第65讲　二项分布与超几何分布、正态分布

第65讲二项分布与超几何分布、正态分布【备选理由】例1考查二项分布与不等式的综合应用,考查运算能力与逻辑思维能力;例2考查超几何分布的应用;例3考查正态分布与超几何分布的综合应用,考查分析与解决问题的综合能力.例1[配例1使用]2023年“五一”期间,为推动消费市场复苏,补贴市民,深圳市各区政府发放各类消费券,其中某区政府发放了市内旅游消费券,该消费券包含A,B,C,D,E,F六个旅游项目,甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的旅游项目,且他们的选择互不影响.(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率.(2)记X为这四个人中选择项目A的人数,求X的分布列及数学期望.(3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为n(n>4)个人,其他条件相同,那么这n个人中选择项目A的人数最有可能是多少?解:(1)由题意可知,每个人选择项目A的概率为C51C62=13故甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率为1-234=(2)由(1)可知,每个人选择项目A的概率为13,且每个人是否选择项目A相互独立故X服从二项分布B4,∴P(X=0)=234=1681,P(X=1)=C41×1P(X=2)=C42×132×1-132=2481=827,P(X=3)=C43×133则X的分布列为X01234P1632881∴X的数学期望E(X)=4×13=43(3)设Y为这n个人中选择项目A的人数,且选择项目A的人数最有可能为k,则P(Y=k)易知Y~Bn,13,n>4,则P(Y=i)=Cni13i23n-i=即2n!k!(n-k)!≥n!(∵n,k∈N*,n>4,k≤n,∴当n=3m+2,m∈N*时,不等式(*)为m≤k≤m+1,则k=m或k=m+1(m∈N*),即当n被3除余2时,选择项目A的人数最有可能是n-23当n=3m+1,m∈N*且m≥2时,不等式(*)为m-13≤k≤m+23,则k=m(m∈N*,m≥2),即当n被3除余1时,选择项目A的人数最有可能是当n=3m,m∈N*且m≥2时,不等式(*)为m-23≤k≤m+13,则k=m(m∈N*,m≥2),即当n被3整除时,选择项目A的人数最有可能是例2[配例2使用]文化月活动中,某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”,根据不同断句可以表达不同意思,“学/好数学/好”指要学好的数学,“学好/数学/好”强调数学学习的重要性,假设一段时间后,随机有N个字脱落.(1)若N=3,用随机变量X表示脱落的字中“学”的个数,求随机变量X的分布列及期望;(2)若N=2,假设某同学捡起后随机贴回,求标语恢复原样的概率.解:(1)方法一:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C33C53=110,P(X=1)=C21C32C53所以随机变量X的分布列为X012P133则随机变量X的期望E(X)=0×110+1×35+2×310方法二:易知随机变量X服从超几何分布,X的分布列为P(X=k)=C2kC33-kC53,k=0,1,2,所以E(2)方法一:按从左到右看,设“脱落第i个‘学’”为事件Ai(i=1,2),“脱落第j个‘好’”为事件Bj(j=1,2),“脱落‘数’”为事件C,“脱落2个字”为事件M,则M=A1A2+B1B2+A1B1+A1B2+A2B1+A2B2+A1C+A2C+B1C+B2C,P(A1A2)=C22C52=110,P(B1B2P(A1B1+A1B2+A2B1+A2B2)=C21·C21C52=410=25,P(A1C+A2C)=C21·C11C52所以标语恢复原样的概率P=[P(A1A2)+P(B1B2)]×1+[P(A1B1+A1B2+A2B1+A2B2)+P(A1C+A2C)+P(B1C+B2C)]×12=15+45×1方法二:由题知,脱落的2个字不同的概率p=1-C22C52所以标语恢复原样的概率为(1-p)+12p=3例3[配例2、例3使用][2024·四川叙永一中模拟]为了不断提高教育教学能力,某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后,为了解学习情况,负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(满时长为15小时),将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组,并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求a的值;(2)用样本估计总体,该地区教职工学习时间X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数,经计算知σ≈2.39,若该地区有5000名教职工,试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数;(3)现采用比例分配的分层随机抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人,并从中随机抽取3人进行调查,求这3人中学习时间在[7,9)内的人数的数字期望(结果四舍五入取整数).附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1,解得a=0.12.(2)由题意知,样本平均数为4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84,所以μ≈9.84.又σ≈2.39,所以P(7.45<X≤14.62)≈P(μ-σ<X≤μ+2σ)=12P(μ-σ≤X≤μ+σ)+12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈12×(0.6827+0.9545)=0.8186因为5000×0.8186=4093,所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093.(3)由题知,样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的频率之比为0.24∶0.36,即2∶3,所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为