广东省广州市海珠区中山大学附中2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是(

)A. B. C. D.2.抛物线的开口方向是(

)A.向上 B.向右 C.向下 D.向左3.方程的根是(

)A. B. C. D.或4.如图，在中，，，则的度数为(

)A.

B.

C.

D.5.如图，弦CD垂直于的直径AB，垂足为H，且，，则AH的长是(

)A.3

B.5

C.8

D.18

6.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是(

)A. B.

C. D.7.若抛物线的解析式是：，点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是(

)A. B. C. D.8.如图，已知▱中，于点E，以点B为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到，连接若，，则的大小为(

)A. B. C. D.9.二次函数的图象上有两点和，则值等于(

)A.2020 B.2021 C.2022 D.202310.如图，已知中，，，，，，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CE，连接ED、BE，点F在直线AF上且，则BE最小值为(

)A.1

B.2

C.3

D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.抛物线的顶点坐标为______.12.点关于原点对称的点的坐标为______.13.已知方程的一根是，方程的另一根为______.14.如图，四边形ABCD是的内接四边形，若，则______.

15.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______.

16.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点在y轴上，则下列结论：

①抛物线的解析式是；

②若函数值，则x的取值范围是或；

③若点P为抛物线上的一点，且，则点P的坐标为或；

④连接BC，D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点P，则DP有最大值为

其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题4分

解方程：18.本小题4分

在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点坐标分别为，，

将向左平移4个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为、、，请画出；

以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、，请画出19.本小题6分

二次函数的图象经过点

求二次函数的对称轴；

当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标.20.本小题6分

已知关于x的一元二次方程

求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

若方程的两实数根为，，且满足，试求出p的值.21.本小题8分

如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点

求证：；

求的度数．22.本小题10分

如图，以的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若

连接AO，求证：；

若，，求的半径.23.本小题10分

某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克.

预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；

某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果.经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克.设水果店一天的利润为w元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？24.本小题12分

【课本再现】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则______；

【迁移应用】如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点不与点C，D重合，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转至FE，作射线FD交BC的延长线于点G，求证：；

【拓展延伸】在菱形ABCD中，，E是CD边上一点不与点C，D重合，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转至FE，作射线FD交BC的延长线于点

①线段CG与BC的数量关系是______；

②若，E是CD的三等分点，则的面积为______.

25.本小题12分

已知抛物线，直线l：

直接写出抛物线C的顶点，请问直线l是否经过该点？

若，，当时，二次函数的最大值为，求t的值；

点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当时，若线段不含端点P，上至少存在一个横坐标为整数的点，求k的取值范围.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】C

【解析】解：由题意，抛物线的，

抛物线开口向下．

故选：

依据题意，根据抛物线解析式中即可判断得解．

本题主要考查了抛物线的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．3.【答案】D

【解析】解：，

，

则，

或，

解得或，

故选：

利用因式分解法求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4.【答案】B

【解析】解：，，

，

故选：

根据同弧所对的圆周角相等可得，根据三角形内角和定理即可求解．

本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：连接OC，

是的直径，，，，

，，

在中，，

，

故选：

连接OC，根据垂径定理求出CH，根据勾股定理即可得到答案．

本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．6.【答案】D

【解析】解：某电影上映的第一天票房为2亿元，且平均每天票房的增长率为x，

该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元．

根据题意得：

故选：

根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，结合三天累计票房为亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】C

【解析】解：，

抛物线开口向上，对称轴为直线，

，

，

故选：

由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，关键是能综合运用以上知识点求出和

根据平行四边形对角相等、邻角互补，得，，再由，可运用三角形外角求出，再根据旋转的性质得，可得答案．

【解答】

解：四边形ABCD是平行四边形，，

，，

，

，

，

于点E，

，

顺时针旋转，得到，

，

故选9.【答案】D

【解析】解：点和在二次函数的图象上，

、b是方程的两个根，

，

将代入，

，

，

，

故选：

由题意可得a、b是方程的两个根，则有，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可．

本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．10.【答案】D

【解析】解：，，

，

即，

由旋转可知：，，

，

在和中，

，

≌，

，

则当时，CF最小，即BE最小，

，，，，

点C到AD的距离为，

的最小值为，

故选：

首先通过证明≌得到，再根据垂线段最短将最小值转化为点C到AD的距离，最后利用面积法计算即可．

本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，知识点较多，解题的关键是能够通过全等三角形的性质将所求线段转化为其他线段．11.【答案】

