增分微课6 推理、想象之创新思维试题

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推理、想象之创新思维试题类型一类型二类型三作业手册2024年九省联考测试卷中创新型试题的出现,需要比较强的逻辑推理与直观想象能力,从而训练分析问题解决问题的能力,也给大家提供了一个新的方向.下面给出了数论、组合、矩阵三种类型的创新型试题,适当的拓展视野.类型一

数论例1[2024·九省联考]离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合X={1,2,…,p-1},若u,v

X,m∈N,设u

v为uv除以p的余数,

为um除以p的余数;设aX,1,a,

,…,

两两不同,若=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n=log(p)ab.(1)若p=11,a=2,求

.解:p=11,a=2,则=

为210除以11的余数,即为1,∴=1.

∴log(p)a(b

c)=m1+m2=log(p)ab⊕log(p)ac.

(2)对m1,m2∈{0,1,…,p-2},记m1⊕m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时,m1⊕m2=0).证明:log(p)a(b

c)=log(p)ab⊕log(p)ac,其中b,c∈X.

则n=n1+n2或n=(n1+n2)+p-1,则n=n1

n2,∴log(p)a(b

c)=log(p)ab⊕log(p)ac.

证明:方法一:若m除以n的余数为b,可记为m≡b(modn),由n=log(p)ab,得an≡b(modp),

ABC

(2)31000在十进制中的最后四位是

.

0001

例2已知An:a1,a2,…,an(n≥4)为有穷数列.若对任意的i∈{0,1,…,n-1},都有|ai+1-ai|≤1(规定a0=an),则称An具有性质P.设Tn={(i,j)||ai-aj|≤1,2≤j-i≤n-2(i,j=1,2,…,n)}.(1)判断数列A4:1,0.1,-0.2,0.5,A5:1,2,0.7,1.2,2是否具有性质P?若具有性质P,写出对应的集合Tn.类型二

组合解:由题知A4:1,0.1,-0.2,0.5,即a1=1,a2=0.1,a3=-0.2,a4=0.5,因为|a1-a0|=|a1-a4|=0.5≤1,|a2-a1|=0.9≤1,|a3-a2|=0.3≤1,|a4-a3|=0.7≤1,所以A4具有性质P,又因为Tn={(i,j)||ai-aj|≤1,2≤j-i≤n-2(i,j=1,2,…,n)},所以当n=4时,2≤j-i≤4-2,即j-i=2,又|a1-a3|=1.2>1,|a2-a4|=0.4≤1,所以T4={(2,4)}.由题知A5:1,2,0.7,1.2,2,即a1=1,a2=2,a3=0.7,a4=1.2,a5=2,因为|a3-a2|=1.3>1,所以A5不具有性质P.综上,A4具有性质P,T4={(2,4)},A5不具有性质P.（2）若A4具有性质P,证明:T4≠⌀.证明:要证T4≠⌀,即证(1,3),(2,4)两个元素至少有一个在T4中,假设(1,3),(2,4)两个元素均不在T4中,则|a1-a3|>1,|a2-a4|>1,不妨设a1≤a2,若a2>a3,则-1≤a1-a2≤0,0<a2-a3≤1,由a1-a3=a1-a2+a2-a3,得-1<a1-a3≤1,与|a1-a3|>1矛盾,所以a2≤a3,同理可得a3≤a4,所以a1≤a2≤a3≤a4,所以|a1-a0|=|a1-a4|=a4-a1=a4-a2+a2-a1≥a4-a2>1,这与A4具有性质P矛盾,所以假设不成立,所以T4≠⌀.

(2)求证:集合B={k∈N*|ak∈Am,ak>2m}是空集;

(3)记集合Sm={x|x∈Am},S={x|对任意正奇数m,x∈Sm均成立},求集合S(若m为任意的正奇数,求所有数列Am的相同元素构成的集合S.)解:猜想S={1,2}.易知S1={1,2},以下只需证明对任意大于1的奇数m,1∈Sm,2∈Sm均成立.若aj=1,j>1,则aj-1=2,故只需证明必存在aj=1,j>1.由(2)知无穷数列Am中所有的项都属于集合{1,2,…,2m},因此必存在i<j,使得ai=aj,取其中i的值最小的一组.若ai>1,则ai=aj=K>1;

若K>m,则必有ai-1=aj-1=K-m≥1,当ai-1=aj-1=1时,ai-2=aj-2=2>1,与i的值最小矛盾;若K≤m,则必有ai-1=aj-1=2K>1,也与i的值最小矛盾.因此只能ai=1,因此aj=ai=1,j>1,aj-1=2,即1∈Sm,2∈Sm.综上,S={1,2}.类型三

矩阵

(2)若平面上相异的两点A,B在矩阵M的作用下分别变换成点A',B',点P为直线AB(斜率存在)上的点,点P在矩阵M的作用下变换成P',求证:点P'在直线A'B'上.

作业手册

解:a2=a1+a1=2,a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a2=5+2=7.123(2)若an≡0(mod7),证明:a2n+1≡a2n≡a2n-1(mod7);

123（3）证明:数列{an}中有无穷多项是7的倍数.证明:设ak(k≥5)是7的倍数,记a2k-1=a,a∈N*,则由(2)得,a2k-1≡a2k≡a2k+1≡a(mod7),若此时a是7的倍数,则可以得到数列{an}有无穷多项是7的倍数.若a不是7的倍数,设a4k-3=b,b∈N*,则有a4k-2=a4k-3+a2k-1=b+a,故a4k-2≡b+a(mod7),同理可得a4k-1≡b+2a(mod7),a4k≡b+3a(mod7),a4k+1≡b+4a(mod7),a4k+2≡b+5a(mod7),a4k+3≡b+6a(mod7),因此,a4k-3,a4k-2,a4k-1,a4k,a4k+1,a4k+2,a4k+3中必有一个数是7的倍数,从而数列{an}中有无穷多项是7的倍数.1232.[2023·北京清华附中期中]设k是正整数,集合A至少有2个元素,且A⊆N*.若对于A中的任意2个不同的元素x,y,都有|x-y|≠k,则称A具有性质P(k).(1)试判断集合B={1,2,3,4}和C={1,4,7,10}是否具有性质P(2),并说明理由;解：因为B={1,2,3,4},1∈N*,2∈N*,3∈N*,4∈N*,|4-2|=|3-1|=2,所以集合B不具有性质P(2).因为C={1,4,7,10},1∈N*,4∈N*,7∈N*,10∈N*,|4-1|=3,|7-1|=6,|10-1|=9,|7-4|=3,|10-4|=6,|10-7|=3,所以集合C具有性质P(2).123(2)若集合A={a1,a2,…,a12}⊆{1,2,…,20},求证:A不可能具有性质P(3).证明:根据集合{1,2,…,20}中的元素构造如下11个集合,{1,4},{2,5},{3,6},{7,10},{8,11},{9,12},{13,16},{14,17},{15,18},{19},{20},所以从集合{1,2,…,20}中取12个元素,则前9个集合中至少要选10个元素,所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合,即存在两个元素其差的绝对值为3,所以A不可能具有性质P(3).1233.对于三维向量ak=(xk,yk,zk)(xk,yk,zk∈N,k=0,1,2,…),定义“F变换”:ak+1=F(ak),其中,xk+1=|xk-yk|,yk+1=|yk-zk|,zk+1=|zk-xk|.记<ak>=xky