2020年湖南省郴州市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2020年郴州市初中学业水平考试试卷

数学（试卷卷）

第I卷（共24分）

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.如图表示互为相反数的两个点是（）

BD

I______|_

-3-2-10123

A.点A与点BB.点A与点£）C.点C与点3D.点C与点。

2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.北斗卫星导航系统可提供高

精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒=1000000000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（）

Alxl（y8秒B.lxlCf9秒C.10x10—9秒D.0.1x10—9秒

3.下列图形是中心对称图形的是（）

©

4.下列运算正确的是()

A.(-a)4=a4B.a2-a3=a6C.网—丘=娓D.2a3+3〃=5笳

5.如图，直线被直线c,d所截下列条件能判定a//b的是（）

A.Nl=N3B.N2+N4=180

C.Z4=Z5D.Z1=Z2

6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：

鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5

销售数量（双）27181083

则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）

A.中位数B.平均数C.众数D.方差

7.如图1,将边长为X的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个

长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式（）

A.犬？-2x+1—(x—I)?B.犬之一1=(%+l)(x—1)C.+2x+1=(x+1)^D.—x-x(x—1)

8.在平面直角坐标系中，点A是双曲线弘=2（x〉0）上任意一点，连接A0,过点。作A0的垂线与双曲线

X

y,=幺（％<0）交于点3,连接A5.已知四=2,则3=（）

xBO必2

第II卷（共106分）

二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）

9.若分式—的值不存在，则X=________.

X+1

10.已知关于X一元二次方程2/—5x+c=0有两个相等的实数根，则。=

11.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件次品.试据此估计这批电子元件中大约

有一件次品.

12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94.方差为$2=8.0.后来老

师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差$新2=.

13.小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：

日期X（日）1234

成绩y（个）40434649

小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为一—

2

14.在平面直角坐标系中，将AAOB以点。为位似中心，j■为位似比作位似变换，得到AA0用.已知A（2,3）,则

点4的坐标是

侧面展开图的面积为60»，则圆锥主视图的面积为

16.如图，在矩形ABCD中，A£>=4,A3=8.分别以点民。为圆心，以大于,初的长为半径画弧，两弧相交于

2

点E和歹.作直线EF分别与DC,DB,AB交于点M,O,N,则MN=

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.计算：d)T—2cos45+|1-V2|-(V3+1),

18.解方程:

x-1%--1

19.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和产，使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.求

证：四边形BED厂是菱形.

20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送.某

校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A.效果很好；B.效果较好；C.效果

一般；。.效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

人数/个f80

7OrrT"6o".....................//、

BCD学习委员

（1）此次调查中，共抽查了名学生；

（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中/a的度数；

（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取2

人，贝卜'1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）

21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面。处

发射、当火箭到达点A时，地面。处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30。.3秒后，火箭直线上升到达点3处,

此时地面C处的雷达站测得3处的仰角为45。.已知两处相距460米，求火箭从A到3处的平均速度（结果

精确到1米，参考数据：8。1.732,71=1.414）

22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万

元吨，采购两种物资共花费1380万元.

(1)求甲、乙两种物资各采购了多少吨？

(2)现在计划安排A3两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡

车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆3型卡车.按此要求安排A3两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

23.如图，ABC内接于。。，AB是。。的直径.直线/与。。相切于点A,在/上取一点。使得ZM=DC.线

段。C,的延长线交于点E.

(1)求证：直线。C是。。的切线；

(2)若BC=2,NC43=30。，求阴影部分面积(结果保留万).

24.为了探索函数丁=%+工(1>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法.

X

列表:

1j_

X12345

432

171055_101726

y2

TT22TTy

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所

示：

5-

图1图2

(1)如图1,观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

(2)已知点(%,%),(&,%)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：

若0<占</<1,贝U/%；

若1<%<%,则%_为；

若石・々=1,则/_%(填“>”，"="，“<”)•

(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为1千元/平

方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元.

①请写出y与x的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长X应控制在什么范围内？

25.如图1,在等腰直角三角形ADC中，NADC=90,AD=4.点E是的中点,以DE为边作正方形DEFG,

连接AG,CE.将正方形。E5G绕点。顺时针旋转，旋转角为e(0<e<90).

AAA

GDDCDC

图1图2图3

(1)如图2,在旋转过程中，

①判断AAGD与ACED是否全等，并说明理由；

②当CE=CD时，AG与EF交于点H,求GH的长.

