4.1 指数（解析版）-高中数学教学资料

.1指数知识点一由根式的意义求范围【【解题思路】对于eq\r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点(1)只有a≥0才有意义．(2)只要eq\r(n,a)有意义，eq\r(n,a)必不为负．【例1】（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意义，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B【变式】1.（2024广东湛江）若有意义，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，要使得有意义，则满足，解得，即实数的取值范围为．故选：B．2．（2024湖北黄冈）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可)【答案】③【解析】①中，(－2)2n>0，∴有意义；②中，根指数为5，∴有意义；③中，(－3)2n＋1<0，∴没有意义；④中，根指数为9，∴有意义.故答案为：③3．（2023吉林松原·阶段练习）若代数式有意义，则.【答案】8【解析】因为代数式有意义，所以且，故，所以，故答案为：8.知识点二利用根式的性质化简或求值【【解题思路】1.正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性．2.有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．【例2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因为有意义，所以，则，则，故选：C.【例2-2】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)10(3)(4)【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．【变式】1．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由题意知，即，即，故或，则，故选：AC2．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为．【答案】【解析】，要使成立，需解得，即实数a的取值范围是，故答案为：.3．（22-23高一·全国·课堂例题）化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)2(3)(4)(5)【解析】（1）由题意得；（2）（3）（4）由于，则，故；（5）.知识点三根式与分数指数幂的互化【【解题思路】根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．【例3-1】（22-23高一·全国·课堂例题）求值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)8(2)3)27(4)【解析】（1）由题意得；（2）（3）（4）.【例3-2】（2024·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.【变式】1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，，故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选：B．2．（2023高一·全国·专题练习）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】BC【解析】对于A，（），故A错误；对于B，（），故B正确；对于C，（），故C正确；对于D，，而无意义，故D错误.故选：BC3．（2024福建）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【解析】（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.（4）原式=.（5）原式=.（6）原式====.知识点四利用分数指数幂的运算性质化简求值【【解题思路】指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得.（2）解：根据指数幂的运算法则，可得.（3）解：根据指数幂的运算法则，可得.（4）解：根据指数幂的运算法则，可得.（5）解：根据指数幂的运算法则，可得.（6）解：根据指数幂的运算法则，可得.（7）解：根据指数幂的运算法则，可得.（8）解：根据指数幂的运算法则，可得.【例4-2】（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式.(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)；【答案】(1)(2)(3)44)(5)(6)【解析】（1）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.（2）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.（3）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.（4）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.（5）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.（6）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.【变式】1．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式：(1)；(2)(3)；(4)(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)5(6)【解析】（1）原式.（2）原式.（3）；（4）（5）原式；（6）原式．2．（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.(1)；(2)（3）（4）

（5）().【答案】(1)(2)1（3）（4）【解析】（1）..（3）.（4）.（5）.知识点五整体代换法求分数指数幂【【解题思路】利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)或【解析】（1）因为，由，所以.（2）因为，由，所以.（3）因为，且，由.（4）因为，且，由，当时，可得；当时，可得.【变式】1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，求下列各式的值.(1)(2)(3)【答案】(1)(2)6(3)【解析】（1）由，可知，因为，故.（2）.（3）由（1）知，所以，又因为，所以，所以.2．（2013北京）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为，且，所以..（2）.（3）.3．（2024上海）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1），则．（2），且,．单选题1．（2024广东潮州）设a>0，b>0，化简的结果是（）A． B． C． D．-3a【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，A正确，B，C错误；，由于无意义，D错误，故选：A3．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，则，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4．（2024广东）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（）①当n为奇数时，x的n次方根为a；②当n为奇数时，a的n次方根为x；③当n为偶数时，x的n次方根为±a；④当n为偶数时，a的n次方根为±x.A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，故选：B.5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，故A错误；，故B错误；∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误；成立，故D正确.故选：D.6．（2024江苏）计算结果正确的是（）A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12yB．C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5D．【答案】A【解析】对于A：左边=，故A正确；对于B：左边=，故B不正确；对于C：左边=16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣8x2y5，故C不正确；对于D：左边=，故D不正确.故选：A.7．（2025·南京）已知，则下列运算中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】A选项：，∴，又，∴，∴，故A错误；B选项：，∴，故B正确；C选项：，，，，，故C错误；D选项：，故D错误，故选：B.8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（

）A．3 B．6 C．9 D．4【答案】B【解析】设，令解得则即方程的正实数根.由，可得.因为方程的实数根为负数，所以，即，故.故选：B.多选题9．（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（

）A．16的4次方根是 B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确；对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，是非负数，所以，故D正确．故选：AD.10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】ABC【解析】，则，解得．故选：ABC11．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）若，化简的结果可能（

）A． B．. C． D．【答案】AC【解析】由化简可得，所以，所以或，又，所以，当时，，当时，，故选：AC.填空题12．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求．【答案】【解析】法一：因为，，所以.法二：.故答案为：13．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）若，则.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：14．（22-23高一·全国·假期作业）化简：．【答案】【解析】原式解答题15．（22-23高一·全国·课后作业）化简：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）,（2）,（3）方法一（从外向里化简）

．方法二（从里向外化简）．16．（2023高一·全国·专题练习）计算下列各式的值.(1)(2)(3)(4)；(5).(6)计算：；【答案】(1)(2)2(3)18(4)100(5)4(6)【解析】（1）（2）（3）.（4）.（5）（6）.17．（2024·江苏）（1）已知，且，求下列代数式的值．①；②；③．（2）已知，计算：；（3）设，，求的值．【答案】(1)（2）4；（3）27【解析】(1)①因为，且，所以所以.②.③.（2）因为，所以，所以，所以，

所以，即，所以，所以．

（3）因为，所以，即．又，所以，即，由，解得，故的值为27．18．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值.