第八章 突破1“隐形圆”问题

第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题

训练1例1例2例3训练2例4

训练1例1例2例3训练2例4角度2

由｜

PA

｜2＋｜

PB

｜2是定值确定隐形圆(其中

A

，

B

是两定点，

P

为动点)例2

在平面直角坐标系

xOy

中，已知圆

C

：(

x

－

a

)2＋(

y

－

a

＋2)2＝1，点

A

(0，2).

若圆

C

上存在点

M

，满足｜

MA

｜2＋｜

MO

｜2＝10，则实数

a

的取值范围是

⁠⁠.

[0

,3]

训练1例1例2例3训练2例4角度3

阿波罗尼斯圆

训练1例1例2例3训练2例4

训练1例1例2例3训练2例4

{1}

训练1例1例2例3训练2例4

9

训练1例1例2例3训练2例4

训练1例1例2例3训练2例4命题点2

几何法确定隐形圆例4

(1)已知圆

O

：

x

2＋

y

2＝1，圆

M

：(

x

－

a

)2＋(

y

－

a

＋4)2＝1.若圆

M

上存在点

P

，过点

P

作圆

O

的两条切线，切点分别为

A

，

B

，使得∠

APB

＝60°，则实数

a

的

取值范围为

⁠.

训练1例1例2例3训练2例4(2)已知圆

C

：(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝1和两点

A

(－

m

，0)，

B

(

m

，0)，

m

＞0，若圆

C

上存在点

P

，使得∠

APB

＝90°，则

m

的取值范围是

⁠.[解析]由题意知，点

P

在以原点(0，0)为圆心，

m

为半径的圆

O

：

x

2＋

y

2＝

m

2上，又点

P

在已知圆

C

上，所以两个圆有公共点，所以5－1≤

m

≤5＋1，故4≤

m

≤6.[4，6]

训练1例1例2例3训练2例4方法技巧(1)利用圆的定义判断出动点的轨迹为圆，从而根据圆心及半径得出圆的方程.(2)见直径，想垂直；见垂直，想直径.训练1例1例2例3训练2例4

[7，13]

训练1例1例2例3训练2例4

1.已知直线

l

：

y

＝

k

(

x

－2)＋1(

k

∈R)上存在一点

P

，满足｜

OP

｜＝1，其中

O

为

坐标原点，则实数

k

的取值范围是(

C

)

C123456789

1234567892.已知点

A

(－1，0)，

B

(2，0)，若动点

M

满足｜

MB

｜＝2｜

MA

｜，直线

l

：

x

＋

y

－2＝0与

x

轴、

y

轴分别交于

P

，

Q

两点，则△

MPQ

的面积的最小值为(

D

)B.4D123456789

1234567893.[2024江苏省常熟中学校考]设λ∈R，动直线

l

1：λ

x

－

y

＋λ＝0过定点

A

，动直线

l

2：

x

＋λ

y

－3－2λ＝0过定点

B

，若

P

为

l

1与

l

2的交点，则｜

PA

｜·｜

PB

｜的最大值

为(

A

)A.10B.20A123456789

123456789

A.C的方程为(x＋4)2＋y2＝12BD123456789

1234567895.已知圆

O

：

x

2＋

y

2＝1，过平面区域

D

内的每一个点均存在两条互相垂直的直

线，它们均与圆

O

相交，则区域

D

的面积为

⁠.

2π

1234567896.[2023安徽合肥质检]已知

AB

为圆

C

：(

x

－2)2＋(

y

－

m

)2＝3的一条弦，

M

为线段

AB

的中点.若｜

CM

｜2＋｜

OM

｜2＝3(

O

为坐标原点)，则实数

m

的取值范围

是

⁠.

123456789

123456789

123456789

1234567898.已知动圆恒过定点

F

(1，0)且与定直线

l

：

x

＝－1相切.(1)求动圆圆心

C

的轨迹方程.[解析]因为动圆过定点

F

(1，0)且与定直线

l

：

x

＝－1相切，故圆心到点

F

(1，

0)和直线

l

：

x

＝－1的距离相等，故圆心

C

的轨迹是以

F

为焦点，以

l

为准线的抛物

线，故动圆圆心

C

的轨迹方程是

y

2＝4

x

.123456789

[解析]设过点

M

(

m

，0)(

m

＞0)的直线

l

与曲线

C

的交点为

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2).设

l

的方程为

x

＝

ty

＋

m

，代入得

y

2－4

ty

－4

m

＝0，Δ＝16(

t

2＋

m

)＞0，于是

y

1＋

y

2＝4

t

，

y

1

y

2＝－4

m

.

①

由①式，不等式③等价于

m

2－6