第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

第八章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能根据给

定直线、圆

的方程，判

断直线与

圆、圆与圆

的位置关

系.直线与圆的

位置关系2022新高考卷ⅡT15；2021新高考

卷ⅡT11；2021全国卷甲T20本讲是高考的命题

热点，主要考查：

(1)直线与圆的位置

关系的判断，圆与

圆的位置关系的判

断，切线问题，弦

长问题；圆的弦长问

题2023新高考卷ⅡT15；2023全国卷

甲T8；2021北京T9圆的切线问

题2023新高考卷ⅠT6；2022新高考卷

ⅠT14；2022全国卷甲T14；2020全

国卷ⅠT11；2019全国卷ⅢT21课标要求命题点五年考情命题分析预测2.能用直线和

圆的方程解决

一些简单的数

学问题与实际

问题.圆与圆的

位置关系2022新高

考卷ⅠT14(2)将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与

圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的条

件.主要以选择题、填空题的形式出现，也

可能作为解答题的一部分考查，难度中等.

在2025年高考的备考中重视常规考向的同时

注意与圆锥曲线的综合命题.

1.直线与圆的位置关系设圆

O

的半径为

r

，圆心

O

到直线

l

的距离为

d

，则位置关系相离相切相交图形

公共点个数012判定方法代数法Δ①

⁠0Δ②

⁠0Δ③

⁠0几何法d④

⁠rd⑤

⁠rd⑥

⁠r＜

＝

＞

＞

＝

＜

2.圆与圆的位置关系(1)设两圆的圆心距为

d

，两圆的半径分别为

R

，

r

(

R

＞

r

)，则位置关系外离外切相交内切内含图形

公共点个数01210d，R，r的关系⑦

⁠

⁠⑧

⁠

⁠⑨

⁠

⁠⑩

⁠

⁠⑪

⁠

⁠公切线条数⑫

⁠⑬

⁠⑭

⁠⑮

⁠0d＞R＋r

d＝R＋r

R－r＜d

＜R＋r

d＝R－r

d＜R－r

4

3

2

1

(2)两圆相交时，公共弦所在直线的方程设圆

C

1：

x

2＋

y

2＋

D

1

x

＋

E

1

y

＋

F

1＝0

(*)，圆

C

2：

x

2＋

y

2＋

D

2

x

＋

E

2

y

＋

F

2＝

0

(**)，若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由(*)－(**)，得(

D

1－

D

2)

x

＋(

E

1－

E

2)

y

＋

F

1－

F

2＝0

(***).方程(***)表示圆

C

1与圆

C

2的公共弦所在直线的方程.注意

(1)方程(***)存在的前提是两圆相交；(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的

圆心.规律总结圆系方程过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋

Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝

0(λ∈R).过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0

和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0

交点的圆系方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y

＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题

时，注意检验圆C2是否满足题意).

1.[多选]下列说法正确的是(

AD

)A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交C.“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件D.过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，

P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2AD123452.[易错题]若半径为1的圆

C

与圆(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝9相切，则圆

C

的圆心

C

的轨迹

方程为

⁠.[解析]若两圆外切，则点

C

与点(－1，2)间的距离为4，点

C

在以(－1，2)为圆

心，4为半径的圆上，此时点

C

的轨迹方程为(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝16；若两圆内切，

则点

C

与点(－1，2)间的距离为2，点

C

在以(－1，2)为圆心，2为半径的圆上，此时

点

C

的轨迹方程为(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝4.(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝16或(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝4

123453.[易错题]已知圆

C

：

x

2＋

y

2＝9，过点

P

(3，1)作圆

C

的切线，则切线方程为

⁠

⁠.

x＝3或4

x

＋3

y

－15＝0

123454.过两圆

x

2＋

y

2－2

y

－4＝0与

x

2＋

y

2－4

x

＋2

y

＝0的交点，且圆心在直线

l

：2

x

＋4

y

－1＝0上的圆的方程为

⁠.

x

2＋

y

2－3

x

＋

y

－1＝0

12345

12345

命题点1

直线与圆的位置关系例1

(1)[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线

l

：

ax

＋

by

－

r

2＝0(

r

＞0)与圆

C

：

x

2＋

y

2＝

r

2，点

A

(

a

，

b

)，则下列说法正确的是(

ABD

)A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切ABD训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4(2)[2022新高考卷Ⅱ]设点

A

(－2，3)，

B

(0，

a

)，若直线

AB

关于

y

＝

a

对称的直线与

圆(

x

＋3)2＋(

y

＋2)2＝1有公共点，则

a

的取值范围是

⁠.

