第二章 第6讲 函数的图象

第二章函数第6讲函数的图象课标要求命题点五年考情命题分析预测在实际情境

中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数，理解函数图象的

作用.作函数的图象本讲是高考的一个热点，

主要考查函数图象的识别

和应用，题型以选择题为

主，中档难度.在2025年

高考备考过程中要掌握数

形结合思想，并能灵活应

用.函数图象

的识别2023天津T4；2022全国卷乙T8；2022全国卷甲T5；2019全国卷ⅠT5；2019全国卷ⅢT7函数图象

的应用2020北京T6

1.利用描点法作函数的图象2.利用图象变换法作函数的图象平移

变换y＝f(x)的图象

y＝f(x＋a)的图象.y＝f(x)的图象

y＝①

的图象.y＝f(x)的图象

y＝f(x)＋h的图象.y＝f(x)的图象

y＝②

的图象.f(x－a)

f(x)－h

对称

变换y＝f(x)的图象

y＝－f(x)的图象.y＝f(x)的图象

y＝③

的图象.y＝f(x)的图象

y＝f(x)的反函数的图象.y＝f(x)的图象

y＝④

的图象.翻折

变换y＝f(x)的图象

y＝｜f(x)｜的图象.y＝f(x)的图象

y＝⑤

的图象.f(－x)

－f(－x)

f(｜x｜)

伸缩

变换y＝f(x)的图象

y＝f(ax)的图象.y＝f(x)的图象

y＝⑥

的图象.注意

(1)平移变换，基本原则是“左加右减”“上加下减”.“左加右减”只针对

x

本身，若

x

的系数不是1，需先将系数变为1后，再进行变换.(2)对称变换的对称是指两个函数的图象之间的关系，而与奇偶性有关的对称，是指

一个函数图象自身的特征.Af(x)

1.下列说法正确的是(

D

)A.函数y＝f(1－x)的图象可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到B.函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称C.当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(｜x｜)的图象与y＝｜f(x)｜的图象相同D.若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称[解析]

y

＝

f

(1－

x

)可由

y

＝

f

(－

x

)的图象向右平移1个单位长度得到，A错误；

y

＝

f

(

x

)与

y

＝－

f

(

x

)的图象关于

x

轴对称，B错误.令

f

(

x

)＝－

x

，当

x

∈(0，＋∞)

时，

y

＝｜

f

(

x

)｜＝

x

，

y

＝

f

(｜

x

｜)＝－

x

，两者图象不同，C错误.易知D正确.D12345

A

B

C

D[解析]

x

＜0时，图象单调递减，

x

≥0时，图象单调递增，且函数图象过点(0，－1)，易知C正确.C123453.[全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数

y

＝lnx

的图象关于直线

x

＝1对称的是

(

B

)A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)[解析]设

f

(

x

)＝lnx

，易知函数

f

(2－

x

)与

f

(

x

)的图象关于直线

x

＝1对称，

f

(2－

x

)＝ln(2－

x

)，故选B.B12345

A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

A123455.[2024江西省部分学校联考]将二次函数

y

＝3(

x

＋1)2－2的图象先向右平移2个单位

长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

的图象，则

a

＋

b

＋

c

＝

⁠.[解析]由题意可得

ax

2＋

bx

＋

c

＝3(

x

－2＋1)2－2＋4＝3

x

2－6

x

＋5，所以

a

＝3，

b

＝－6，

c

＝5，则

a

＋

b

＋

c

＝2.2

12345

命题点1

作函数的图象例1

分别画出下列函数的图象：(1)

y

＝2

x

＋1－1；[解析]

(1)将

y

＝2

x

的图象向左平移1个单位长度，得到

y

＝2

x

＋1的图象，再将所得

图象向下平移1个单位长度，得到

y

＝2

x

＋1－1的图象，如图1所示.图1例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3(3)

y

＝

x

2－｜

x

｜－2.(2)

y

＝｜lg(

x

－1)｜；

[解析]

(2)首先作出

y

＝lgx

的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到

y

＝lg(

x

－1)的图象，再把所得图象在

x

轴下方的部分翻折到

x

轴上方，即得

y

＝｜lg(

x

－1)｜的图象，如图2所示(实线部分).图2

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3方法技巧作函数的图象的策略(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象.(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可