(2)如图3,延长CE交直线AG于点P.

①求证：AG±CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

26.如图1,抛物线丁=以2+云+3(4/0)与％轴交于4—1,0),3(3,0),与y轴交于点C.已知直线,=丘+”过

5c两点.

(1)求抛物线和直线的表达式；

(2)点尸是抛物线上的一个动点，

①如图1,若点尸在第一象限内，连接K4,交直线于点。.设APZJC的面积为Sj,AAOC的面积为邑，求

1t的最大值；

②如图2,抛物线的对称轴/与％轴交于点£,过点石作石尸，8C,垂足为斤.点。是对称轴/上的一个动点，

是否存在以点E,F,RQ为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点RQ的坐标；若不存在，请说明理由.

t'情'4>'iZ

\0尸\ZT\P\/7\

c)\/\C/\\

（图1）（图2）(备用图)

2020年郴州市初中学业水平考试试卷

数学（试卷卷）

第I卷（共24分）

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.如图表示互为相反数的两个点是（）

ACBD

-3-2-10123

A.点A与点BB.点A与点£）C.点C与点3D.点C与点。

【答案】B

【分析】

根据一个数的相反数定义求解即可.

【详解】解：在-3,-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点.

故选：B.

【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上号：一个正数的相反数是负数，一个

负数的相反数是正数，0的相反数是0.

2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.北斗卫星导航系统可提供高

精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒=1000000000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（）

A.1x10-8秒B.lxlCf9秒C.10x1。一❷秒D.0.1x10—9秒

【答案】A

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-,与较大数的科学记数法不同的是其所使用

的是负整数指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】秒=1000000000纳秒，

.1.10纳秒=10+1000000000秒=0.00000001秒=1x10-8秒.

故选：A.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl。-',其中lW|a|<10,n为由原数左边起第一个不

为零的数字前面的0的个数所决定.

3.下列图形是中心对称图形的是（）

©B⑤

【答案】D

【分析】

根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图

形可得答案.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4.下列运算正确的是（）

A.（一＜7）"=/B.a~-a3=a6C.yjs—A/2=y/60.2a3+3a1—5a5

【答案】A

【分析】

根据积的乘方、同底数骞的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可.

【详解】A.（-a）4=a4,计算正确，符合题意；

B.。2./="+3=。5,故本选项错误；

C.78-72=272-72=72,故本选项错误；

D.2a3+3/不能计算，故本选项错误；

故选：A.

【点睛】本题综合考查了积的乘方、同底数累的乘法、二次根式的减法以及合并同类项，熟练掌握运算性质和法则

是解答此题的关键.

5.如图，直线a力被直线c,d所截下列条件能判定「//的是()

A.Z1=Z3B.N2+N4=180

C.Z4=Z5D.Z1=Z2

【答案】D

【分析】

直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案.

【详解】A、当/1=/3时，c〃d,不能判定2〃比故此选项不合题意；

B、当/2+/4=180°时，c〃d,不能判定@〃1),故此选项不合题意；

C、当N4=/5时，c//d,不能判定2〃9故此选项不合题意；

D、当N1=N2时，a〃b,故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键.

6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：

鞋的尺码(cm)2424.52525.52626.5

销售数量(双)27181083

则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是()

A.中位数B.平均数C.众数D.方差

【答案】C

【分析】

鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号.

【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数.

故选：C.

【点睛】本题考查对统计量的意义的理解与运用，能对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键.

7.如图1,将边长为X的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个

长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式（）

M11*12

A.x-2x+1=(x-1)~B.x"-1—(x+1)(%-1)C.x~+2%+1=(x+1)?D.x~-x—x(x-1)

【答案】B

【分析】

利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.

【详解】第一个图形空白部分的面积是X2-1,

第二个图形的面积是（X+1）（X-1）.

则x2-l=（X+1）（X-1）.

故选：B.

【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键.

8.在平面直角坐标系中，点A是双曲线％=2（x>0）上任意一点，连接AO,过点。作AO的垂线与双曲线

%=8（x<0）交于点瓦连接已知也=2,则?=（）

xBO化2

D.-2

【答案】B

【分析】

分别作AEJ_x轴，BFJ_x轴，垂足分别为E,F,证明△AOEs^OBF得到多"=（士^/=4,结合反比例函数

S'BOFBO

的系数的几何意义即可得到答案.

