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文档简介
第二章函数第7讲函数的零点与方程的解课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解函数零点与方程解的关系.2.了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.判断函数零点所在区间
本讲是高考的热点，主要考查函数是否存在零点，判断函数的零点个数，利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，题型以选择题、填空题为主，有时与导数等知识综合考查，一般难度较大.备考时，要掌握函数零点存在定理及数形结合思想.判断函
数的零
点个数
2021北京T15；2019
全国卷ⅢT5课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解函数零点与方程解的关系.2.了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.函数零
点的应
用2023天津T15；2022天津T15；2020天津T9；2019浙江T9本讲是高考的热点，主要考查函数是否存在零点，判断函数的零点个数，利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，题型以选择题、填空题为主，有时与导数等知识综合考查，一般难度较大.备考时，要掌握函数零点存在定理及数形结合思想.
1.函数零点的概念对于函数
y
＝
f
(
x
)，我们把使①
的实数
x
叫做函数
y
＝
f
(
x
)的零点.注意
零点不是点，是满足
f
(
x
)＝0的实数
x
.f
(
x
)＝0
2.三个等价关系3.零点存在定理如果函数
y
＝
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上的图象是一条连续不断的曲线，且有④
，那么，函数
y
＝
f
(
x
)在区间⑤
内至少有一个零点，即存在
c
∈(
a
，
b
)，使得⑥
，这个
c
也就是方程
f
(
x
)＝0的解.注意
(1)函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断
函数的不变号零点.(2)对于连续函数
f
(
x
)，在[
a
，
b
]上，
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0是
f
(
x
)在(
a
，
b
)上存在零点的
充分不必要条件.f
(
a
)·
f
(
b
)＜0
(
a
，
b
)
f
(
c
)＝0
规律总结(1)若图象连续不断的函数
f
(
x
)在定义域上是单调函数，则函数
f
(
x
)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.4.二分法对于在区间[
a
，
b
]上图象连续不断且
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0的函数
y
＝
f
(
x
)，通过不断地把
它的⑦
所在区间⑧
，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值的方法叫做二分法.零点
一分为二
思维拓展给定精确度ε，用二分法求函数
y
＝
f
(
x
)零点
x
0的近似值的一般步骤：1.确定零点
x
0的初始区间[
a
，
b
]，验证
f
(
a
)
f
(
b
)＜0.2.求区间(
a
，
b
)的中点
c
.3.计算
f
(
c
)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若
f
(
c
)＝0(此时
x
0＝
c
)，则
c
就是函数的零点；(2)若
f
(
a
)
f
(
c
)＜0(此时
x
0∈(
a
，
c
))，则令
b
＝
c
；(3)若
f
(
c
)
f
(
b
)＜0(此时
x
0∈(
c
，
b
))，则令
a
＝
c
.4.判断是否达到精确度ε：若｜
a
－
b
｜＜ε，则得到零点近似值
a
(或
b
)；否则重复
步骤2～4.
1.下列说法正确的是(
D
)A.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点B.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0C.二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0时没有零点D.函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解D1234
A.(3，4)B.(2，3)C.(1，2)D.(0，1)
B1234
[解析]当
x
≤0时，由
x
2＋
x
－2＝0，得
x
＝－2.当
x
＞0时，由－1＋lnx
＝0，得
x
＝e.所以
f
(
x
)的零点为－2，e.－2，e
12344.已知函数
y
＝
f
(
x
)
的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数
y
＝
f
(
x
)在区间[1，6]上的零点至少有
个.[解析]依题意，
f
(2)＞0，
f
(3)＜0，
f
(4)＞0，
f
(5)＜0，根据零点存在定理可知，
f
(
x
)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有1个零点，故函数
y
＝
f
(
x
)在区间
[1，6]上的零点至少有3个.3
1234
命题点1
判断函数零点所在区间
例1(1)[2024海南模拟]函数
f
(
x
)＝
x
＋sin
x
－2的零点所在区间为(
B
)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)[解析]因为
f
'(
x
)＝1＋cos≥0，所以
f
(
x
)在定义域内单调递增.因为
f
(1)＝－1＋
sin1＜0，
f
(2)＝sin2＞0，所以函数
f
(
x
)的零点在(1，2)内.故选B.B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5(2)函数
f
(
x
)＝log3
x
＋
x
－2的零点所在的区间为(
B
)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)[解析]
解法一函数
f
(
x
)＝log3
x