利用图象变换作出，但要注意变换顺序.例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3命题点2

函数图象的识别角度1

知式选图或知图选式

ABACD例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3(2)[2022全国卷乙]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，

则该函数是(

A

)A例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3方法技巧识别函数图象的主要方法有：(1)利用函数的定义与性质，如定义域、奇偶性、单调

性等判断；(2)利用函数的零点、极值点等判断；(3)利用特殊函数值判断.例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3角度2

借助动点探究函数图象例3

如图，长方形

ABCD

的边

AB

＝2，

BC

＝1，

O

是

AB

的中点.点

P

沿着边

BC

，

CD

与

DA

运动，记∠

BOP

＝

x

.将动点

P

到

A

，

B

两点的距离之和表示为

x

的函数

f(

x

)，则

y

＝

f

(

x

)的图象大致为(

B

)BA

BC

D例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3方法技巧借助动点探究函数图象的两种方法(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象的变化特征，

从而作出选择.例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

C例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3(2)如图，不规则四边形

ABCD

中，

AB

和

CD

是线段，

AD

和

BC

是圆弧，直线

l

⊥

AB

于

E

，当

l

从左至右平行移动(与线段

AB

有公共点)时，

l

把四边形

ABCD

分成两

部分.设

AE

＝

x

，

l

左侧的面积为

y

，则

y

关于

x

的图象大致是(

C

)C[解析]当

l

从左至右移动时，一开始

l

左侧面积的增加速度越来越快，过了

D

点后

l

左侧面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了

C

点后

l

左侧面积的增加速度又逐

渐减慢.故选C.例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3命题点3

函数图象的应用角度1

研究函数性质例4

已知函数

f

(

x

)＝

x

｜

x

｜－2

x

，则下列结论正确的是(

C

)A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)C例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3角度2

解不等式(或方程)例5

(1)[北京高考]已知函数

f

(

x

)＝2

x

－

x

－1，则不等式

f

(

x

)＞0的解集是(

D

)A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]函数

f

(

x

)＝2

x

－

x

－1，则不等式

f

(

x

)＞0的解集即2

x

＞

x

＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数

y

＝2

x

，

y

＝

x

＋1的图象，如图所示，结合图象易得2

x

＞

x

＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.D例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3(2)设

f

(

x

)＝｜lg(

x

－1)｜，若1＜

a

＜

b

且

f

(

a

)＝

f

(

b

)，则

ab

的取值范围是

⁠.

(4，＋∞)

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

A.(2，2025)B.(2，2025]C.(2，2024)D.(2，2024]A例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

不妨令

a

＜

b

＜

c

，由

f

(

a

)＝

f

(

b

)＝

f

(

c

)及正弦曲线的对称性可知

a

＋

b

＝1，1＜

c

＜2024，所以2＜

a

＋

b

＋

c

＜2025.故选A.例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3方法技巧函数图象的应用，实质是数形结合思想的应用.(1)研究函数的性质可借助函数图象的对称性、走向趋势、最高点、最低点等进

行分析；(2)不等式问题可转化为图象的上下位置关系问题；(3)函数零点或方程根的问题可转化为函数图象的交点问题.例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3训练3

(1)把函数

f

(

x

)＝ln｜

x

－

a

｜的图象向左平移2个单位长度，所得图象对应的

函数在(0，＋∞)上单调递增，则

a

的最大值为(

B

)A.1B.2C.3D.4[解析]把函数

f

(

x

)＝ln｜

x

－

a

｜的图象向左平移2个单位长度，得到函数

g

(

x

)＝

ln｜

x

＋2－

a

｜的图象，则函数

g

(

x

)在(

a

－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数

在(0，＋∞)上单调递增，所以

a

－2≤0，即

a

≤2，所以

a

的最大值为2.B例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

A.(－∞，0]B.(－1，0]C.(－1，0]∪[1，＋∞)D.[1，＋∞)C例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

[解析]方程

f

(

x

)＝－2

x

＋

a

有两个不同的实数根，即方程

f

(

x

)＋

x

＝－

x

＋

a

有两

个不同的根，等价于函数

y

＝

f

(

x

)＋

x

与函数

y

＝－

x

＋

a

的图象有两个不同的交点.

