第八章 第7讲 抛物线

第八章平面解析几何第7讲抛物线

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解抛物线

的定义、几

何图形和标

准方程，以

及简单几何

性质.抛物线的

定义及其

应用2022全国卷乙T5；2021新高考卷

ⅡT3；2021全国卷乙T21；2020全

国卷ⅠT4本讲每年必考，主

要以定义作为命题

思路，求解轨迹问

题、距离问题、最

值问题等.抛物线的

标准方程2023全国卷乙T13；2022全国卷

甲T20；2021新高考卷ⅠT14；2021

全国甲卷T20课标要求命题点五年考情命题分析预测2.了解抛物线

的简单应用.3.体会数形结

合的思想.抛物线的

几何性质2023新高考卷ⅡT10；

2021新高考卷ⅠT14；

2020全国卷ⅡT19；2020

全国卷ⅢT5在2025年高考备考中，在训

练常规题型的同时，应关注

抛物线的定义的应用.

1.抛物线的定义平面内与一个定点

F

和一条定直线

l

(

l

不经过点

F

)的距离①

⁠的点的轨迹叫

做抛物线.点

F

叫做抛物线的②

，直线

l

叫做抛物线的③

⁠.注意

定点

F

在定直线

l

上时，动点的轨迹为过点

F

且垂直于

l

的一条直线.相等

焦点

准线

2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形

几

何

性

质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点④

⁠⑤

⁠⑥

⁠⑦

⁠

⁠

标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)几

何

性

质准线方程⑧

⁠

⁠⑨

⁠⑩

⁠⑪

⁠

⁠范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e＝⑫

⁠焦半径(其中P(x0，y0)为抛物线上任一点)⑬

⁠

⁠⑭

⁠

1

x0

常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论如图，设

AB

是一条过抛物线

y

2＝2

px

(

p

＞0)焦点

F

的弦，

AB

所在直线的倾斜角为

α，若

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)，

A

，

B

在准线

l

上的射影分别为

A

1，

B

1，则

(4)当

N

为准线与

x

轴的交点时，∠

ANF

＝∠

BNF

.

(5)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2

p

，通径是过焦点的最短的弦.(6)以弦

AB

为直径的圆与抛物线的准线相切.(7)以

A

1

B

1为直径的圆与

AB

相切，切点为

F

，∠

A

1

FB

1＝90°.(8)当

M

1为

A

1

B

1的中点时，

M

1

A

⊥

M

1

B

.

(9)以

AF

或

BF

为直径的圆与

y

轴相切.

1.下列说法正确的是(

D

)A.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B.若抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)C.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形D123452.抛物线

y

＝4

x

2的焦点坐标为(

A

)C.(0，1)D.(1，0)

A123453.[2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中，开口朝左的是(

C

)A.y2＝5xB.x2＝－5yC.y2＝－5xD.x2＝5y[解析]抛物线

y

2＝5

x

的开口朝右，抛物线

x

2＝－5

y

的开口朝下，抛物线

y

2＝－5

x

的开口朝左，抛物线

x

2＝5

y

的开口朝上.故选C.C12345

A.2B.3C.4D.8

D12345

A.2B.3C.4D.5

B12345

命题点1

抛物线的定义及其应用例1

(1)[全国卷Ⅰ]已知

A

为抛物线

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)上一点，点

A

到

C

的焦点的距

离为12，到

y

轴的距离为9，则

p

＝(

C

)A.2B.3C.6D.9

C训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5(2)[2022全国卷乙]设

F

为抛物线

C

：

y

2＝4

x

的焦点，点

A

在

C

上，点

B

(3，0)，

若｜

AF

｜＝｜

BF

｜，则｜

AB

｜＝(

B

)A.2C.3B训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否

为抛物线.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程

中注意两者之间的相互转化.(3)最值问题：通过距离转化，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5训练1

[多选/2023惠州市二调]设抛物线

C

：

y

2＝8

x

的焦点为

F

，准线为

l

，点

M

为

C

上一动点，

E

(3，1)为定点，则下列结论正确的是(

AD

)A.准线l的方程是x＝－2B.｜ME｜－｜MF｜的最大值为2C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值为7D.以线段MF为直径的圆与y轴相切AD训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5(2)[2021新高考卷Ⅰ]已知

O

为坐标原点，抛物线

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)的焦点为

F

，

P

为

C

上一点，

PF

与

x

轴垂直，

Q

为

x

轴上一点，且

PQ

⊥

OP

.