＋
x
－2的定义域为(0，＋∞)，并且
f
(
x
)在(0，＋∞)上单调递增.由题意知
f
(1)＝－1＜0，
f
(2)＝log32＞0，根据零点存在定理可知，函数
f
(
x
)＝log3
x
＋
x
－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.故选B.B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5解法二将判断函数
f
(
x
)的零点所在的区间转化为判断函数
g
(
x
)＝log3
x
，
h
(
x
)＝
－
x
＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知
f
(
x
)的零点
所在的区间为(1，2).故选B.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5方法技巧确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：先看函数
y
＝
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上的图象是否连续，再
看是否有
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0.(2)数形结合法：画函数图象，通过观察图象与
x
轴在给定区间上是否有交点来判断，也可转化为观察两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5训练1若
a
＜
b
＜
c
，则函数
f
(
x
)＝(
x
－
a
)(
x
－
b
)＋(
x
－
b
)(
x
－
c
)＋(
x
－
c
)(
x
－
a
)
的两个零点分别位于区间(
A
)A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内[解析]因为
f
(
a
)＝(
a
－
b
)(
a
－
c
)＞0，
f
(
b
)＝(
b
－
c
)(
b
－
a
)＜0，
f
(
c
)＝(
c
－
a
)(
c
－
b
)＞0，所以
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0，
f
(
b
)·
f
(
c
)＜0，所以函数
f
(
x
)的两个零点分别位于区间(
a
，
b
)和(
b
，
c
)内.故选A.A例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5命题点2
判断函数的零点个数
例2(1)[全国卷Ⅲ]函数
f
(
x
)＝2sin
x
－sin2
x
在[0，2π]的零点个数为(
B
)A.2B.3C.4D.5[解析]
f
(
x
)＝2sin
x
－2sin
x
cos
x
＝2sin
x
(1－cos
x
)，令
f
(
x
)＝0，则sin
x
＝0或
cos
x
＝1，所以
x
＝
k
π(
k
∈Z)，又
x
∈[0，2π]，所以
x
＝0或
x
＝π或
x
＝2π.故选B.B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
A.3B.7C.5D.6B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5方法技巧判断函数零点个数的方法(1)直接法：令
f
(
x
)＝0，解方程可得.(2)利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质(如
单调性、奇偶性)判断.(3)图象法：将判断函数
f
(
x
)零点个数转化为判断函数
f
(
x
)的图象与
x
轴交点的个
数，或将函数
f
(
x
)拆成两个函数
h
(
x
)和
g
(
x
)的差的形式，判断函数
y
＝
h
(
x
)和
y
＝
g
(
x
)的图象的交点个数.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
A.14B.13C.12D.11B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5[解析]易得函数
y
＝
f
(
x
)是周期为2的函数，因为
x
∈[－1，1]时，
f
(
x
)＝1－
x
2，
所以作出
y
＝
f
(
x
)的图象，如图所示.
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5(2)[2023河南省部分学校押题信息卷]设
f
(
x
)是定义在R上且周期为5的奇函数，
f
(3)
＝0，则
f
(
x
)在[0，10]内的零点个数最少是(
D
)A.4B.6C.7D.9
D例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
C.(－2，0)D例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
C.(－∞，0)B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5方法技巧已知函数零点情况求参数取值范围的方法(1)直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)
确定参数的取值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题.(3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最
后数形结合求解.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5角度3
函数零点(或方程根)的和例5
[2023广东六校第一次联考]定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f
(－
x
)＋
f
(
x
)＝0，
f
(
x
)
＝
f
(2－
x
)；且当
x
∈[0，1]时，
f
(
x
)＝
x
3－
x
2＋
x
.则方程7
f
(
x
)－
x
＋2＝0所有的根
的和为(
A
)A.14B.12C.10D.8A例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5[解析]由
f
(－
x
)＋
f
(
x
)＝0，
f
(
x
)＝
f
(2－
x
)可得
f
(
x
)为奇函数，且图象关于直线
x
＝1对称，且易得
f
(
x
)的周期为4.
