第十章 第7讲 二项分布、超几何分布与正态分布

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第7讲二项分布、超几何分布与正态分布

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解伯努利试验，掌握二项

分布及其数字特征，并能解决

简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，

并能解决简单的实际问题.二项分布2021天津T14；

2019天津T16本讲常以生产生活实际

情境为载体考查二项分

布、超几何分布及正态

分布的应用，解题时注

意对相关概念的理解及

相关公式的应用.超几何

分布2021浙江T15课标要求命题点五年考情命题分析预测3.通过误差模型，了解服从

正态分布的随机变量.通过

具体实例，借助频率分布直

方图的几何直观，了解正态

分布的特征.4.了解正态分布的均值、方

差及其含义.正态分布及其

应用2022新高考卷

ⅡT13；2021新

高考卷ⅡT6在2025年高考备考

时注意对不同分布

模型的理解和应用.

学生用书P2431.

n

重伯努利试验(1)定义：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重

复进行

n

次所组成的随机试验称为

n

重伯努利试验.(2)特征：a.同一个伯努利试验重复做

n

次；b.各次试验的结果相互独立.2.二项分布(1)定义：一般地，在

n

重伯努利试验中，设每次试验中事件

A

发生的概率为

p

(0＜

p

＜1)，用

X

表示事件

A

发生的次数，则

X

的分布列为

P

(

X

＝

k

)＝①

，

k

＝0，1，2，…，

n

.如果随机变量

X

的分布列具有上式的形式，则称随机变量

X

服从二项分布，记作②

.特别地，当

n

＝1时，此时的二项分布为两点分布.(2)期望与方差：若

X

～

B

(

n

，

p

)，则

E

(

X

)＝③

，

D

(

X

)＝④

⁠.

X

～

B

(

n

，

p

)

np

np

(1－

p

)

3.超几何分布(1)定义：一般地，假设一批产品共有

N

件，其中有

M

件次品.从

N

件产品中随机抽

取

n

件(不放回)，用

X

表示抽取的

n

件产品中的次品数，则

X

的分布列为

P

(

X

＝

k

)＝

⑤

，

k

＝

m

，

m

＋1，

m

＋2，…，

r

.其中

n

，

N

，

M

∈N*，

M

≤

N

，

n

≤

N

，

m

＝max{0，

n

－

N

＋

M

}，

r

＝min{

n

，

M

}.如果随机变量

X

的分布列具有

上式的形式，那么称随机变量

X

服从超几何分布.(2)期望：

E

(

X

)＝⑥

⁠.注意

二项分布是有放回抽取问题，超几何分布是不放回抽取问题.

X

～

N

(μ，σ2)

x

＝μ

x

＝μ

1

f.当μ取定值时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“⑪

”，表示总体的

分布越⑫

；σ越大，曲线越“⑬

”，表示总体的分布越⑭

⁠，如图2所示.说明从图1，图2可以发现参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的

分布相对于均值μ的离散程度.瘦高

集中

矮胖

分散

(3)正态分布三个常用数据

P

(μ－σ≤

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－2σ≤

X

≤μ＋2σ)≈0.9545，

P

(μ－3σ≤

X

≤μ＋3σ)≈0.9973.说明

在实际应用中，通常认为服从正态分布

N

(μ，σ2)的随机变量

X

只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.(4)正态分布的期望与方差：若

X

～

N

(μ，σ2)，则

E

(

X

)＝⑮

，

D

(

X

)＝⑯

⁠.μ

σ2

1.下列说法错误的是

(

A

)A.某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X服从二项

分布B.从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布C.n重伯努利试验中各次数试验的结果相互独立D.正态分布是对连续型随机变量而言的A12342.[多选]若袋子中有2个白球，3个黑球(球除了颜色不同，没有其他任何区别)，现从

袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，

记4次取球的总分数为

X

，则(

BCD

)BCD

12343.已知随机变量

X

服从正态分布

N

(3，1)，且

P

(

X

＞2

c

－1)＝

P

(

X

＜

c

＋3)，则

c

＝

⁠.

12344.[教材改编]生产方提供一批产品50箱，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品

的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收

该批产品.则该批产品被接收的概率是

⁠.

