第五章 突破2 数列中的构造问题

第五章数列突破2数列中的构造问题命题点1

形如

an

＋1＝

pan

＋

f

(

n

)(

p

≠1)例1

(1)在数列{

an

}中，

a

1＝1，

an

＋1＝3

an

－2

n

－1，则

an

＝

⁠.

2

n

－1

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4(2)设数列{

an

}满足

a

1＝3，

an

＋1＝3

an

－4

n

，则

an

＝

⁠.[解析]由已知可得

an

＋1－(2

n

＋3)＝3[

an

－(2

n

＋1)]，

an

－(2

n

＋1)＝3[

an

－1－(2

n

－1)]，…，

a

2－5＝3(

a

1－3).因为

a

1＝3，所以

an

＝2

n

＋1.2

n

＋1

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4命题拓展[变条件]若例1(2)中的

a

1＝4，则

an

＝

⁠.[解析]设

an

＋1＋

x

(

n

＋1)＋

y

＝3(

an

＋

xn

＋

y

)，则展开利用对应项系数相等可得

出

x

＝－2，

y

＝－1，所以{

an

－2

n

－1}是以

a

1－2－1＝1为首项，3为公比的等比

数列，所以

an

－2

n

－1＝3

n

－1，所以

an

＝3

n

－1＋2

n

＋1.3

n

－1＋2

n

＋1

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧形如

an

＋1＝

pan

＋

f

(

n

)(

p

≠1)的递推式，一般采用构造法求通项：(1)若

f

(

n

)为非零常数，则一般凑配成

an

＋1＋

x

＝

p

(

an

＋

x

)的形式(利用待定系数法

求

x

)，构造等比数列；(2)若

f

(

n

)为关于

n

的一次函数，则一般凑配成

an

＋1＋

x

(

n

＋1)＋

y

＝

p

(

an

＋

xn

＋

y

)

的形式(利用待定系数法求

x

，

y

)，构造等比数列；(3)若

f

(

n

)为指数幂(如

qn

)的形式，则一般两边同时除以

pn

＋1或

qn

＋1，再利用累加法

或构造法求通项.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4训练1

在数列{

an

}中，

a

1＝5，

an

＋1＝3

an

－4，则

an

＝

⁠.[解析]由

an

＋1＝3

an

－4，可得

an

＋1－2＝3(

an

－2)，又

a

1＝5，所以{

an

－2}是以

a

1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以

an

－2＝3

n

，所以

an

＝3

n

＋2.3

n

＋2

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

C.{an}为递增数列ABD例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

C例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4命题点3

形如

an

＋1＝

pan

＋

qan

－1(

n

≥2)例3

已知数列{

an

}满足

an

＋1＝5

an

－6

an

－1(

n

≥2)，且

a

1＝1，

a

2＝4，则数列{

an

}

的通项公式为

⁠.

an

＝2×3

n

－1－2

n

－1

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧形如

an

＋1＝

pan

＋

qan

－1(

n

≥2)的递推式，一般采用构造法求通项，将原式变形为

an

＋1＋λ

an

＝μ(

an

＋λ

an

－1)(

n

≥2)，由待定系数法求出λ，μ，再依据相邻两项的递推

关系求通项.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4训练3已知数列{

an

}满足

a

1＝1，

a

2＝2，且对任意

n

∈N*，都有

an

＋2＝3

an

＋1－2

an

.则{

an

}的通项公式为

⁠.

an

＝2

n

－1

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

思维帮·提升思维

快速解题用“不动点法”求数列的通项公式

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧利用不动点法求数列通项的步骤对于一个函数

f

(

x

)，我们把满足

f

(

m

)＝

m

的值

m

称为函数

f

(

x

)的“不动点”.利用

“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4步骤如下：

iii.解方程得出

an

.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A.0C.1D.2C12345678

12345678

C.{an}为递减数列BCD12345678

123456783.[2024河南焦作统考]已知数列{

an

}满足

an

＋1＝3

an

＋2，

a

3＋

a

2＝22，则满足

an

＞160的最小正整数

n

＝

⁠.

5

123456784.[2023合肥六中三模]已知在数列{

an

}中，

a

1＝5，

a

2＝2，

an

＝2

an

－1＋3

an

－2(

n

≥3)，则数列{

an

}的通项公式为

⁠.[解析]

∵

an

＝2

an

－1＋3

an

－2(

n

≥3)，∴

an

＋

an

－1＝3(

an

－1＋

an

－2)(

n

≥3)，又

a

1

＋

a

2＝7，∴{

an

＋1＋

an

}是首项为7，公比为3的等比数列，则

an

＋1＋

an

＝7×3

n

－1

12345678

12345678

12345678

12345678

123456787.[2024名师原创]设数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，满足2

Sn

＝

an

＋1－2

n

＋1＋1(

n

∈N*)，且

a

1，

a

2＋5，

a

3成等差数列.(1)求

a

1的值；[解析]

(1)2

Sn

＝

an

＋1－2

n

＋1＋1，令

n

＝2得2

S

2＝

a

3－23＋1，即2

a

1＋2

a

2＝

a

3－7

①.因为

a

1，

a

2＋5，

a

3成等差数列，所以2(

a

2＋5)＝

a

1＋

a

3，即

a

3＝2(

a

2＋5)－

a

1

②，将②代入①可得2

a

1＋2

a

2＝2(

a

2＋5)－

a

1－7，解得

a

1＝1，故

a

1的值为1.12345678(2)求数列{

an

}的通项公式.

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