北京大学2020高水平艺术团招生测试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2020年7月16日北京大学高水平艺术团招生文化课测试1．已知1，是的2019个根，求的值．2．已知在的延长线上，且，在上，且求与的比值.3．双曲线：有一点在双曲线上，分别过点作渐近线平行线交轴于，且在靠近原点的一侧，过点作轴垂线交以为直径的圆于点，求的取值范围.4．正方体分别为面的中心，求与夹角的正弦值．5．四边形中，且若四边形面积为求的长．6．已知三角形中且求的最小值．7．求的最大值与最小值之积．8．已知求的取值范围．9．已知三角形中：，求的值.10．已知，求的值．11．直角中，为直角，作到的中点距离为3，又已知所在的中线长为5，求．12．已知表示不超过的最大整数，如：等，求的值．13．已知表示不超过的最大整数，如：，等，现记为，则有几个交点．14．已知的三条边分别为3，4，6，则长为6的边对应的中线的长度位于区间（

）A． B．C． D．以上答案都不正确15．已知复数z满足，则中不同的数有（

）A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确16．平面上有个互不相交的圆，若该平面上的点不论往何种方向的射线都能与3个圆相交，问至少为多少？（

）A．6 B．7 C．8 D．都不是答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．1009【分析】令，得，再结合可得答案．【详解】由题意可得，则，因为，所以．2．【分析】利用正弦定理及两角差的正弦公式可求的值.【详解】因为，且，下面计算，因为则，所以，即，因此，从而可得则.3．【分析】根据直线方程可求得，由射影定理可求得结果.【详解】由对称性不妨取点在第一象限，设Px0,y由双曲线方程可得其渐近线方程为：，则，，，，，，.4．．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系,设

则，，∴与所成角θ的余弦值为.所以．5．【分析】把四边形面积转化为计算即可求出边长.【详解】将图形补成直角三角形易知因此则，则6．25【分析】本题建立直角坐标系，分析知点A始终在直线上运动，结合三角形面积公式以及等积变形可知，当最大时，取得最小值，此时，计算即可得出结果.【详解】由题意可得，因为，所以，欲使最小，则最大，如图所示，显然点在直线上运动，且在以为直径的圆外，欲使最大，则只需以为弦的圆与相切时最大，则此时，，即的最小值25．7．【分析】根据基本不等式结合不等式的性质应用求出最值计算即得.【详解】因为,所以,因为,所以当或者时，等号成立．同时当时，等号成立因此最大值和最小值的乘积为8．【分析】利用不等式的性质可求取值范围.【详解】根据题意知且，所以，则，所以故答案为：9．【分析】先应用余弦定理化简得出，再结合同角三角函数关系及两角和正弦公式化简，最后结合正弦定理求值.【详解】由余弦定理可得，则，则.10．1【分析】根据条件，利用指对数的互换和换底公式，得到，即可求出结果.【详解】由，得到，又由，得到，所以，故.11．20．【分析】算出斜边的长和斜边上的高的长度后可求面积.【详解】设为的中线，，且为直角，则，根据勾股定理得,于是.12．【分析】根据可求的形式，再利用分组求和可求数列的和.【详解】当为偶数时当为奇数时，，则因此.13．无穷多个【分析】根据新定义的含义可确定和的小数部分相同，由此可得结论.【详解】由得：，和的小数部分相同，为整数，有无穷多个交点.14．C【分析】根据边长与中线的等式关系可得正确的选项.【详解】根据平行四边形的性质，边长为6所对应的中线长x满足：，于是所求区间为．故选：C.15．B【分析】根据复数的三角形式可求，从而可判断出不同的数的个数.【详解】根据题意，有，于是中有6个不同的数．故选：B.16．D【分析】