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4方法技巧直线与圆的位置关系的判断方法几何法由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.代数法联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用Δ

判断.点与圆的

位置关系

法若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4注意

在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线

的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离

不易表达，则用代数法.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4训练1

(1)直线

l

：

mx

－

y

＋1－

m

＝0与圆

C

：

x

2＋(

y

－1)2＝5的位置关系是

(

A

)A.相交B.相切C.相离D.不确定

解法三(点与圆的位置关系法)直线

l

：

mx

－

y

＋1－

m

＝0过定点(1，1)，因为点

(1，1)在圆

x

2＋(

y

－1)2＝5的内部，所以直线

l

与圆

C

相交.A训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

D训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

2(答案不唯一)

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4方法技巧求解圆的弦长问题的方法几何

法代数

法训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4训练2

(1)[2021北京高考]已知圆

C

：

x

2＋

y

2＝4，直线

l

：

y

＝

kx

＋

m

，当

k

的值发

生变化时，直线

l

被圆

C

所截得的弦长的最小值为2，则

m

的值为(

C

)A.±2D.±3

C训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4(2)[多选/2024南京市第五高级中学模拟]已知圆

O

：

x

2＋

y

2＝9，过点

A

(2，0)的直

线

l

与圆

O

交于

M

，

N

两点，则(

BD

)A.存在直线l，使得｜MN｜＝4B.使得｜MN｜为整数的直线l有3条BD训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4命题点3

圆的切线问题例3

[2023新高考卷Ⅰ]过点(0，－2)与圆

x

2＋

y

2－4

x

－1＝0相切的两条直线的夹角为

α，则sinα＝(

B

)A.1B训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

(2)求过点

M

的圆

C

的切线方程，并求出切线长.

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4方法技巧1.求过圆

O

上一点

P

(

x

0，

y

0)的切线

l

方程的方法利用

OP

与

l

垂直及

l

过点

P

求切线方程.2.求过圆外一点的切线方程的方法几何法设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.代数法设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于x或y的一元二次方程，利用Δ＝0求解.注意

(1)求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.(2)设直线

方程时注意对斜率是否存在进行讨论.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4训练3

(1)[2023重庆市二调]已知直线

l

：

x

－

y

＋8＝0与

x

轴交于点

A

，过直线

l

上的

动点

P

作圆

x

2＋

y

2＝16的两条切线，切点分别为

C

，

D

，则直线

CD

恒过定点的坐

标为

；若

M

是线段

CD

的中点，则｜

AM

｜的最小值为

⁠.

(－2，2)

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4命题点4

圆与圆的位置关系角度1

圆与圆位置关系的判断例5

[2023安徽省十校联考]已知直线

l

：

mx

＋

y

－3

m

－2＝0与圆

M

：(

x

－5)2＋(

y

－

4)2＝25交于

A

，

B

两点，

则当弦

AB

最短时，圆

M

与圆

N

：(

x

＋2

m

)2＋

y

2＝9的位

置关系是(

B

)A.内切B.外离C.外切D.相交B训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4角度2

两圆的公切线问题例6

[2022新高考卷Ⅰ]写出与圆

x

2＋

y

2＝1和(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝16都相切的一条直线

的方程

⁠.解法一如图，因为圆

x

2＋

y

2＝1的圆心为

O

(0，0)，半径

r

1＝1，圆(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝16的圆心为

A

(3，4)，半径

r

2＝4，所以｜

OA

｜＝5，

r

1＋

r

2＝5，所以｜

OA

｜＝

r

1＋

r

2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线

l

1的方程为

x

＝－1；x

＝－1(答案不唯一)

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4角度3

两圆相交的公共弦问题例7

圆

C

1：

x

2＋

y

2－2

x

＋10

y

－24＝0和圆

C

2：

x

2＋

y

2＋2

x

＋2

y

－8＝0的公共弦

所在直线的方程为

，公共弦长为

⁠.

x

－2

y

＋4＝0

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4方法技巧1.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半

径之间的关系，一般不采用代数法.2.两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分

别等于两圆的半径列方程组求解.3.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4训练4

(1)[2023湖南省六校联考]在平面直角坐标系

xOy

中，圆

C

的方程为

x

2＋

y

2－8

x

＋15＝0，若直线

y

＝

kx

－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与

圆

C

有公共点，则

k

的最大值是(

B

)A.0D.7

B训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4(2)[多选/2023海南省文昌中学模拟]已知圆

O

1：

x

2＋

y

2－2

x

－3＝0和圆

O

2：

x

2＋

y

2－2

y

－1＝0的交点为

A

，

B

，直线

l

：

x

＋

y

＋λ＝0与圆

O

1交于

C

，

D

两点，则下

列结论正确的是(

CD

)B.圆O2上存在两点P和Q，使得｜PQ｜＞｜AB｜D.若O1C⊥O1D，则λ＝－3或λ＝1CD训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5例6例7训练4

1.[命题点1，2/多选/2024甘肃酒泉联考]下列关于直线

l

：

y

＝

kx

＋

b

与圆

C

：

x

2＋

y

2＝1的说法正确的是(

ABD

)A.若直线l与圆C相切，则b2－k2为定值B.若4b2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值ABD123456[解析]圆

C

：

x

2＋

y

2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，

1234562.[命题点1，4/多选/2024河源中学模拟]已知圆

O

：

x

2＋

y

2＝4和圆

C

：(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝4，

P

，

Q

分别是圆

O

，圆

C

上的动点，则下列说法错误的是(

AC

)A.圆O与圆C相交C.x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D.过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°AC123456

1234563.[命题点2/2023高三名校联考(一)]若直线

kx

－

y

＋1－2

k

＝0与圆

x

2＋

y

2＝9分别交

于

M

，

N

两点，则弦

MN

长度的最小值为

⁠.

