2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题(总分：150.00，做题时间：180分钟)一、选择题(总题数：10，分数：50.00)1.函数，在x=0处（

）。

（分数：5.00）

A.连续且取极大值

B.连续且取极小值

C.可导且导数为0

D.可导且导数不为0

（正确答案）解析：因为，故f(x)在x=0处连续；

正确答案为D。2.设函数f（x,y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x，x2）=2x2lnx，则df（1，1）=（

）。

（分数：5.00）

A.dx+dy

B.dx1dy

C.dy

（正确答案）

D.-dy解析：3.设函数在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则（

）。

（分数：5.00）

A.

（正确答案）

B.

C.

D.解析：根据麦克劳林公式有

故，本题选A。4.设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则（

）。

（分数：5.00）

A.

B.

（正确答案）

C.

D.解析：由定积分的定义知，将（0,1）分成n份，取中间点的函数值，则故选B。5.二次型f（x1,x2,x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为（

）。

（分数：5.00）

A.2,0

B.1,1

（正确答案）

C.2,1

D.1,2解析：f（x1,x2,x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2=2x22+2x1x2+2x2x3+2x1x3

令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1。故应选B。6.已知，记β1=α1，β2=α2-kβ1，β3=α3-l1β1-l2β2，若β1，β2，β3两两正交，则l1，l2依次为（

）。

（分数：5.00）

A.

（正确答案）

B.

C.

D.解析：利用斯密特正交化方法知

7.设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是（

）。

（分数：5.00）

A.

B.

C.

（正确答案）

D.解析：

8.设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（

）。

（分数：5.00）

A.

B.

C.

D.

（正确答案）解析：

故正确答案为D。9.设（X1,Y1）,（X2,Y2）,...,（Xn,Yn）为来自总体N的简单随机样本，令则（

）。

（分数：5.00）

A.

B.

C.

（正确答案）

D.解析：因为X,Y是二维正态分布，所以也服从二维正态分布，即故正确答案为C。10.设X1,X2...,X16是来自总体N（μ,4）的简单随机样本，考虑假设检验问题：H:μ≤10,H:μ＞10。Φ（x）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为，其中，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（

）。

（分数：5.00）

A.1-Φ（0.5）

B.1-Φ（1）

（正确答案）

C.1-Φ（1.5）

D.1-Φ（2）解析：所求概率为

故本题选B。二、填空题(总题数：6，分数：30.00)11.________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：12.设函数y=y（x）由参数方程________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：13.欧拉方程x2y"

+xy'-4y=0满足条件y(1)=1,y'(1)=2得解为y=________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：x2）解析：14.设Σ为空间区域{（x，y，z）|x2+4y2≤4，0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：4π）解析：由高斯公式得原式=15.设A=aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|

=3，A11+A21+A31=________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：三、解答题(总题数：6，分数：70.00)17.求极限

（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：18.设

（分数：12.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：19.已知曲线，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。

（分数：12.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：设D⊂R是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D1。（分数：12）(1).求

I(D1)的值.（分数：5）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(由二重积分的几何意义知：大于0时，I(D)达到最大，)解析：(2).（分数：7）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(补D2:x2+4y2=r2（r很小），取D2的方向为顺时针方向，

)解析：已知（分数：12）(1).求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵。（分数：6）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：(2).求正定矩阵C，使得C2=（a+3）E-A。（分数：6）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(

)解析：在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令（分数：12）(1).求X的概率密度。（分数：3）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：(2).求Z的概率密度。（分数：6）____________________________________________