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5方法技巧解函数零点(或方程根)的和的问题的方法(1)把函数零点转化为方程的根，通过解方程，求出方程的所有根，再求出这些
根的和.(2)作出函数的草图，通过函数的图象的对称性，得出函数零点的对称性，从而求出
这些零点的和.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5训练3
(1)[2023湖北省沙市中学模拟]若函数
f
(
x
)＝lnx
＋
x
2＋
a
－1在区间(1，e)内
有零点，则实数
a
的取值范围是(
A
)A.(－e2，0)B.(－e2，1)C.(1，e)D.(1，e2)[解析]函数
f
(
x
)的定义域为(0，＋∞)，因为函数
y
＝lnx
与
y
＝
x
2在(0，＋∞)上均
单调递增，所以函数
f
(
x
)＝lnx
＋
x
2＋
a
－1在(0，＋∞)上单调递增，则由函数
f
(
x
)
在区间(1，e)内有零点知
f
(1)
f
(e)＜0，即
a
(e2＋
a
)＜0，解得－e2＜
a
＜0，故选A.A例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
A.2B.3C.0D.1[解析]令
t
＝
f
(
x
)，则
h
(
t
)＝
t
2－
f
(
t
)，令
h
(
t
)＝0，可得
t
2＝
f
(
t
)，当
t
＞0时，由
t
2＝
f
(
t
)，可得
t
2＝(
t
－2)2，即－4
t
＋4＝0，解得
t
＝1；当
t
＜0时，由
t
2＝
f
(
t
)，可得
t
2＝2
t
＋3，即
t
2－2
t
－3＝0，解得
t
＝－1或
t
＝3(舍去)，所以
t
＝±1，即
f
(
x
)＝±1.当
x
＞0时，令(
x
－2)2＝1或(
x
－2)2＝－1(舍去)，解得
x
＝1或
x
＝3；当
x
＜0时，令2
x
＋3＝1或2
x
＋3＝－1，解得
x
＝－1或
x
＝－2，所以函数
g
(
x
)＝[
f
(
x
)]2－
f
[
f
(
x
)]的零点之和为1＋3－1－2＝1.故选D.D例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5(3)[多选/2023廊坊模拟]已知函数
f
(
x
)＝｜
x
2＋3
x
＋1｜－
a
｜
x
｜，则下列结论正
确的是(
AC
)A.若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)B.若f(x)恰有2个零点，则a∈(1，5)C.若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5D.若f(x)恰有4个零点，则a∈(5，＋∞)AC例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
由图可知，若
f
(
x
)没有零点，则
a
∈(－∞，0)，故A正确；若
f
(
x
)恰有2个零点，则
a
∈{0}∪(1，5)，故B不正确；若
f
(
x
)恰有3个零点，则
a
＝1或
a
＝5，故C正确；若
f
(
x
)恰有4个零点，则
a
∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正确.故选AC.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
复合函数的零点问题
A.2B.3C.4D.5B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
当
x
≥0时，
f
(
x
)＝6
x
3－9
x
2＋1，则
f
'(
x
)＝18
x
2－18
x
＝18
x
(
x
－1).当
x
∈(0，1)时，
f
'(
x
)＜0；当
x
∈(1，＋∞)时，
f
'(
x
)＞0.
所以
g
(
x
)的零点个数为3，故选B.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5方法技巧复合函数的零点个数问题的求解关键：一是注意观察图象特征；二是将外层函数的
定义域和内层函数的值域准确对接.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5训练4
[多选/2024云南省下关第一中学模拟]函数
y
＝
f
(
x
)和
y
＝
g
(
x
)在[－2，2]上的
图象分别如图1，2所示.则以下四个说法正确的是(
ACD
)ACDA.方程f(g(x))＝0有且仅有6个根B.方程g(f(x))＝0有且仅有3个根C.方程f(f(x))＝0有且仅有5个根D.方程g(g(x))＝0有且仅有4个根例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5[解析]易得函数
