第五章 第4讲 数列求和

第五章数列第4讲数列求和

命题点五年考情命题分析预测用公式法和分组转化法求和2023新高考卷ⅡT18；2021新高考卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18本讲是高考热点，主要考查数列求和，常用方法有公式法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、倒序相加法，在客观题与主观题中都有可能出现，难度中等.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时也要关注分段数列的形式.用错位相减法求和2023全国卷甲T17；2021新高考卷ⅠT16；2021全国卷乙T19；2020全国卷ⅠT17；2020全国卷ⅢT17用裂项相消法求和2022新高考卷ⅠT17用倒序相加法求和

2.分组转化法(1)利用分组转化法求和的常见类型

注意

对含有参数的数列求和时要对参数进行讨论.3.错位相减法(1)适用的数列类型：{

anbn

}，其中数列{

an

}是公差为

d

的等差数列，{

bn

}是公比为

q

(

q

≠1)的等比数列.(2)求解思路：

Sn

＝

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋…＋

anbn

①，

qSn

＝

a

1

b

2＋

a

2

b

3＋…＋

an

－1

bn

＋

anbn

＋1

②，①－②得(1－

q

)

Sn

＝

a

1

b

1＋

d

(

b

2＋

b

3＋…＋

bn

)－

anbn

＋1，进而利用公式法求和.4.裂项相消法(1)利用裂项相消法求和的基本步骤(2)常见数列的裂项方法数列(n为正整数)裂项方法5.倒序相加法已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于同一常数”，可用倒序相加

法求和.解题时先把数列的前

n

项和表示出来，再把数列求和的式子倒过来写，然后

将两个式子相加，即可求出该数列的前

n

项和的2倍，最后求出该数列的前

n

项和.

1.[教材改编]已知{

an

}为等差数列，

Sn

为其前

n

项和，若

a

1＋

a

3＋

a

5＝105，

a

2＋

a

4＋

a

6＝99，则

S

20＝

⁠.

400

12342.[教材改编]已知

an

＝(－1)

nn

，则

a

1＋

a

2＋…＋

a

2

n

＝

⁠.[解析]由题意可得，

a

2

n

－1＋

a

2

n

＝－(2

n

－1)＋2

n

＝1，∴

a

1＋

a

2＋…＋

a

2

n

＝(

a

1＋

a

2)＋(

a

3＋

a

4)＋…＋(

a

2

n

－1＋

a

2

n

)＝1＋1＋…＋1＝

n

.n

12343.已知等差数列的前三项和为2，后三项和为4，且所有项和为64，则该数列

有

项.

64

12344.[易错题]数列{

an

}的通项公式为

an

＝2

n

－10，则｜

a

1｜＋｜

a

2｜＋…＋｜

a

15｜

＝

⁠.[解析]易知{

an

}为等差数列.设{

an

}的前

n

项和为

Sn

，当

an

＝2

n

－10＝0时，

n

＝

5，所以｜

a

1｜＋｜

a

2｜＋…＋｜

a

15｜＝－(

a

1＋

a

2＋…＋

a

5)＋

a

6＋

a

7＋…＋

a

15

＝

S

15－2

S

5＝130.130

1234

命题点1

用公式法和分组转化法求和

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4(1)记

bn

＝

a

2

n

，写出

b

1，

b

2，并求数列{

bn

}的通项公式；

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4(2)求{

an

}的前20项和.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4训练1

公差为2的等差数列{

an

}中，

a

1，

a

2，

a

4成等比数列.(1)求{

an

}的通项公式；[解析]

(1)因为等差数列{

an

}的公差为2，所以

a

2＝

a

1＋2，

a

4＝

a

1＋6.因为

a

1，

a

2，

a

4成等比数列，所以(

a

1＋2)2＝

a

1(

a

1＋6)，解得

a

1＝2.所以{

an

}的通项公式为

an

＝2＋(

n

－1)×2＝2

n

.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4命题点2

用错位相减法求和例2

[2023全国卷甲]记

Sn

为数列{

an

}的前

n

项和，已知

a

2＝1，2

Sn

＝

nan

.(1)求{

an

}的通项公式；

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧用错位相减法求和的注意事项(1)在书写

qSn

时注意“错位对齐”，以方便后续运算.(2)两式相减时注意最后一项的符号.(3)注意相减后的和式结构的中间为(

n

－1)项的和.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

(1)求{

an

}和{

bn

}的通项公式.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4命题点3

用裂项相消法求和

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项

消去哪些项，保留哪些项.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

(1)求{

an

}的通项公式.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

－8098

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧可以利用倒序相加法求和的数列所对应的函数的图象一般有对称中心，所以可以对

