2022届新高考一轮复习-第8章-第1讲-机械振动-导学案

一、简谐运动的规律【例1】(多项选择)如下图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝t)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度g＝10m/s2。以下判断正确的选项是()A．h＝1.7mB．简谐运动的周期是0.8sC．0.6s内物块运动的路程是0.2mD．t＝0.4s时，物块与小球运动方向相反【例2】(多项选择)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，那么弹簧振子的周期可能为()A．0.53sB．1.4sC．1.6sD．2s受力特征回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq\f(T,2)对称性特征关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等1．(多项选择)一弹簧振子做简谐运动，那么以下说法正确的选项是()A．振子的加速度方向始终指向平衡位置B．振动周期为T，假设Δt＝T，那么在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同C．假设t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，那么Δt一定为振动周期的整数倍D．振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等2．(多项选择)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1m，t＝1s时位移为0.1m，那么()A．假设振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(2,3)sB．假设振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(4,5)sC．假设振幅为0.2m，振子的周期可能为4sD．假设振幅为0.2m，振子的周期可能为6s二、简谐运动图像的理解和应用物理意义表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线图像(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图甲所示(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图乙所示图像可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况简谐运动的对称性(1)相隔Δt＝(n＋eq\f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零)(2)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同【例3】(多项选择)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，把小钢球从平衡位置向左拉一段距离，放手让其运动。从小钢球通过平衡位置开始计时，其振动图像如下图。以下说法正确的选项是()A．t＝0.5s时钢球的加速度为正向最大B．在t0时刻弹簧的形变量为4cmC．钢球振动半个周期，回复力做功为零D．钢球振动方程为y＝5sinπtcm3．(多项选择)如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。以下说法中正确的选项是()A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能三、单摆及其周期公式【例4】如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq\f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。以下图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是()4．(多项选择)关于单摆，以下说法正确的选项是()A．将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大B．将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小C．当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大D．当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零5．(多项选择)如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个(多项选择)如下图是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，那么以下说法中正确的选项是()A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1B．t＝2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1D．甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等四、受迫振动和共振【例5】如下图，一竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘转动一会儿静止后，小球做________(填“阻尼〞“自由〞或“受迫〞)振动。假设弹簧和小球构成的系统振动频率约为3Hz，现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动到达稳定，小球的振动频率为________Hz。逐渐改变圆盘的转动周期，当小球振动的振幅到达最大时，此时圆盘的周期为________s。振动类型自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力受驱动力受驱动力振动周期或频率系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等6．(多项选择)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如下图，那么()A．此单摆的固有周期为2sB．此单摆的摆长约为1mC．假设摆长增大，单摆的固有频率增大D．假设摆长增大，共振曲线的峰将向左移动1．如下图，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从平衡位置O向a运动过程中()A．加速度和速度均不断减小B．加速度和速度均不断增大C．加速度不断增大，速度不断减小D．加速度不断减小，速度不断增大2．(多项选择)关于简谐运动以及做简谐运动的物体完成一次全振动的意义，以下说法正确的选项是()A．位移减小时，加速度减小，速度增大B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同C．动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程D．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程3．如下图为某弹簧振子在0～5s内的振动图像，由图可知，以下说法中正确的选项是()A．振动周期为5s，振幅为8cmB．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C．从第1s末到第2s末振子的位移增大，振子在做加速度减小的减速运动D．第3s末振子的速度为正向的最大值4．(多项选择)一个质点做简谐运动的图像如下图，以下说法正确的选项是()A．质点振动的频率为4HzB．在10s内质点经过的路程为20cmC．第5s末，质点的速度为零，加速度最大D．t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是eq\r(2)cm5．如图甲所示在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，那么()A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc＜TbB．b、c摆振动到达稳定时，c摆振幅较大C．到达稳定时b摆的振幅最大D．由图乙可知，此时b摆的周期Tb小于t06．(多项选择)将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如下图的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的选项是()A．这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4C．摆球经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大D．摆球经过最低点时，角速度变大，半径减小，摆线张力不变7．(多项选择)如下图为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，以下说法正确的选项是()A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲摆的振幅比乙摆的大C．甲摆的机械能比乙摆的大D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆8．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如下图的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A、B、C、D，用刻度尺测出A、B间的距离为x1；C、D间的距离为x2。单摆的摆长为L，重力加速度为g，那么此次实验中测得物体的加速度为()A．eq\f(〔x2－x1〕g,π2L)B．eq\f(〔x2－x1〕g,2π2L)C．eq\f(〔x2－x1〕g,4π2L)D．eq\f(〔x2－x1〕g,8π2L)9．如下图，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k。当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，那么A振动的振幅为()A．eq\f(Mg,k)B．eq\f(mg,k)C．D．10．