作出函数

y

＝

f

(

x

)＋

x

与

y

＝－

x

＋

a

的大致图象，如图所示.(－∞，1]

数形结合可知，当

a

≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即方程

f

(

x

)＝－2

x

＋

a

有两个不同的实数根.例1训练1例2例3训练2例4例5例6训练3

ABCDD12345

123452.[命题点2角度1]从某个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式

可能是(

C

)C12345

12345

123453.[命题点2角度2/2024北京市育英学校模拟]点

P

从点

A

出发，按逆时针方向沿周长

为

l

的图形运动一周，

A

，

P

两点间的距离

y

关于点

P

所走的路程

x

的函数图象如图

所示，那么点

P

所走的图形是(

C

)ABCCD12345[解析]观察题图，可以发现两个显著特点：①点

P

所走的路程为图形周长的一半

时，

A

，

P

两点间的距离

y

最大；②

y

关于

x

的函数图象是曲线.设点

M

是点

P

所走的

路程为图形周长的一半时所对应的点，如图所示，在图1和图4中，易知｜

AM

｜

＜｜

AP

｜max，均不符合特点①，所以排除选项A，D.

在图2中，当点

P

在线段

AB

上运动时，

y

＝

x

，其图象是一条线段，不符合特点②，因此排除选项B.故选C.12345

A.∅B.[－1，0)C.(－2，0)D.(－2，－1)A12345[解析]作出函数

f

(

x

)的大致图象如图，由函数图象可知，要使关于

x

的方程[

f

(

x

)]2

－(

a

＋3)

f

(

x

)－

a

＝0有6个不同的实数根，设

f

(

x

)＝

t

，则关于

t

的方程

t

2－(

a

＋3)

t

－

a

＝0在(1，3]有两个不同的实数根，

12345

A.函数f(x)在(－6，－5)上单调递增B.函数f(x)的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点C.若关于x的方程[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a＝0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个

实数根之和为8AD12345

作出

f

(

x

)的部分图象如图所示.对于A，由图可知，

f

(

x

)在区间(5，6)上单调递增，因为

f

(

x

)是定义在R上的奇函

数，所以函数

f

(

x

)在区间(－6，－5)上单调递增，故A正确.12345对于B，由图可知，

f

(

x

)在(0，＋∞)上的图象与直线

y

＝

x

有1个交点，结合

f

(

x

)为

定义在R上的奇函数可知，

f

(

x

)在(－∞，0)上的图象与直线

y

＝

x

有1个交点，且

f

(0)＝0，所以

f

(

x

)的图象与直线

y

＝

x

有3个不同的交点，故B错误.对于C，由[

f

(

x

)]2－(

a

＋1)

f

(

x

)＋

a

＝0(

a

∈R)，得[

f

(

x

)－1][

f

(

x

)－

a

]＝0，因为原

方程恰有4个不相等的实数根，且方程

f

(

x

)－1＝0有唯一实数根

x

1＝2，所

12345

123451234567891011121314151617

A

12345678910111213141516172.已知函数

f

(

x

)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是(

C

)图1图2A.1－f(x)B.－f(2－x)C.f(－x)－1D.1－f(－x)[解析]由题图知，将

f

(

x

)的图象关于

y

轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图

2，故题图2表示的函数为

y

＝

f

(－

x

)－1.C1234567891011121314151617

ABCD[解析]

解法一令

g

(

x

)＝

f

(1－

x

).由题意，得

g

(0)＝

f

(1－0)＝

f

(1)＝e0－1＝0，易

知

f

(

x

)在R上单调递增，所以

y

＝

f

(1－

x

)在R上单调递减，故选B.B

12345678910111213141516174.[2023天津高考]函数

f

(

x

)的图象如图所示，则

f

(

x

)的解析式可能为(

D

)D1234567891011121314151617

12345678910111213141516175.[2024辽宁模拟]已知奇函数

f

(

x

)在

x

≥0时的图象如图所示，则不等式

xf

(

x

)＜0的

解集为(

A

)A.(－2，－1)∪(1，2)B.(－2，－1)C.(－1，0)∪(1，2)D.(－1，0)A1234567891011121314151617[解析]