4

1234564.[命题点3，4]过点

D

(1，－2)作圆

C

：(

x

－1)2＋

y

2＝1的两条切线，切点分别为

A

，

B

，则弦

AB

所在直线的方程为(

B

)A.2y－1＝0B.2y＋1＝0C.x＋2y－1＝0D.x－2y＋1＝0[解析]

解法一由圆

C

：(

x

－1)2＋

y

2＝1的方程可知其圆心为

C

(1，0)，半径为1.连接

CD

，易得以线段

CD

为直径的圆的方程为(

x

－1)2＋(

y

＋1)2＝1.将两圆的方程相减，可得公共弦

AB

所在直线的方程为2

y

＋1＝0.故选B.B解法二由与圆的切线有关的结论，得弦

AB

所在直线的方程为(1－1)(

x

－1)＋(－2)

y

＝1，即2

y

＋1＝0.1234565.[命题点4角度1]已知圆

C

1：

x

2＋(

y

－2)2＝4与圆

C

2：

x

2＋2

mx

＋

y

2＋

m

2－1＝0

至少有三条公切线，则

m

的取值范围是(

D

)

D1234566.[命题点4角度3/多选/2023江西省五校联考]已知圆

Q

：(

x

－2)2＋(

y

－2)2＝2，

O

为

坐标原点，以

OQ

为直径作圆Q'，交圆

Q

于

A

，

B

两点，则△

OAB

的面积为(

A

)C.3A123456

123456

1.[2024江苏无锡市第一中学校考]已知点

M

(

x

0，

y

0)在圆

x

2＋

y

2＝2外，则直线

x

0

x

＋

y

0

y

＝2与圆的位置关系是(

B

)A.相切B.相交C.相离D.不确定B123456789101112131415

1234567891011121314152.[2023广东百校联考]若直线

l

：

kx

－

y

＋2－

k

＝0与圆

C

：

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

－4＝

0交于

A

，

B

两点，则当△

ABC

的周长最小时，

k

＝(

C

)C.1D.－1[解析]直线

l

恒过点

D

(1，2)，圆心

C

(2，1)，点

D

在圆内，当

CD

⊥

l

时，｜

AB

｜最小，△

ABC

的周长最小，由

C

(2，1)，

D

(1，2)，易得

kCD

＝－1，所以

k

＝1，故选C.C123456789101112131415

A.内切B.相交C.外切D.相离

B1234567891011121314154.[2023福建漳州质检]已知

A

，

B

分别为

x

轴，

y

轴上的动点，若以

AB

为直径的圆

与直线2

x

＋

y

－4＝0相切，则该圆面积的最小值为(

C

)D.π

C123456789101112131415

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A123456789101112131415

1234567891011121314156.[2023河南省适应性测试]过圆

x

2＋

y

2＝4上的一点作圆

x

2＋

y

2＝1的两条切线，则

连接两切点的线段长为(

D

)A.2B.1D123456789101112131415

123456789101112131415

A.4D123456789101112131415

1234567891011121314158.[多选/2023吉林长春模拟]已知两个圆

C

1：

x

2＋

y

2－2

x

＋4

y

＋4＝0和

C

2：(

x

－

a

)2＋

y

2＝4相交，则

a

的值可以是(

BCD

)A.－2B.0C.1D.2

BCD1234567891011121314159.[开放创新]写出与直线

x

－

y

－4＝0和圆

x

2＋

y

2＋2

x

－2

y

＝0都相切的一个圆的方

程：

⁠.

(

x

－1)2＋(

y

＋1)2＝2(答案不唯一)

12345678910111213141510.已知直线

l

：

x

－

y

＋2＝0，圆

C

：

x

2＋

y

2＋2

x

＋2

y

－2＝0.(1)求证：直线

l

与圆

C

相交；

(2)若直线

l

与圆

C

交于

A

，

B

两点，求以弦

AB

为直径的圆的方程.

123456789101112131415

A.2B.3C.4D.7D123456789101112131415

设

P

，

C

到直线

AB

的距离分别为

d

1，

d

2，

显然当

P

，

C

位于直线

AB

的同侧时，点

P

到直线

AB

的距离较大，

12345678910111213141512.[全国卷Ⅰ]已知☉

M

：

x

2＋

y

2－2

x

－2

y

－2＝0，直线

l

：2

x

＋

y

＋2＝0，

P

为

l

上

的动点.过点

P

作☉

M

的切线

PA

，

PB

，切点为

A

，

B

，当｜

PM

｜·｜

AB

｜最小

时，直线

AB

的方程为