【解析】解：

，

顶点坐标为，

故答案为：

由抛物线解析式可求得答案．

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为12.【答案】

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为，

故答案为：

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．13.【答案】1

【解析】解：设方程的另一根为n，

由一元二次方程根与系数的关系得：，

解得，

即方程的另一根为1，

故答案为：

根据一元二次方程根与系数的关系即可得．

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．14.【答案】

【解析】解：四边形ABCD是的内接四边形，

，

，

，

故答案为：

由圆内接四边形的性质推出，又，求出，由圆周角定理得到

本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出，由圆周角定理得到15.【答案】

【解析】解：点A的坐标为，

，

四边形OABC是正方形，

，

连接OB，

四边形OABC是正方形，

，，

由勾股定理得：，

由旋转得：，

将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转，依次得到…，

，，，，，，，…，

发现是8次一循环，所以…7，

点的坐标为

故答案为：

根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．

本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，规律性的探索，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够掌握从特殊到一般探究规律的方法．16.【答案】①②④

【解析】解：抛物线的顶点在y轴上，

可设抛物线的解析式为，

由题图可知，抛物线过点，

，

解得：，

抛物线的解析式为，故①正确；

令中的，得，

解得：，，

点B的坐标为，

由函数图象可知，若函数值，则x的取值范围是或，故②正确；

设点，

由，，得，

，

，

解得：或，

点P的坐标为或或或，故③错误；

如图，

设直线BC的解析式为，

则，

解得：，

直线BC的解析式为，

设点D的坐标为，则，

，

，

当时，DP有最大值1，故④正确．

综上，正确的结论有①②④．

故答案为：①②④．

根据题意可设抛物线的解析式为，再将点A的坐标代入求得，以此可判断①；令，求出点B的坐标为，观察函数图象可判断②；设点，则，解出t值即可判断③；利用待定系数求得直线BC的解析式为，进而设，则，于是，根据二次函数的性质即可得出DP的最大值，以此判断④．

本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．17.【答案】解：，

移项得：，

整理得：，

或，

解得：或

【解析】移项后提取公因式后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．

本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以，这样会漏根．18.【答案】解：如图1，为所求；

如图2，为所求．

【解析】利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可；

利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可．

本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．19.【答案】解：由题意得：二次函数的对称轴为：

直线

将点代入二次函数得：，

解得：，

二次函数的表达式为：

上式变形得：，

顶点坐标为：

【解析】根据二次函数的性质进行解答即可；

用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可．

本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．20.【答案】证明：方程为：，

，

方程总有两个不相等的实数根；

解：由得，

，，

，

，

，

解得：，

实数p的值为

【解析】将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可；

根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．

本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键．21.【答案】证明：是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，

，，，

，即，

，

，

可由绕点A按顺时针方向旋转得到，

；

解：可由绕点A按顺时针方向旋转得到，

≌，

，

设AC与BE相交于O，

，

【解析】由旋转的性质可得出结论；

由全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理可得出答案．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．22.【答案】证明：连接AO，

，

，

，

，

为BE的下半圆弧的中点，

，

，

，

；

解：在中，，

，

不合题意舍去或，

的半径为

【解析】连接AO，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论；

在由勾股定理可求解．

本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．23.【答案】解：设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，

由题意，得：，

解得：，舍去

答：平均每年的增长率为；

设每千克的平均销售价为m元，由题意得：

，

，

当时，w取得最大值为

答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．

【解析】设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；

设每千克的平均销售价为m元，由题意得关于m的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．

本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．24.【答案】或

【解析】【课本再现】解：四边形ABCD和四边形CEFG是全等的矩形，

，，，

≌，

，，

，

，

，

，

故答案为：

【迁移应用】证明：过点F作，交CD的延长线于H，

四边形ABCD是正方形，

，，

，

由旋转得，，

，

，

≌，

，，

，即，

，

，

，

是等腰直角三角形，

；

【拓展延伸】解：①过点F作，与ED的延长线交于点H，

四边形ABCD是菱形，

，，

由旋转得，，

，

，

≌，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

是直角三角形，

，

，

故答案为：；

②当时，，

由①知，，

，

和底边CE、CD边上的高相等，

；

当时，，