∵

xf

(

x

)＜0，∴

x

和

f

(

x

)异号.由

f

(

x

)为奇函数，可得

f

(

x

)在R上的图象如图所示.由图可得，当

x

∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，

f

(

x

)＞0，当

x

∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，

f

(

x

)＜0，∴不等式

xf

(

x

)＜0的解集为(－2，－1)∪(1，2).12345678910111213141516176.[2024陕西调研]若函数

f

(

x

)＝e－

x

－ln(

x

＋

a

)在(0，＋∞)上存在零点，则实数

a

的

取值范围是(

D

)B.(－e，＋∞)D.(－∞，e)[解析]由题意知，函数

y

＝e－

x

与

g

(

x

)＝ln(

x

＋

a

)的图象在(0，＋∞)上有交点.当

a

＞0时，

g

(

x

)＝ln(

x

＋

a

)的图象是由函数

y

＝lnx

的图象向左平移

a

个单位长度得到

的，根据图象(如图)可知此时只需要

g

(0)＝lna

＜1，即0＜

a

＜e；当

a

≤0时，

g

(

x

)＝ln(

x

＋

a

)的图象是由函数

y

＝lnx

的图象向右平移－

a

个单位长度得到的，此时在(0，＋∞)上

y

＝e－

x

与

g

(

x

)的图象恒有交点，满足条件.综上，

a

＜e，即实数

a

的取值范围是(－∞，e).故选D.D1234567891011121314151617

A.2B.－2C.4D.－4A1234567891011121314151617

12345678910111213141516178.[多选/2024山东日照模拟改编]下列结论正确的是(

ABD

)A.函数y＝sinx与y＝logπx的图象只有一个交点C.函数y＝sinx与y＝x的图象有三个交点ABD1234567891011121314151617

由图象可知，A，B正确，C错误.

12345678910111213141516179.已知函数

f

(

x

)是定义在R上的奇函数，且当

x

≥0时，

f

(

x

)＝

x

2－

x

.若

f

(

a

)＜4＋

f

(－

a

)，则实数

a

的取值范围是

⁠.[解析]因为

f

(

x

)为奇函数，所以

f

(－

x

)＝－

f

(

x

)，所以

f

(

a

)＜4＋

f

(－

a

)可转化为

f

(

a

)＜2，作出

f

(

x

)的图象，如图所示，由图易知

a

＜2.(－∞，2)

123456789101112131415161710.设函数

f

(

x

)是定义域为R的偶函数，且

f

(

x

＋2)＝

f

(

x

).当

x

∈[－1，0]时，

f

(

x

)＝

x

2，则函数

f

(

x

)与

y

＝｜lgx

｜的图象的交点个数为

⁠.[解析]因为

f

(

x

＋2)＝

f

(

x

)，所以

f

(

x

)是周期为2的偶函数，图象关于

y

轴对称.因

为当

x

∈[－1，0]时，

f

(

x

)＝

x

2，所以当

x

∈[－1，1]时，

f

(

x

)＝

x

2.根据

f

(

x

)是周期

为2的偶函数画出

f

(

x

)的图象如图所示，同时画出

y

＝｜lgx

｜的图象，根据图象可

知，两个函数的图象有10个交点.10

1234567891011121314151617

11.[2023吉林长春模拟]函数

y

＝

f

(

x

)(

x

∈R)的图象如图所示，则函数

g

(

x

)＝

f

(－lnx

)的单调递减区间是(

D

)

D123456789101112131415161712.[2024辽宁省沈阳市新民市高级中学模拟]岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文

化底蕴，还聚焦生态的发展.图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱

心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构

成，则“心形”在

x

轴上方的图象对应的函数解析式可能为(

C

)C[解析]由图象可知，函数为偶函数，排除B，D.1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.④②①③B.②④①③C.②④③①D.④②③①A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)B.若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)C.若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3＋x4＝4BCD1234567891011121314151617[解析]令

g

(

x

)＝

f

(

x

)－

a

＝0，得

f

(

x

)＝

a

，所以

g

(

x

)的零点个数为函数

y

＝

f

(

x

)

与

y

＝

a

图象的交点个数，作出函数

y

＝

f

(

x

)与

y

＝

a

的大致图象，如图所示.由图可知，若

g

(

x

)有3个不同的零点，则

a

的取值范围是[1，2)∪{0}，所以A选项不

正确.若

g

(

x

)有4个不同的零点，则

a

的取值范围是(0，1)，所以B选项正确.1234567891011121314151617若

g

(

x

)有4个不同的零点

x

1，

x

2，

x

3，

x

4(

x

1＜

x

2＜

x

3＜

x

4)，此时(

x

3，0)，(

x

4，

0