f
(
x
)有3个零点，分别设为
m
1，
m
2，
m
3，令
m
1＜
m
2＜
m
3，则有
m
1∈(－2，－1)，
m
2＝0，
m
3∈(1，2).函数
g
(
x
)有2个零点，分别设为
n
1，
n
2，令
n
1＜
n
2，则有
n
1∈(－2，－1)，
n
2∈(0，1).对于A，方程
f
(
g
(
x
))＝0的根的个数即
g
(
x
)的图象与直线
y
＝
m
1，
y
＝0，
y
＝
m
3的
交点个数之和，如图1，易得总共有6个交点，故A正确.图1例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5图1对于B，方程
g
(
f
(
x
))＝0的根的个数即
f
(
x
)的图象与直线
y
＝
n
1，
y
＝
n
2的交点个
数之和，如图2，易得总共有4个交点，故B错误.图2图2例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5图3图3对于C，方程
f
(
f
(
x
))＝0的根的个数即
f
(
x
)的图象与直线
y
＝
m
1，
y
＝0，
y
＝
m
3的
交点的个数之和，如图3，易得总共有5个交点，故C正确.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5图4图4对于D，方程
g
(
g
(
x
))＝0的根的个数即
g
(
x
)的图象与直线
y
＝
n
1，
y
＝
n
2的交点个
数之和，如图4，易得总共有4个交点，故D正确.故选ACD.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5方法技巧已知复合函数零点个数求参数问题的解题关键：一是会转化，会把函数的零点转化
为方程的根；二是会构造，通过换元法，把复合方程的根的问题转化为更简单的方
程根的问题；三是会作图，明晰“草图不草”；四是会用图，通过观察图象特征，
求得参数的取值范围.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
例1训练1例2训练2例3例4例5训练3例6训练4例7训练5
1.[命题点2/2024四川省成都市零诊]函数
f
(
x
)＝e
x
－2023｜
x
－2｜的零点个数为
(
D
)A.0B.1C.2D.3D1234
12342.[命题点3角度1/2023天津高考]若函数
f
(
x
)＝
ax
2－2
x
－｜
x
2－
ax
＋1｜有且仅有
两个零点，则
a
的取值范围为
.
(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)
1234
若
a
≠0且
a
≠±1，分以下两种情况：1234
1234
D.(0，1)C1234
1234
A.6B.5C.4D.3B1234
当
x
＞1时，
f
(
x
)＝｜log3(
x
－1)｜，先作出函数
y
＝log3
x
的图象，再将其向右平移1个单位长度，最后将
x
轴下方的图象关于
x
轴翻折，就得到函数
f
(
x
)＝｜log3(
x
－1)｜的图象，如图1所示.图11234图1
图2图21234
如图3，因为0＜
t
1＜1，所以直线
y
＝
t
1和
y
＝
f
(
x
)的图象有两个交点，即方程
f
(
x
)
＝
t
1有两个不等实根；因为1＜
t
2＜2，所以直线
y
＝
t
2和
y
＝
f
(
x
)的图象有三个交点，即方程
f
(
x
)＝
t
2有三
个不等实根.图3
1234
1.[2024广东省茂名市模拟]函数
f
(
x
)＝e
x
－
x
－2的一个零点所在的区间为(
B
)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)[解析]因为
f
(1)＝e－1－2＜0，
f
(2)＝e2－4＞0，
根据零点存在定理得函数
f
(
x
)在
(1，2)内有零点，所以选B.B123456789101112131415
A.3B.2C.7D.0
解得
x
＝－2或
x
＝e.因此函数
f
(
x
)共有2个零点.故选B.B123456789101112131415解法二(图象法)函数
f
(
x
)的图象如图所示，由图象知函数
f
(
x
)共有2个零点.故选B.123456789101112131415
A.x1＜x2＜x3B.x2＜x1＜x3C.x1＜x3＜x2D.x2＜x3＜x1A123456789101112131415
1234567891011121314154.已知
x
1是lnx
＋
x
＝5的根，
x
2是ln(4－
x
)－
x
＝1的根，则(
A
)A.x1＋x2＝4B.x1＋x2∈(5，6)C.x1＋x2∈(4，5)D.x1＋x2＝5[解析]由lnx
＋
x
＝5，得lnx
＝5－
x
，因为函数
y
＝lnx
在(0，＋∞)上单调递增，
函数
y
＝5－