比理解记忆.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A.98B.99C.100D.101

C例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

1.[命题点1]已知数列{

an

}满足

an

＋2＋(－1)

nan

＝3，

a

1＝1，

a

2＝2.(1)记

bn

＝

a

2

n

－1，求数列{

bn

}的通项公式；[解析]

(1)

an

＋2＋(－1)

nan

＝3，令

n

取2

n

－1，则

a

2

n

＋1－

a

2

n

－1＝3，即

bn

＋1－

bn

＝3，又

b

1＝

a

1＝1，所以数列{

bn

}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以

bn

＝3

n

－2.123(2)记数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，求

S

30.[解析]

(2)令

n

取2

n

，则

a

2

n

＋2＋

a

2

n

＝3，所以

S

30＝(

a

1＋

a

3＋…＋

a

29)＋(

a

2＋

a

4＋…＋

a

30)，由(1)可知，

a

1＋

a

3＋…＋

a

29＝

b

1＋

b

2＋…＋

b

15＝330，

a

2＋

a

4＋…＋

a

30＝

a

2＋(

a

4＋

a

6)＋…＋(

a

28＋

a

30)＝2＋21＝23.所以

S

30＝330＋23＝353.1232.[命题点2/2023四川绵阳南山中学模拟]在①

Sn

＋1＝2

Sn

＋2，②

an

＋1－

an

＝2

n

这两

个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

a

1＝2，且

.123(1)求

an

；

123(2)若

bn

＝(

n

＋1)·

an

，求数列{

bn

}的前

n

项和

Tn

.

1233.[命题点3/2023南京市二模]已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

a

1＝2，(

n

－2)

Sn

＋1＋

2

an

＋1＝

nSn

，

n

∈N*.(1)求数列{

an

}的通项公式；

123解法二因为(

n

－2)

Sn

＋1＋2

an

＋1＝

nSn

，所以

n

(

Sn

＋1－

Sn

)－2(

Sn

＋1－

an

＋1)＝0，所以2

Sn

＝

nan

＋1，①所以当

n

≥2时，2

Sn

－1＝(

n

－1)

an

，②

123

123

123

D12345678910

12345678910

A.98B.99C.100D.101C12345678910

12345678910

12345678910

502

123456789104.[2023惠州调研]已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

n

∈N*，现有如下三个条件：条件①

a

5＝5；条件②

an

＋1－

an

＝2；条件③

S

2＝－4.请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.(1)求数列{

an

}的通项公式；

12345678910解法一由

an

＋1－

an

＝2可知数列{

an

}是公差

d

＝2的等差数列.又

a

5＝5，

a

5＝

a

1＋(5－1)×

d

，所以

a

1＝－3，故

an

＝－3＋2(

n

－1)，即

an

＝2

n

－5(

n

∈N*).[解析]

(1)选①②时.12345678910解法二由

an

＋1－

an

＝2可知数列{

an

}是公差

d

＝2的等差数列.又

a

5＝5，

an

＝

a

5＋(

n

－5)×

d

，所以

an

＝5＋(

n

－5)×2，即

an

＝2

n

－5(

n

∈N*).选②③时.由

an

＋1－

an

＝2可知数列{

an

}是公差

d

＝2的等差数列.由

S

2＝－4可知

a

1＋

a

2＝－4，即2

a

1＋2＝－4，解得

a

1＝－3，故

an

＝－3＋2(

n

－1)，即

an

＝2

n

－5(

n

∈N*).(备注：选①③这两个条件无法确定数列.)12345678910

123456789105.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知{

an

}是等差数列，{

bn

}是等比数

列，且

b

2＝2，

b

5＝16，

a

1＝2

b

1，

a

3＝

b

4.(1)求{

an

}，{

bn

}的通项公式；

12345678910(2)设

cn

＝

an

·

bn

，求数列{

cn

}的前

n

项和

Sn

.

123456789106.[2023大同学情调研]已知数列{

an

}的前

n

项和

Sn

满足

Sn

＋2＝2

an

(

n

∈N*).(1)证明：数列{

Sn

＋2}是等比数列.

12345678910

12345678910

7.已知等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

S

6＝－7

S

3，且

a

2，1，

a

3成等差数列，则

数列{

an

}的通项公式为

；设

bn

＝｜

an

－1｜，则数列{

bn

}的前2

n

项和

T

2

n

＝

⁠.an

＝

(－2)

n

－1

22

n

－1

12345678910

12345678910

(1)求数列{

an

}的通项公式；

123456789