【详解】解：过A作AE，x轴，过B作BF，x轴，垂足分别为E,F,如图,

贝IJNAEO=NBFO=90°

ZAOE+ZOAE=90°

VZAOB=90°,

ZBOF+ZAOE=90°

.•.ZOAE=ZBOF,

AAOE^AOBF,

.S^AOE_[A。。_A

••or宜

,:勺>0,攵2<°，

故选：B.

【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似三角形的

s

判定与性质表示出=4是解题的关键.

QARC尸

第II卷（共106分）

二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）

9.若分式’的值不存在，则X=.

【答案】-1

【分析】

根据分式无意义的条件列出关于X的方程，求出X的值即可.

【详解】•••分式」一的值不存在，

X+1

x+l=O,

解得：x=-l,

故答案为:-1.

【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键.

10.已知关于x的一元二次方程2f—5x+c=0有两个相等的实数根，贝1Jc=.

25

【答案】y

【分析】

利用判别式的意义得至U_=廿一4ac=(—5『一4x2c=0,然后解关于c的方程即可.

【详解】b=-5,c=c,

根据题意得=/—4ac=(—5『一4x2c=0,

25

解得c，

8

故答案为：一25.

8

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程以2+陵+C=0(「wo)的根与_=尸-4ac有如下关系：当>

。时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当.<0时，方程无实数根.

口.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品.试据此估计这批电子元件中大约

有件次品.

【答案】20

【分析】

先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可.

【详解】：随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，

2

次品所占的百分比是：一xl00%=2%,

100

...这一批次产品中的次品件数是：：1000x2%=20m),

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键.

12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94,方差为1=8.0.后来老

师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差§新2=.

【答案】80

【分析】

根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.

【详解】：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常

数，方差不变，

，所得到的一组新数据的方差为S新2=8。;

故答案为：8.0.

【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握

一组数据都加上同一个非零常数，方差不变.

13.小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：

日期X（日）1234

成绩y（个）40434649

小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为.

【答案】y=3x+37.

【分析】

利用待定系数法即可求出该函数表达式.

【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b,根据题意得：

k+b=40

<2k+b=43'

k=3

解得/cr，

[b=31

.,.该函数表达式为y=3x+37.

故答案为:y=3x+37.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键.

2

14.在平面直角坐标系中，将AAO3以点。为位似中心，!■为位似比作位似变换，得到用.已知42,3),则

点4的坐标是—

【分析】

直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可.

2

【详解】解：：将aAOB以点0为位似中心，§为位似比作位似变换，得到△AiOBi,A(2,3),

...点Ai的坐标是：||x2,gx3),

即Ait".

故答案为c.

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

15.如图，圆锥的母线长为10,侧面展开图的面积为60%,则圆锥主视图的面积为.

【答案】48

【分析】

圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=7irl代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥

的高即可.

【详解】根据圆锥侧面积公式：S=7trl,圆锥的母线长为10,侧面展开图的面积为60兀，

故60兀=7txl()xr,

解得：r=6.

由勾股定理可得圆锥的高=Jl()2_62=8

..•圆锥主视图是一个底边为12,高为8的等腰三角形，

.♦.它的面积=！><12x8=48,

2

故答案为：48

【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键.

16.如图，在矩形ABCD中，AO=4,AB=8.分别以点5。为圆心，以大于工初的长为半径画弧，两弧相交于

2

点E和尸.作直线EF分别与DC,DB,AB交于煎M,O,N,则MN=.

【答案】275

【分析】

连接DN,在矩形ABCD中，AD=4,AB=8,根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直

平分线，所以DN=BN,在RtAADN中，根据勾股定理得DN的长，在RtADON中，根据勾股定理得ON的长，进

而可得MN的长.

【详解】如图，连接DN,

在矩形ABCD中，AD=4,AB=8,

BD=7AB2+AD2=4行

根据作图过程可知：

MN是BD的垂直平分线，

.\DN=BN,0B=0D=2逐,

AN=AB-BN=AB-DN=8-DN,

在RSADN中，根据勾股定理，得

DN2=AN2+AD2,

.\DN2=（8-DN）2+42,

解得DN=5,

在RtADON中，根据勾股定理，得

ON=JDN2_O£>2=非,

:CD〃AB,

，ZMDO=ZNBO,

ZDMO=ZBNO,

VOD=OB,

AADMO^ABNO(AAS),

.-.0M=0N=^/5,

：.MN=2y/5.

