增分微课3 与球有关的切、接问题

增分微课3

与球有关的切、接问题类型一类型二类型三作业手册教师备用习题类型一

几何体的外接球角度1

常规几何

A

［思路点拨］（1）结合题意知，球心、底面外接圆圆心、棱台的顶点构成直角三角形，则可利用勾股定理求解，要注意讨论球心的位置.

C

C

[总结反思]到各个顶点距离相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也等于半径，列关系式求解即可.要注意补形法、截面法等方法的运用.

B

D

角度2

复杂几何体例2

[2023·金丽衢十二校联考]

将两个全等的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若该六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为_

_______.

［思路点拨］

根据正三棱锥的几何性质，确定六面体外接球球心的位置及半径与正三棱锥的底边长、高的关系，从而列方程求得半径，即可得六面体外接球的体积.

B

类型二

几何体的内切球

D

［思路点拨］

求出该正三棱锥的表面积与体积，再利用等体积法列方程求解.

[总结反思]处理与内切球相关的问题时需注意：（1）找准切点及球心；（2）体积分割是求内切球半径的常用方法.

类型三

最值问题

C

[总结反思]与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点，常见的求解方法主要有以下三种.（1）转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决.（2）转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用平面几何方法或三角函数来解决.（3）利用不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利用不等式求其最值.

B

（2）

[2023·湖南名校联考]

定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值为(

)

C

教师备用习题【备选理由】例1考查利用轴截面解决圆台与球的相切问题，难度不大；例2考查四面体的外接球问题，以及过球内一点所作的球的截面面积的最值问题；例3以外接球为载体考查三棱锥体积的计算，需要根据所给条件证明一些线与线、线与面的位置关系；例4考查翻折构成的几何体与球的切接问题，涉及的知识比较多，如二面角、位置关系、截面问题，有一定的综合性；例5考查四面体与两个球的切接问题，有利于开拓学生的空间想象能力.

C

A

D

AC

D

作业手册◆

基础热身

◆1.棱长为4的正方体的内切球的表面积为(

)

C

1234567891011121314152.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为(

)

C

123456789101112131415

B

1234567891011121314154.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面不可能的图形为(

)

DA.&1&

B.&2&

C.&3&

D.&4&

[解析]

当截面平行于正方体的一个侧面时可得选项C，当截面过正方体的对角面时可得选项B，当截面与上下底面垂直且不平行于任何侧面、不过对角面时可得选项A，但无论如何都不能截出选项D，故选D．1234567891011121314155.4个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为__________.

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123456789101112131415◆

综合提升

◆

C

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123456789101112131415

1234567891011121314157.[2024·常州模拟]

将一个半径为6的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为(

)

D

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123456789101112131415

123456789101112131415

A

123456789101112131415

123456789101112131415

B

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123456789101112131415

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ADA.2

B.4

C.12

D.14

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123456789101112131415

123456789101112131415①②123456789101112131415

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能力拓展

◆

D

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