1234

A例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)为了解观众对2023年央视春晚小品节目《坑》的评价，某机构随机抽取10位观众

对其打分(满分10分)，得到如下表格：观众序号12345678910评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1①求这组数据的第75百分位数；[解析]

①将这组数据从小到大排列，为7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，

9.5，9.9，所以这组数据的第75百分位数为9.1.例1训练1例2训练2例3训练3

②将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对节目《坑》进行评价，记抽取的3人

中评分超过9.0的人数为

X

，求

X

的分布列、数学期望与方差.例1训练1例2训练2例3训练3X0123P0.3430.4410.1890.027(注意根据分布列中所有可能取值的概率之和为1检验所求的分布列是否正确)所以

E

(

X

)＝3×0.3＝0.9，

D

(

X

)＝3×0.3×0.7＝0.63.所以

X

的分布列为例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧二项分布问题的解题关键1.定型(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.2.定参：确定二项分布中的两个参数

n

和

p

，即试验发生的次数和试验中事件发生

的概率.例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3X0123P所以随机变量

X

的分布列为

例1训练1例2训练2例3训练3

(2)设

M

为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：

30之前到校的天数恰好多2”，求事件

M

发生的概率.例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以

X

表示其中丙能答对的题数，求

X

的分布列及数学期望.

X012P

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的特征是：(1)考查对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽

取若干个个体，考查某类个体数

X

的概率分布.3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古

典概型.例1训练1例2训练2例3训练3训练2[天津高考]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现

采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？[解析]

(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层

随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3

人，2人，2人.例1训练1例2训练2例3训练3(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一

步的身体检查.(i)用

X

表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量

X

的分布列与数学期望；(ii)设

A

为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求

事件

A

发生的概率.例1训练1例2训练2例3训练3

X0123P

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3命题点3

正态分布及其应用例3(1)[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的测量结果服从正态分布

N

(10，σ2)，则下列结论

中不正确的是(

D

)A.σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等D例1训练1例2训练2例3训练3[解析]设该物理量一次测量结果为

X

，对于A，σ越小，说明数据越集中在10附

近，所以

X

落在(9.9，10.1)内的概率越大，所以选项A正确；对于B，根据正态曲线

的对称性可得，

P

(

X

＞10)＝0.5，所以选项B正确；对于C，根据正态曲线的对称性

可得，

P

(

X

＞10.01)＝

P

(

X

＜9.99)，所以选项C正确；对于D，根据正态曲线的对称

性可得，

P

(9.9＜

X

＜10.2)－

P

(10＜

X

＜10.3)＝

P

(9.9＜

X

＜10)－

P

(10.2＜

X

＜

10.3)，又

P

(9.9＜

X

＜10)＞

P

(10.2＜

X

＜10.3)，所以

P

(9.9＜

X

＜10.2)＞

P

(10＜

X＜10.3)，所以选项D错误.故选D.例1训练1例2训练2例3训练3(2)某工厂制造的某种机器零件的尺寸

X

(单位：mm)近似服从正态分布

N

(100，

0.01)，现从中随机抽取10000个零件，尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为(附：若随机

变量

X

～

N

(μ，σ2)，则

P

(μ－σ≤

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－2σ≤

X

≤μ＋

2σ)≈0.9545)

(

B

)A.2718B.1359C.430D.215

B例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧解决正态分布问题的思路1.把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ

－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.2.利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下：(1)

P

(

X

≥μ)＝

P

(

X

＜μ)＝0.5；(2)对任意的

a

，有

P

(

X

＜μ－

a

)＝

P

(

X

＞μ＋

a

)；(3)

P

(

X

＜

x

0)＝1－

P

(

X

≥

x

0)；(4)

P

(

a

＜

X

＜

b

)＝

P

(

X

＜

b

)－

P

(

X

≤

a

).例1训练1例2训练2例3训练3训练3(1)[2022新高考卷Ⅱ]已知随机变量

X

服从正态分布

N

(2，σ2)，且

P

(2＜

X

≤2.5)

＝0.36，则

P

(

X

＞2.5)＝

⁠.[解析]因为

X

～

N

(2，σ2)，所以

P

(

X

＞2)＝0.5，所以

P

(

X

＞2.5)＝

P

(

X

＞2)－

P

(2＜

X

≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14

例1训练1例2训练2例3训练3(2)[2023广州市阶段测试]某品牌手机的电池使用寿命

X

(单位：年)服从正态分布，

且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手

机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为

⁠.

0.4

例1训练1例2训练2例3训练3

123

123

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个

数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求

n

的范围.123Y0123P

随机变量

Y

的分布列为123

1

1233.[命题点3/2023四省联考]某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布

N

(100，σ2).

