第六章 突破2 解三角形中的热点问题

第六章平面向量、复数突破2解三角形中的热点问题

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5方法技巧解三角形中的最值(范围)问题的求解方法函数法利用“一角一函数”模型或二次函数模型求解.基本不等式法先转化为“和”或“积”为定值的形式，然后利用基本不等式求解.几何法根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解.注意注意题目中隐含条件的应用，如

A

＋

B

＋

C

＝π，0＜

A

＜π，｜

b

－

c

｜＜

a

＜

b

＋

c

，三角形中大边对大角等.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5训练1

[全国卷Ⅱ]△

ABC

中，sin2

A

－sin2

B

－sin2

C

＝sin

B

sin

C

.

(1)求

A

；

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

(2)若

BC

＝3，求△

ABC

周长的最大值.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5命题点2

多三角形问题例2

[2021新高考卷Ⅰ]记△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

.已知

b

2＝

ac

，点

D

在边

AC

上，

BD

sin∠

ABC

＝

a

sin

C

.

(1)证明：

BD

＝

b

；

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5(2)若

AD

＝2

DC

，求cos∠

ABC

.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

由余弦定理得

b

2＝

a

2＋

c

2－2

ac

cos∠

ABC

②，

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5方法技巧多三角形问题的解题思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或

余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件(如公共边，公

共角，邻角之间的关系)，求出结果.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5方法技巧对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者之间的

差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即可得证.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5训练3

[2023石家庄市三检]已知△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的对边分别是

a

，

b

，

c

，

sin

A

＝4sin

C

cos

B

，且

c

＝2.(1)证明：tanB

＝3tanC

；[解析]

(1)因为sin

A

＝4sin

C

cos

B

，所以sin(

B

＋

C

)＝4sin

C

cos

B

，即sin

B

cos

C

＋cos

B

sin

C

＝4sin

C

cos

B

，即sin

B

cos

C

＝3sin

C

cos

B

，所以tanB

＝3tanC

.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

B例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

2

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5(2)若

b

2＋

c

2＝8，求

b

，

c

.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5方法技巧如图，在△

ABC

中，1.若

AD

为

BC

边上的中线，则：

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

注意(1)利用相等角的余弦值相等，从而结合余弦定理列方程是解三角形中的常用

方法；(2)在已知条件中见到面积时，要考虑到三角形的高线.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4例5

[解析]设

BD

＝

k

(

k

＞0)，则

CD

＝2

k

.

1234

12342.[命题点1]在平面四边形

ABCD

中，

A

＝

B

＝

C

＝75°，

BC

＝2，则

AB

的取值范围

是

⁠.

12343.[命题点2]如图，四边形

ABCD

中，

AB

2＋

BC

2＋

AB

·

BC

＝

AC

2.(1)若

AB

＝3

BC

＝3，求△

ABC

的面积；

1234

1234

12344.[命题点2，3，4/2023华南师大附中三模]在△

ABC

中，

AB

＝2

AC

，∠

BAC

的平

分线交边

BC

于点

D

.

(1)证明：

BC

＝3

CD

；

1234

1234

1.[2023西安检测]已知△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

对应的边分别是

a

，

b

，

c

，内角

A

的平分线交边

BC

于

D

点，且

AD

＝4.若(2

b

＋

c

)cos∠

BAC

＋

a

cos

C

＝0，则△

ABC

面积的最小值是

⁠.

12345678

12345678

(4，

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678(1)求证：△

ABC

是等腰三角形；

12345678

12345678(2)若

D

为边

BC

的中点，且

AD

＝1，求△

ABC

周长的最大值.

12345678

12345678

12345678

12345678

所以

DA

⊥

BA

，故

BD

是☉

O

的直径，所以

BC

⊥

CD

.

12345678

则

CB

＝2cosθ，

CD

＝2sinθ，

12345678解法三

如图，设△

ABC

的外接圆的圆心为

O

，半径为

R

.

所以

DA

⊥

BA

，故

BD

是☉

O

的直径，所以

BC

⊥

CD

.

12345678

设四边形

ABCD

的面积为

S

，点

C

到

BD

的距离为

h

，

123456788.[2024湖南张家界调考]如图，在锐角三角形

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

所对的边分

别为

a