取值范围是

思路：若/(%)在(一00,+8)单调增，则在R上任取项<%2，均有/(%)</(工2)，在任取中

就包含九1，々均在同一段取值的情况，所以可得要想在尺上单调增，起码每一段的解析式也应

当是单调递增的，由此可得：\,但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可

a>l

能为%J9不在同一段取值，若也满足再<々，均有/(%)</(%2)，通过作图可发现需要左

边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入x=l,有左段(右端，即

a-2-l<log。1=0。<3

综上所述可得：ae(2,3]

答案：(2,3]

/(xT)

的图像B.②是/(-%)的图像

C.③是/(国)的图像D.④是|〃到的图像

思路：考虑先作出了(%)的图像(如右图所示)，再按照选

项进行验证即可：A./(x—1)为了(%)向右平移一个单位，

①正确；B./(-%)为了(%)关于y轴对称的图像，②正确；

C.7(国)为了(%)正半轴图像不变，负半轴作与"X)正

半轴关于y轴对称的图像，③正确；D.的图像为

在x轴上方的图像不变，下方图像沿x轴对称翻折。而/(%)图像均在x轴上方，所以

应与“力图像相同。④错误

答案：D

|尤3+l|jx|>1

例10：函数/■(%)=.n,则下列结论正确的是()

A.函数八％)在[1,”)上为增函数B.函数/(%)的最小正周期为4

C.函数是奇函数D.函数/(%)无最小值

思路：可观察到了（X）的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如

图所示可得：BC选项错误，D选项/（X）存在最小值/（一1）=—2,所以D错误，A选项是正

确的

答案：A

小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是

因为/（x）本身便于作图,另一方面四个选项在图上也有具体的含

义。

（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意

JT

端点处属于哪个解析式。本题中x=—1就属于y=2sin,x部分，

所以才存在最小值。

三、近年模拟题题目精选

Y_|____劣Y>1

1、已知函数/(x)=|尤'—，若/⑴=/(—3),贝丘=______

lg(x2+1^^<1,

2、已知,若/"(Xo)]=3,贝1%0=__________.

-2sinx,(0<x<^)

4+工%<0

3、(2016,湖州中学期中)函数/(%)=('-'，若/"(〃)]>/"(〃)+1]，则实数Q

x,x>0,

的取值范围为()

A.(—1,0]B.[—1,0]C.(-5,-4]D.[-5,-4]

-2x+l

-3-,x>0

4、已知小)=1"则/（x）>-1的解集为

x<0

lx

2*—a,x<1

5、（2015,北京）设函数〃x）=<

4(x-6z)(x-2«),x>1

①若4=1,则/（X）的最小值为

②若/（X）恰有2个零点，则实数。的取值范围是

_J-Q।6<2

6、（2015,福建）若函数/（X）=<'—（a>0,aHl）的值域是［4,+8）,则实数a

3+logqx>2

的取值范围是

l+log2(2-x),x<1/、/、

7、(2015,新课标II)设函数/(%)=<]，则〃-2)+〃log212)=()

乙5-1

A.3B.6C,9D.12

~3x—1x<1

8、(2015,山东)设函数/■(%)=,',则满足了(/(a))=2,⑷的a的取值范围是

2，%—1

()

~2~|「2、

A.—,1B.[0,1]C.—,+℃D.[1,+8)

9、已知函数/(x)=sinx+cosx-卜inx—cosR,则/(%)的值域是()

A.[—2,2]B.[―C.|^—2,^/2JD.[―2,—

/、](2〃一1)%+3〃-4,冗V%/.

10、已知函数〃%)={]，无论，为何值，函数/(%)在R上总是不单

调，则。的取值范围是

/、x2,0<x<1,,,,,,

11、已知/'(x)=1____L,且o<|时<1,0<问<1,加〃<0，则使不等式

-Vl-x2,-l<x<0

/(加)+/(")>0成立的牡〃还应满足的条件为()

A.m>nB.m<nC.m+n>0D.m+n<0

习题答案：

1、答案：3

解析：f(-3)=lg[(-3)2+l]=l,所以/⑴=l+a—3=lna=3

2、答案：X。=?或X。=(£

3

解析：若!ipj-2sin/(xo)=3nsin/(xo)=—e，无解；若/(毛卜。，则

/(%)=30/(%)=—G，由解析式可得：尸sin/=—6工或%=至

[0<xV万33

3、答案：C

解析：

当/(a)W0,/(a)+lW0,即a<-5时；/[/(«)]=/(4+«)=8+«,/[/(«)+1]=9+«,

故/'"⑷]</"(/+1]，故/"(a)]>/"(a)+1]不成立；当/(a)W0"(a)+lW4,

即-5<a<—4时；/"(a)]=/(4+a)=8+a,/[/(a)+l]=/(5+a)=(5+a)2,又

8+。〉(5+。)2在(-5,-4]上显然成立即故/[/(a)]>/[/(«)+1],故选C.

4、答案：(O,I)U(1,+8)U(F,—1)

—2x+[O

解析：x>0时，\>—In/—2x+l>0n(x—1)>0,可得xe(O,l)U(l,+8)，

当％<0时，—>-1=>1<-%=>%<-1,综上可得：XG(0,1)U(1+°°)U(-°°-l)

X55

5、答案：①—1②或。之2

2

/、2*—1,x<1

解析：①a=l时，/(%)=­<....，当x<l时，/(x)e(-l,l),当xNl

时，/(x)=4x2—12x+8=41x—-1>-1,综上所述可得：/(x)^=-1

②当x<l时，/(%)为单调增函数，且/(%)€(—a,2—a),当xNl时，解析式

/(x)=4(x-Q)(x—2a)可能的零点为x=a,x=2a,因为/(%)恰有2个零点，所以xNl

2a>]i

的区域中至少有一个零点。当时，可知/(尤)在x<l,无之1各有一个零

点，符合题意。当时，/(%)在xNl已有两个零点，所以在x<l不能有零点，故

2—a<0=aN2,综上所述：或

2

6、答案：(1,2]

解析：从常系数函数入手，无<2时，可得：/(x)e[4,”)，所以当x>2时，/(%)的值

域应为[4,+。。)的子集，从而可知a>l,所以/(x)e(3+log02,+8),则

3+logo2>=>a<2,所以aw(1,2]

7、答案：C

解析：由分段函数可得：/(-2)=l+log24=3,因为log212=2+log23N