质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45％，则

需调整生产工艺，使得σ至多为

.(若

X

～

N

(μ，σ2)，则

P

(｜

X

－μ｜＜

2σ)≈0.9545)

0.5

123

学生用书·作业帮P393

B12345678910111213141516

B.E(3X＋1)＝4C.D(3X＋1)＝8

C123456789101112131415163.[2024贵州贵阳一中模拟]若随机变量

X

～

N

(10，22)，则下列选项错误的是

(

D

)A.P(X≥10)＝0.5B.P(X≤8)＋P(X≤12)＝1C.P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10)D.D(2X＋1)＝8[解析]根据随机变量

X

～

N

(10，22)可知μ＝10，σ＝2，所以

P

(

X

≥10)＝0.5，故A

正确，

P

(

X

≤8)＋

P

(

X

≤12)＝

P

(

X

≥12)＋

P

(

X

≤12)＝1，故B正确，

P

(8≤

X≤12)＝2

P

(8≤

X

≤10)，C正确，

D

(2

X

＋1)＝4

D

(

X

)＝16，故D错误，故选D.D123456789101112131415164.[2024河北邢台模拟]若

X

～

B

(16，

p

)(0＜

p

＜1)，且

D

(

aX

)＝16，则(

B

)A.a的最小值为4B.a2的最小值为4C.a的最大值为4D.a2的最大值为4

B123456789101112131415165.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，该问题可以直观描

述为：存在无穷多个素数

p

，使得

p

＋2是素数.素数对(

p

，

p

＋2)称为孪生素数.从8

个数对(3，5)，(5，7)，(7，9)，(9，11)，(11，13)，(13，15)，(15，17)，(17，19)

中任取3个，设取出的孪生素数的个数为

X

，则

E

(

X

)＝(

C

)D.3C12345678910111213141516

12345678910111213141516

0.2

123456789101112131415167.已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为

p

，且各员工发表论文是否获奖相

互独立.若

X

为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，

D

(

X

)＝0.96，

E

(

X

)＞2，则

p

＝

⁠.

12345678910111213141516

6或7

123456789101112131415169.[2024云南昆明模拟]某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式

领取购物卡.该商场在一个纸箱里放15个小球(除颜色外其余均相同)，包括3个红球、

5个黄球和7个白球.每个顾客均不放回地从15个小球中拿3次，每次拿1个球，每拿到

一个红球获得一张

A

类购物卡，每拿到一个黄球获得一张

B

类购物卡，每拿到一个

白球获得一张

C

类购物卡.12345678910111213141516

[解析]

(1)记事件

A

为“在3次拿球中只有1次拿到白球”，事件

B

为“在3次拿球中

至多有1次拿到红球”，则事件

AB

为“在3次拿球中只有1次拿到白球，其他两次至

多1次拿到红球”.(1)已知某顾客在3次拿球中只有1次拿到白球，求其至多有1次拿到红球的概率；12345678910111213141516

X0123P(2)设某顾客抽奖获得

A

类购物卡的数量为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

1234567891011121314151610.[2024福建龙岩质检]杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.为

了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环

节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分

布表(见下表).分组(百分制)频数频率[0，20)100.1[20，40)200.2[40，60)300.3[60，80)250.25[80，100]150.15合计100112345678910111213141516(1)由频率分布表可认为该市参加预赛的全体学生的预赛成绩

X

服从正态分布

N

(μ，

σ2)(σ＞0)，其中μ可近似视为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该

组区间的中点值代替)，且σ2＝342.利用该正态分布，求

P

(

X

≥90).

12345678910111213141516

12345678910111213141516所以

Y

的分布列为Y012P

12345678910111213141516

A.X服从二项分布AC12345678910111213141516

1234567891011121314151612.某同学骑自行车上学，第一条路线较短但拥挤，路途用时

X

1(单位：min)服从正

态分布

N

(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，路途用时

X

2(单位：min)服从正态分布

N

(6，0.16).若有一天他出发时离上课时间还有7min，则

P

(

X

2≤7)－

P

(

X

1≤7)

＝

.(精确到0.0001)(参考数据：

P

(μ－σ＜

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－

1.5σ＜

X

≤μ＋1.5σ)≈0.8664，

P

(μ－2σ＜

X

≤μ＋2σ)≈0.9545，

P

(μ－2.5σ＜

X

≤μ

＋2.5σ)≈0.9876，

P

(μ－3σ＜

X

≤μ＋3σ)≈0.9973)0.0166

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

附：若

X

～

N

(μ，σ2)，则

P

(｜

X

－μ｜≤σ)≈0.6827，

P

(｜

X

－μ｜≤2σ)≈0.954

5，

P

(｜

X

－μ｜≤3σ)≈0.9973.1234567891011121314151614.[2023昆明市模拟]已知某校的校排球队中来自高一、高二、高三三个年级的学生

人数分别为7，6，2.(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级

的概率.

12345678910111213141516