x
在(0，＋∞)上单调递减，所以由函数
y
＝lnx
与函数
y
＝5－
x
的图象
(图略)可知lnx
＝5－
x
有唯一解
x
1.由ln(4－
x
)－
x
＝1，得ln(4－
x
)＝1＋
x
，令
t
＝4
－
x
(
t
＞0)，得lnt
＝5－
t
，由题意可知4－
x
2是lnt
＝5－
t
的根，所以
x
1＝4－
x
2，
所以
x
1＋
x
2＝4，故选A.A123456789101112131415
A.4B.5C.6D.7C123456789101112131415[解析]令
t
＝
f
(
x
)－1，则由
f
(
t
)－1＝0即
f
(
t
)＝1，解得
t
＝－2或0或e，即
f
(
x
)－
1＝－2或0或e，所以
f
(
x
)＝－1或1或e＋1.在同一平面直角坐标系中分别作出
y
＝
f
(
x
)，
y
＝－1，
y
＝1，
y
＝e＋1的图象，如
图所示，123456789101112131415由图象可知
y
＝
f
(
x
)的图象与
y
＝－1有1个交点，即
f
(
x
)＝－1有1个根；
y
＝
f
(
x
)的
图象与
y
＝1有3个交点，即
f
(
x
)＝1有3个根；
y
＝
f
(
x
)的图象与
y
＝e＋1有2个交
点，即
f
(
x
)＝e＋1有2个根.所以函数
y
＝
f
(
f
(
x
)－1)－1的零点个数为1＋3＋2＝6，
故选C.1234567891011121314156.[2024辽宁省实验中学模拟]函数
f
(
x
)＝
x
3－
x
2＋5，
x
∈[－2，－1]有零点，用二
分法求零点的近似值(精确度为0.2)时，至少需要进行(
B
)次中点函数值的计算.A.2B.3C.4D.5B123456789101112131415
123456789101112131415
5
1234567891011121314158.[2024湖南省株洲市第二中学模拟]设[
x
]表示不超过
x
的最大整数，则方程
x
2－
4[
x
]＋3＝0的所有根的和为
.
123456789101112131415
9.[2023全国卷乙]函数
f
(
x
)＝
x
3＋
ax
＋2存在3个零点，则
a
的取值范围是(
B
)A.(－∞，－2)B.(－∞，－3)C.(－4，－1)D.(－3，0)B123456789101112131415
123456789101112131415
D123456789101112131415
12345678910111213141511.[多选/2023南京市二模]已知函数
f
(
x
)＝｜e
x
－
a
｜，
a
＞0.下列说法正确的为
(
BCD
)A.若a＝1，则函数y＝f(x)与y＝1的图象有两个公共点B.若函数y＝f(x)与y＝a2的图象有两个公共点，则0＜a＜1C.若a＞1，则函数y＝f(f(x))有且仅有两个零点D.若y＝f(x)的图象在x＝x1和x＝x2处的切线相互垂直，则x1＋x2＝0BCD123456789101112131415[解析]
解法一(解方程)对选项A，当
a
＝1时，令
f
(
x
)＝｜e
x
－1｜＝1，解
得e
x
＝0(舍去)或e
x
＝2，则
x
＝ln2，故函数
y
＝
f
(
x
)与
y
＝1的图象只有一个
公共点，A错误.对选项B，由｜e
x
－
a
｜＝
a
2有e
x
＝
a
＋
a
2或e
x
＝
a
－
a
2，由
a
＞0得
a
＋
a
2
＞0，则e
x
＝
a
＋
a
2必有唯一解，故当函数
y
＝
f
(
x
)与
y
＝
a
2的图象有两个公
共点时，e
x
＝
a
－
a
2必有解，故
a
－
a
2＞0，解得0＜
a
＜1，故B正确.对选项C，设
f
(
f
(
x
))＝0，
t
＝
f
(
x
)，则
f
(
t
)＝0，即｜e
t
－
a
｜＝0，
t
＝lna
，所以
f
(
x
)＝lna
，即｜e
x
－
a
｜＝lna
，解得e
x
＝
a
＋lna
或e
x
＝
a
－lna
，当
a
＞1时，
a
＋lna
＞0，e
x
＝
a
＋lna
必有唯一解，当
a
＞1时，0＜lna
＜
a
，故e
x
＝
a
－lna
也有唯一解，故
f
(
f
(
x
))＝0有两个不等实根，故C正确.123456789101112131415
123456789101112131415解法二(数形结合)对选项A，当
a
＝1时，
f
(
x
)＝｜e
x
－1｜，作出
y
＝
f
(
x
)的图象
和直线
y
＝1，如图(1)，注意到直线
y
＝1是
y
＝
f
(
x
)在
x
＜0时的图象的一条渐近
线，故函数
y
＝
f
(
x
)的图象与直线
y
＝1只有一个公共点，A错误.123456789101112131415对选项B，当
a
＝1时，由选项A的判断过程知，不合题意，舍去；当
a
＞1时，
f
(0)
＝
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