4.2 指数函数（原卷版）

.2指数函数知识点一指数函数的概念【【解题思路】1.判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．2.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式。【例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（

）A． B．C． D．【例1-2】（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【例1-3】．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是；是指数函数的是.3．（23-24高一上·上海·假期作业）在下列函数中，是指数函数的有.①

②

③

④⑤

⑥

⑦4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则．知识点二指数型函数的定点【例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为．【例2-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式】1．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是．2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且）的图象必经过点．3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．1 C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（）A． B．9 C． D．8知识点三指数函数的图象及应用【【解题思路】处理函数图象问题的思路(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．【例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（）A． B．且C．且 D．【例3-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（）A．且 B．且C．且 D．且【变式】1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（

）A．B．C． D．2．（22-23高一上·广东·阶段练习）（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·四川·期中）（多选）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（

）A．B．C． D．重难点一指数函数的定义域和值域【【解题思路】1.函数y＝af(x)定义域的求法形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．2.函数y＝af(x)值域的求法①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【例4-2】（2024广西）函数（且）的值域是，则实数（

）A．3 B． C．3或 D．或【例4-3】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式】1．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).2．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（

）A． B．2 C．3 D．3．（23-24高一上·全国·期末）如果函数且在区间上的最大值是，则的值为（

）A．3 B． C． D．3或重难点二指数型函数的单调性【【解题思路】指数型函数的单调性的解题思路(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．【例5-1】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）的单调递减区间为【例5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是．【例5-3】（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是．【变式】1．（23-24高一下·四川成都·开学考试）函数的单调递减区间为．2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）计算：函数的单调递减区间为.3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在R上是严格增函数，则实数a的取值范围为．4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是．5．（23-24高一上·江西·期中）若函数在上单调递增，则实数m的最小值为．重难点三比较大小【【解题思路】比较幂值大小的3种类型及处理方法1.底数相同指数不同：利用指数函数的单调性判断2.底数不同指数相同：利用幂函数的单调性判断3.底数不同指数不同：通过中间量比较【例6】（23-24高一上·上海·假期作业）比较下列各组数的大小:(1)和；(2)和；(3)和；(4)和；(5)和；(6)和.【变式】1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．4．（2024高一上·湖南邵阳）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．重难点四简单的指数不等式的解法【【解题思路】简单的指数不等式的解法(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．【例7-1】（2024·江苏宿迁）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例7-2】（23-24贵州六盘水·期中）已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是．【变式】1．（2023春·辽宁）已知函数（且），若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2024陕西咸阳）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龙江鹤岗）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．重难点五指数函数的综合运用【例8】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数．(1)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式；(2)在（1）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值．【变式】1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，．(1)证明函数在上单调递减；(2)若，，使得，求实数a的取值范围；(3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围．2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数，．(1)若，求的最大值．(2)若时，图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．单选题1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023春·湖南长沙）已知的值域为，则x的取值范围可以为（

）A． B． C． D．5．（2024北京）函数（）的图象可能是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．7．（23-24江西鹰潭·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．多选题9．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（

）A． B． C． D．210．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函数是常数，且在区间上有最大值3，最小值，则的可能取值是（

）A． B．C． D．11（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．填空题12．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是.13．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是．14．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是．解答题15．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数．(1)求实数k的值；(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围．16．（23-24高一上·广东湛