第48讲　两直线的位置关系

第48讲两直线的位置关系【备选理由】例1、例2考查两条直线位置关系的应用;例3考查对称问题的应用;例4考查直线系问题,综合性较强;例5考查直线与其他知识的结合,有一定的综合性.例1[配例1使用]美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻翼下缘,鼻翼下缘至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的13,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,某人像三庭中一庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中线上,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(2≈1.414)A.1.8cm B.2.5cmC.3.2cm D.3.9cm[解析]如图,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界所在直线为x轴,垂直于中庭下边界的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A12,4,B-32,2,所以kAB=4-212--32=1,则直线AB的方程为y-2=x+32,整理得2x-2y+7=例2[配例1使用]已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则1a+1+1A.2 B.4C.25 D.45[解析]因为a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+2b=4,所以(a+1)+2b=5,所以1a+1+12b=15[(a+1)+2b]1a+1+12b=152+a+12b+2ba+1≥152+2a+1例3[配例3使用]若点P(0,1)在直线l1:ax+y-b=0上的投影是点Q(1,0),则直线l2:ax-y+b=0关于直线l:x+y-1=0对称的直线l3的方程为x+y-3=0.

[解析]由已知得a×1+0-b=0,-a×0-11-0=-1,解得a=-1,b=-1,则直线l2的方程为x+y+1=0.设直线l3上任意一点M(x,y)关于直线l:x+y-1=0的对称点为M1(x0,y0),可得y-y0x-x0例4[补充使用](多选题)[2023·深圳中学模拟]设直线系M:xcosθ+ysinθ=1+2sinθ(0≤θ≤2π),下列说法中正确的有 (BC)A.M中所有直线均经过一个定点B.存在定点P不在M中的任一条直线上C.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等[解析]由题知,点P(0,2)到直线xcosθ+(y-2)sinθ=1的距离d=1cos2θ+sin2θ=1,即M为圆C:x2+(y-2)2=1的全体切线组成的集合,从而M中存在平行的直线,故A错误;点(0,2)不在M中的任一条直线上,故B正确;对任意n≥3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确;如图,M中的直线能组成两种大小不同的正三角形例5[补充使用]如图,将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中,已知|AB|=|OB|=1,AB⊥OB,点P12,14是三角形木板内一点,现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可沿经过点P的任一直线MN将三角形木板锯成△AMN(M,N分别在边AO,AB上),(1)求直线MN的斜率k的取值范围;(2)设△AMN的面积为S,试求S的取值范围.解:(1)由题可知B(1,0),易得kOP=14-012-0=12所以-12≤k≤1所以k∈-1(2)设直线MN的方程为y=kx+b,因为直线MN过点P12所以14=k·12+b,得b=14所以直线MN的方程为y=kx+14-k因为A(1,1),B(1,0),所以直线OA的方程为y=x,直线AB的方程为x=1,所以M2k-14|AN|=1-2k+14设点M到直线AN的距离为d,则d=1-2k-14(k-1)=2k-34(k-1),因为-12≤k≤12,所以