故答案为：2逐.

【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段

垂直平分线的性质.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.计算：(g)T—2cos45+|1-V2|-(A/3+1)°

【答案】1

【分析】

根据负整指数骞的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数募的性质，直接计算即可.

【详解】(1)-1-2cos45+|1-V2|-(V3+1)0

=3-2x—+V2-1-1

2

=3-V2+V2-l-l

=1

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数募，负整数指数募，绝对值及特殊角的余弦值等，灵活运用

是解题关键.

【答案】x=3.

【分析】

观察可得方程最简公分母为（X2-1）,去分母，转化为整式方程求解，结果要检验.

【详解】解：3=­匚+1

x-lX—1

去分母得，x（x+l）=4+x2-1

解得，x=3,

经检验，x=3是原方程的根，

所以，原方程的根为：x=3.

【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意

要检验.

19.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和尸，使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.求

证：四边形3EDP是菱形.

【答案】见解析

【分析】

连接BD,由菱形ABCD的性质得出OA=OC,OB=OD,AC±BD,得出OE=OF,证出四边形BEDF是平行四边形,

再由EFLBD,即可证出四边形BEDF是菱形.

【详解】证明：连接BD,交AC于O,如图所示：

:四边形ABCD是菱形，

.•.OA=OC,OB=OD,AC±BD,

VAE=CF,

.•.OE=OF,

四边形BEDF是平行四边形，

VEFXBD,

四边形BEDF是菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质.

20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送.某

校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A.效果很好；B.效果较好；C.效果

一般；。.效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中/a的度数；

（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取2

人，贝卜'1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）

【答案】（1）200；（2）补全条形统计图见解析，72。；（3）J.

6

【分析】

（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数；

（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数,

得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360。可得到Noc；

（3）用A,B,C,D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“1人

认为效果很好，1人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.

【详解】（1）80+40%=200（人），

故答案为：200；

（2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人）,

补全条形统计图如下：

200

（3）用A,B,C,D分别表示甲，乙，丙，丁,

①画树状图如下：

共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种,

21

AP（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=—=-；

②列表如下

认为效果很好

ABCD

认为效果较好

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，

2I

AP（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=—=-；

126

【点睛】本题考查了从条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，要

把两图形结合在一起进行解答.同时还考查了画树状图或列表求概率.

21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面。处

发射、当火箭到达点A时，地面。处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30。.3秒后，火箭直线上升到达点3处,

此时地面C处的雷达站测得3处的仰角为45。.已知两处相距460米，求火箭从A到5处的平均速度（结果

精确到1米，参考数据：百。1.732,0^1.414）

【答案】火箭从A到B处的平均速度为335米/秒.

【分析】

设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x,在Rt^ADO中，ZADO=30°,AD=4000,可得

A0=2000,00=200073,在RtZXBOC中，NBCO=45。，可得BO=OC,即可得2000+3x=2000百-460,进而解得

x的值.

【详解】解：设火箭从A到B处平均速度为x米/秒，根据题意可知：

AB=3x,

在RtZXADO中，ZADO=30°,AD=4000,

.•.A0=2000,

.,.DO=200073,

VCD=460,

.\OC=OD-CD=200073-460,

在RtZXBOC中，ZBCO=45°,

.•.BO=OC,

OB=OA+AB=2000+3x,

2000+3x=200073-460,

解得x-335（米/秒）.

答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义.

22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万

元吨，采购两种物资共花费1380万元.

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？

（2）现在计划安排A8两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡

车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆3型卡车.按此要求安排A,3两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，

25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车.

【分析】

（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两

种物资共花费1380万元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240

吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运

输方案.

【详解】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨,

x+y=540

依题意,

3x+2y=1380

户300

解得：

y=240

答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨.

（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆,

7/Tz+5（50-m）>300

依题意,得：＜

+7（50-7”）2240

解得：25勺把27人

2

：m为正整数，

；.m可以为25,26,27,

，共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2:安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；

方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

23.如图，ABC内接于。。，AB是。。的直径.直线/与。。相切于点4,在/上取一点。使得ZM=DC.线

段。C,A6的延长线交于点E.