若｜

FQ

｜＝6，则

C

的准线方程为

⁠.

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5方法技巧抛物线的标准方程的求法(1)定义法根据抛物线的定义求出

p

.标准方程有四种形式，要注意判断焦点位置及开口方向.(2)待定系数法当焦点位置不确定时，注意分类讨论.对于焦点在

x

轴上的抛物线的方程可设为

y

2＝

mx

(

m

≠0)，焦点在

y

轴上的抛物线的方程可设为

x

2＝

my

(

m

≠0).训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5训练2

(1)若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线

x

－2

y

－4＝0上，则此抛物线的

标准方程为

⁠.[解析]由

x

－2

y

－4＝0，令

x

＝0，得

y

＝－2；令

y

＝0，得

x

＝4.所以抛物线的焦

点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为

y

2＝16

x

或

x

2＝－8

y

.y

2＝16

x

或

x

2＝－8

y

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5(2)如图，过抛物线

y

2＝2

px

(

p

＞0)的焦点

F

的直线依次交抛物线及准线于点

A

，

B

，

C

，若｜

BC

｜＝2｜

BF

｜，且｜

AF

｜＝3，则抛物线的方程为

⁠.y

2＝3

x

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

A.p＝2C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形AC训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5方法技巧应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出拋物线

的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

A.p＝4C.｜BD｜＝2｜BF｜D.｜BF｜＝4ABC训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

巧用抛物线中的阿基米德三角形的几何性质例4

[2023温州市第一次适应性考试]已知

P

为直线

y

＝－

x

－1上一动点，过点

P

作抛

物线

C

：

x

2＝2

y

的两条切线，切点分别记为

A

，

B

，则原点

O

到直线

AB

距离的最

大值为(

B

)A.1D.2B训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

同理可得，直线

PB

：

y

＝

x

2

x

－

y

2.因为点

P

是直线

y

＝－

x

－1上一动点，所以不妨设

P

(

t

，－

t

－1)，则－

t

－1＝

x

1

t

－

y

1，－

t

－1＝

x

2

t

－

y

2，所以直线

AB

：

tx

－

y

＋

t

＋1＝0.直线

tx

－

y

＋

t

＋1＝0过定点

G

(－1，1)，

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

例5

[2021全国卷乙]已知抛物线

C

：

x

2＝2

py

(

p

＞0)的焦点为

F

，且

F

与圆

M

：

x

2＋(

y

＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求

p

；

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

(2)若点

P

在

M

上，

PA

，

PB

是

C

的两条切线，

A

，

B

是切点，求△

PAB

面积

的最大值.训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5方法技巧抛物线中的阿基米德三角形的几何性质圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线

x

2＝2

py

(

p

＞0)上

A

，

B

两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点

P

，

则△

PAB

为抛物线中的阿基米德三角形.若

AB

恰好过抛物线的焦点

F

(如图所示)，则

△

PAB

有以下基本性质：(1)点

P

必在抛物线的准线上.

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

A.点M的横坐标为2B.点M的纵坐标为3C.直线l的斜率等于2D.｜TM｜＝5ACD训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4例5

1.[命题点1/北京高考]设抛物线的顶点为

O

，焦点为

F

，准线为

l

，

P

是抛物线上异

于

O

的一点，过

P

作

PQ

⊥

l

于

Q

，则线段

FQ

的垂直平分线(

B

)A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP[解析]连接

PF

，由抛物线的定义可知｜

PQ

｜＝｜

FP

｜，故线段

FQ

的垂直平分

线经过点

P

.

B123452.[命题点2]在平面直角坐标系

xOy

中，动点

M

到定点

F

(1，0)的距离比到

y

轴的距

离大1，则动点

M

的轨迹方程为

⁠.

123453.[命题点2/2023陕西渭南二模]将抛物线

y

2＝

mx

绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好

与抛物线

y

＝2

x

2重合，则

m

＝(

A

)C.－2D.2

A12345

12345

12345

12345

12345

A.∠APB恒为锐角C.｜AP｜的最小值为4ABD12345

即3(

x

＋1)－

ty

＝0，则直线

AB

恒过点(－1，0).

