3.3 幂函数（原卷版）

.3幂函数知识点一幂函数的判断【【解题思路】幂函数的判断及应用1.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数②底数为自变量，③xα的系数为12.若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（

）A． B． C． D．2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2024陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024湖北）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个知识点二幂函数的单调性与奇偶性【【解题思路】1.幂函数单调性的判断2.幂函数的奇偶性【例2-1】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（

）A． B． C． D．【例2-2】（23-24辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（

）A． B． C．2 D．4【例2-3】（23-24山东德州·期末）“或”是“幂函数在上是减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例2-4】（23-24浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式】1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（

）A． B． C．0 D．33．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B． C．0 D．34．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（

）A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为知识点三比较幂值的大小【【解题思路】比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例3-1】（2023高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．【例3-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3-3】（22-23高一·全国·课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，．【变式】1．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．4．（22-23高一上·全国·期中）若，则实数的取值范围为.5．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为知识点四幂函数的综合运用【【解题思路】1.幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．2.解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例4-1】（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数.(1)求、的值；(2)若，求实数的取值范围.【例4-2】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知幂函数.(1)求的值；(2)若为偶函数，求的解析式；(3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围.【变式】1．（2024湖南·阶段练习）已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．2．（2024陕西）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．3．（2023山东）已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.4．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.(1)求函数的表达式；(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.单选题1．（22-23湖北省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（）A． B．C． D．2．（2024山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③3．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列命题中正确的是（

）①幂函数的图象都经过点和点；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当时，函数的图象是一条直线；④幂函数当是增函数；⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少.A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤5．（22-23高三上·黑龙江·开学考试）下列关于幂函数的命题中正确的有（

）A．幂函数图象都通过点B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限C．当幂指数时，幂函数是增函数D．若，则函数图象不通过点6．（2024湖南）已知，且函数在上是增函数，则（

）A． B． C． D．37．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．8．（2024深圳）若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．多选题9．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点10．（2024江苏苏州·阶段练习）下列函数f(x)中，满足对任意有的是（

）A． B． C． D．f(x)=|x-1|11．（23-24高二下·浙江·期末）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（

）A． B．若时，C．若时，关于轴对称 D．恒过定点填空题12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是．13．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为.14．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为.解答题15．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．(1)求m和k的值；(2)求满足的实数a的取值范围．16．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减.(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围；(3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.17．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象过点．(1)求实数m的值；(2)设函数，用单调性的定义证明：在上