（1）求证：直线。。是。。的切线；

（2）若BC=2,ZCAB=30°,求阴影部分的面积（结果保留力）.

l)\

【答案】(1)见解析；(2)273

【分析】

(1)连接0C,根据OA=OC,D4=OC可得/OAC=/OCA,/DAC=/DCA,再根据直线/与。。相切于点A

可得NZMO=90。，进而可得乙DCO=90。，由此可证得直线。C是。。的切线；

2

(2)先证明BOC为等边三角形，可得05二OC=2,根据扇形面积公式可求得S扇形30c=耳左，再利用含30°

的直角三角形的性质及勾股定理可求得。石=26，由此可求得5根维=2百，最后便可得

2

S阴影=SMOE_S扇形30c=2J5.

【详解】(1)证明：连接OC

・.・。4二OC

：.ZOAC=ZOCA,

9：DA=DC,

：.ZDAC=ZDCA,

・・,直线/与。。相切于点A,

：.ZDAO=90°,

：.ZDAC+ZOAC=90°,

AZ£)CA+ZOCA=90o,

AZDCO=90°,

・•.OC±DC,

又・・,点C在。。上，

・・・直线oc是。。的切线；

(2)解：・・・NCAB=30。,

：.ZCOB=2ZCAB^60°,

^9：OB=OC,

►BOC为等边三角形,

0B=0C=BC=2,

_60•万"_2

扇形B*=360=§"'

VZOCE=90°,ZCOB=60°,

ZE=90°-ZCOB=30°,

・•・OE=2OC=4,

・••在Rt・COE中，CE=y]OE2-OC2=2^

***SMOE=E℃,OE

二：x2x2百

=2G)

•*,S阴影=S4COE~S扇形80c=20

...阴影部分的面积为2j§—2乃.

3

【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切

线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键.

24.为了探索函数y=x+'(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法.

x

列表：

1J_

X12345

432

171055_101726

y2

TT22TT1~

描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图I所

示：

5-

4-

3■

21

1-

~~1~2~3~4~5_*

图1图2

(1)如图1,观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

(2)已知点(%,%),(&,%)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：

若0<占</<1,贝U/%；

若1<X]<%,则%_为；

若石.々=1,则/_%(填“>”，"="，“<”)•

(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为1千元/平

方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元.

①请写出y与x的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长X应控制在什么范围内？

【答案】⑴见解析；(2)>；<；=；(3)@y=x+-+l；②工VxV2.

x2

【分析】

(1)用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；

(2)观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；

(3)①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可

表示出y与x的函数关系式；

②根据函数关系式结合表格可得出X的控制范围.

【详解】(1)如图1所示；

y八

5

____A，11J.

~~1~2~3~4~5x

图1

(2)根据图象和表格可知，当0<%</<1时，%>为；当1<%<々，则为<为；当为•々=1,贝U%=%；

(3)①♦..底面面积为1平方米，一边长为x米，

.♦.与之相邻的另一边长为工米，

X

二水池侧面面积的和为：1XXX2+1XLX2=2(X+L)

XX

V底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，

y=1x1+2(%H—)x0.5—xH1

XX

即：y与x的函数关系式为：y=x+-+l；

X

②•・,该农户预算不超过3.5千元，即y<3.5

1।一

x----F1V3.5

x

1-L

xH—V2.5,

X

根据图象或表格可知，当2<y<2.5时，^<x<2,

因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长工应控制在.

2

【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

25.如图1,在等腰直角三角形ADC中，NADC=90,AD=4.点E是4。的中点，以OE为边作正方形DEFG,

连接AG,CE.将正方形DEFG绕点。顺时针旋转，旋转角为e(0<a<90)

(1)如图2,在旋转过程中，

①判断AAGD与ACED是否全等，并说明理由；

②当CE=CD时，AG与EF交干点H,求GH的长.

(2)如图3,延长CE交直线AG于点P.

①求证：AG±CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)①全等，证明见解析；②生叵；(2)①证明见解析；②26+2.

15

【分析】

(1)①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理(SAS)即可证明；②过A点作AM,G。垂

足为M,交FE与N,利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出

cosZGAM=cosZAGF=巫,再由G"=———求出结果；

4cosZAGF

(2)①根据全等三角形性质可得NG4£>=NECD,再在△APC和ADC中由三角形内角和定理得出

ZGAD+ZECA+ZDAC=90°,从而证明结论；②根据NAPC=90。得出PC最大值是NG4D最大时，即GD±AG

时，进而可知CEF三点共线，尸与尸重合，求出此时CE长，继而可得C尸最大值.

【详解】解：(1)①全等，理