12345

所以∠

APB

＜∠A'PB'≤60°，所以∠

APB

恒为锐角，所以选项A正确；当直线

AB

垂直于

x

轴时，由对称性可知，此时点

P

在

x

轴上，所以

P

(－4，0)，直

线

AB

的方程为

x

＝－1，又点

A

在

x

轴上方，

12345

12345

12345678910111213141516171.[2024福州市一检]已知点

P

(

x

0，2)在抛物线

C

：

y

2＝4

x

上，则点

P

到

C

的准线的

距离为(

C

)A.4B.3C.2D.1[解析]如图，抛物线

y

2＝4

x

的准线方程为

x

＝－1.由点

P

(

x

0，2)在抛物线

C

：

y

2＝4

x

上，得4＝4

x

0，所以

x

0＝1，故点

P

到

C

的准线的距离为2，选C.C2.[2024青岛市检测]设抛物线

C

：

x

2＝2

py

的焦点为

F

，

M

(

x

，4)在

C

上，｜MF｜＝5，则

C

的方程为(

A

)A.x2＝4yB.x2＝－4yC.x2＝－2yD.x2＝2y

A12345678910111213141516173.[2023安徽省名校联考]已知

O

为坐标原点，

F

为抛物线

C

：

y

2＝8

x

的焦点，

M

为

C

上一点，若｜

MF

｜＝8，则△

MOF

的面积为(

A

)C.8

A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.1B.2C.4D.6

B1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

C.－1A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

D.2

D1234567891011121314151617

12345678910111213141516177.[多选]已知点

M

(2，－2)在抛物线

x

2＝2

py

(

p

＞0)的准线上，

F

是抛物线的焦点，

过点

M

的两条直线分别与抛物线相切于点

A

，

B

，直线

MF

交直线

AB

于点

E

，则下

列结论正确的是(

BCD

)A.抛物线的方程为x2＝4yB.直线AB的方程为x－2y＋4＝0D.｜ME｜2＝｜AE｜·｜BE｜BCD1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

y

2＝

x

12345678910111213141516179.[2021北京高考]已知抛物线

C

：

y

2＝4

x

，

C

的焦点为

F

，点

M

在

C

上，且｜FM｜＝6，则点

M

的横坐标是

⁠.[解析]抛物线

C

：

y

2＝4

x

的焦点

F

(1，0)，准线方程为

x

＝－1，设点

M

的横坐标

为

x

0，则有

x

0＋1＝6，所以

x

0＝5.5

1234567891011121314151617

3

1234567891011121314151617

123456789101112131415161711.[2024信阳市月考]已知直线

l

与抛物线

C

：

x

2＝4

y

交于

A

，

B

两点，

M

是线段

AB

的中点.(1)若直线

AB

的斜率为1，求点

M

的横坐标；

1234567891011121314151617

(2)若｜

AB

｜＝8，求点

M

纵坐标的最小值.1234567891011121314151617∴(1＋

k

2)(

k

2＋

b

)＝4

②.由

x

1＋

x

2＝4

k

，得

y

1＋

y

2＝

k

(

x

1＋

x

2)＋2

b

＝4

k

2＋2

b

，故点

M

的坐标为(2

k

，2

k

2＋

b

)，

1234567891011121314151617

12.

[2023南昌市一模]“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线

C

1：

y

2＝－2

px

(

p

＞0)和

C

2：

y

2＝2

px

(

p

＞0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线

C

1，

C

2的焦点分别为

F

1，

F

2，点

P

在抛物线

C

1上，过点

P

作

x

轴的平行线交抛物线

C

2于点

Q

，若｜

PF

1｜＝2｜

PQ

｜＝4，则

p

＝(

D

)A.2B.3C.4D.6

D1234567891011121314151617

[解析]由题意可知，抛物线

E

的焦点为

F

(2，0)，准线方程为

x

＝－2.设

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)，

C

(－2，

y

3)，则有

x

1

x

2＝16.(过点(

a

，0)的直线交抛物线

y

2＝2

px

(

p

＞0)于

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)两点，则

x

1

x

2＝

a

2，

y

1

y

2＝－2

pa

)C1234567891011121314151617

123456789101112131415161714.[多选/2022新高考卷Ⅰ]已知

O

为坐标原点，点

A

(1，1)在抛物线

C

：

x

2＝2

py

(

p

＞

0)上，过点

B

(0，－1)的直线交

C

于