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2s时刻，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5s时，振子速度第二次变为－v。(1)求弹簧振子的振动周期T；(2)假设B、C之间的距离为25cm，求振子在4s内通过的路程；(3)假设B、C之间的距离为25cm，从沿正方向通过平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。答案与解析答案与解析一、简谐运动的规律【例1】【答案】AB【解析】t＝0.6s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1m，那么对小球有h＋|y|＝eq\f(1,2)gt2，解得h＝1.7m，A正确；简谐运动的周期是T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，B正确；0.6s内物块运动的路程是3A＝0.3m，C错误；t＝0.4s＝eq\f(T,2)时，物块经过平衡位置向下运动，那么此时物块与小球运动方向相同，D错误。【例2】【答案】AC【解析】从O点出发第一次到达M点，运动情况有图甲、乙两种可能。如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为eq\f(T,4)，因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故eq\f(T,4)＝0.3s＋eq\f(0.2,2)s＝0.4s，解得T＝1.6s；如图乙所示，假设振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，那么振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2s，振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为eq\f(0.3s－0.2s,3)＝eq\f(1,30)s，故周期为T＝0.5s＋eq\f(1,30)s≈0.53s。所以周期可能的选项为A、C。1．【答案】ABD【解析】振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；假设Δt＝T，那么在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为eq\f(T,2)，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确。2．【答案】AD【解析】假设振幅为0.1m，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))T＝1s，其中n＝0，1，2，…。当n＝0时，T＝2s；n＝1时，T＝eq\f(2,3)s；n＝2时，T＝eq\f(2,5)s，故A正确，B错误；假设振幅为0.2m，振动分4种情况讨论：第①种情况，设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)，t＝0时，－eq\f(A,2)＝Asinφ，解得φ＝－eq\f(π,6)，所以由P点到O点用时至少为eq\f(T,12)，由简谐运动的对称性可知，由P点到Q点用时至少为eq\f(T,6)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,6)))T＝1s，其中n＝0，1，2，…，当n＝0时，T＝6s，n＝1时，T＝eq\f(6,7)s；第②③种情况，由P点到Q点用时至少为eq\f(T,2)，周期最大为2s；第④种情况，周期一定小于2s，故C错误，D正确。二、简谐运动图像的理解和应用【例3】【答案】BCD【解析】由振动图像可以看出钢球的振动周期为T＝2s，t＝0.5s时钢球的位移为正向最大，加速度为负向最大，故A错误；弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，平衡位置时弹簧的形变量为零，由图知t0时刻钢球在平衡位置的右侧距离平衡位置为4cm处，那么弹簧的形变量为4cm，故B正确；经过半个周期后，钢球的速度大小与原来相等，动能变化为零，根据动能定理知回复力做功为零，故C正确；振幅A＝5cm，圆频率ω＝eq\f(2π,T)＝πrad/s，那么钢球振动方程为y＝Asinωt＝5sinπtcm，故D正确。3．【答案】BC【解析】在t＝0.2s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－eq\f(kx,m)，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误。三、单摆及其周期公式【例4】【答案】A【解析】摆长为l时单摆的周期T1＝2πeq\r(\f(l,g))，振幅A1＝lsinα(α为摆角)；摆长为eq\f(1,4)l时单摆的周期T2＝2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq\r(\f(l,g))＝eq\f(T1,2)，振幅A2＝eq\f(1,4)lsinβ(β为摆角)。根据机械能守恒定律得mgl(1－cosα)＝mgeq\f(l,4)(1－cosβ)，利用cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，cosβ＝1－2sin2eq\f(β,2)，以及sinα＝tanα＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝eq\f(1,2)A1，应选项A正确。4．【答案】AC【解析】将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，A正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，B错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，那么受到的合力不为零，C正确，D错误。5．【答案】AB【解析】由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2cm、1cm，故A正确；t＝2s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目中的条件不能比拟甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误。四、受迫振动和共振【例5】【答案】阻尼eq\f(1,3)【解析】由于水对小球有阻力的作用，因此圆盘停止转动后，小球做阻尼振动；圆盘转动时带动小球做受迫振动，因此小球振动稳定时的振动频率等于驱动力的频率，即小球的振动频率为eq\f(1,4)Hz＝0.25Hz；当驱动力的频率等于小球的固有频率时小球的振幅最大，即圆盘的转动频率应为3Hz，周期应为eq\f(1,3)s。6．【答案】ABD【解析】由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5Hz，固有周期为2s；再由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得此单摆的摆长约为1m；假设摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，那么共振曲线的峰将向左移动，应选项A、B、D正确。1．【答案】C【解析】在振子由O到a的运动过程中，其位移不断增大，回复力增大，加速度增大，但是由于加速度与速度方向相反，故速度减小，选项C正确。2．【答案】AD【解析】当位移减小时，回复力减小，那么加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，故A正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误；一次全振动，动能和势能可以屡次恢复为原来的大小，故C错误；速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，故D正确。3．【答案】D【解析】由题图可知振动周期为4s，振幅为8cm，A错误；第2s末振子在最大位移处，速度为零，位移为负，加速度为正向的最大值，B错误；从第1s末到第2s末振子的位移增大，振子在做加速度增大的减速运动，C错误；第3s末振子在平衡位置，向正方向运动，速度为正向的最大值，D正确。4．【答案】BCD【解析】由题图可知，质点振动的周期为T＝4s，故频率f＝eq\f(1,T)＝0.25Hz，A错误；在10s内质点振动了个周期，经过的路程是2.5×4A＝20cm，B正确；第5s末，质点处于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可得振动方程为x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t))cm，将t＝1.5s和t＝4.5s代入振动方程得x＝eq\r(2)cm，D正确。5．【答案】AB【解析】由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，知固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆共振，到达稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅最小，故B正确，C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故Tb等于t0，故D错误。6．【答案】ABC【解析】摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力对小球也不做功，整个过程中只有重力做功，所以机械能守恒，其仍能回到原来的高度，故A正确；频闪照相机拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线碰到障碍物前、后的周期之比为3∶2，根据单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得摆长之比为9∶4，故B正确；摆球经过最低点时，线速度不变，半径变小，根据F－mg＝meq\f(v2,l)知，张力变大，根据v＝ωr，知角速度增大，故C正确，D错误。7．【答案】ABD【解析】由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得知，甲、乙两单摆的摆长相等，A正确；甲摆的振幅为10cm，乙摆的振幅为7cm，那么甲摆的振幅比乙摆大，B正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长相等，但由于两摆的质量未知，故无法比拟机械能的