第59讲 排列与组合

第十单元

排列、组合与二项式定理、概率第59讲

排列与组合课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.◆

知识聚焦

◆1.排列与组合的概念名称定义区别排列按照______________排成一列排列有序，组合无序组合作为一组一定的顺序2.排列数与组合数名称定义计算公式性质联系排列数不同排列

名称定义计算公式性质联系组合数（2）应用时一般是先选（元素）后排，先分组后分配不同组合

续表常用结论排列的常用方法：（1）相邻问题——捆绑法；（2）不相邻问题——插空法；（3）定序问题（或相同元素）——用除法处理；（4）分排问题——直排法.◆

对点演练

◆题组一

常识题1.［教材改编］

某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名参加校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有___种.4

2.［教材改编］

某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，则共有_______种不同的安排方法.2400

20

题组二

常错题◆

索引：题意理解不准确;不能正确运用捆绑法致误;混淆排列、组合问题致误;分类标准不清致误.4.从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有___种选法;若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案种数为______;若甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为____.512096

5.已知4个男生，3个女生站成一排，若3个女生必须排在一起，则有______种不同的排法；若甲、乙2人之间恰好有3个人，则有______种不同的排法.（用数字作答）720720

6.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排,共有____种不同的排法.56

7.从4台标清彩电和5台高清彩电中选购3台，要求至少有标清彩电与高清彩电各1台，共有____种不同的选法.70

探究点一

排列问题例1（1）

甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影，恰好买到了同一排座位号连续的六张电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为(

)

BA.360

B.480

C.600

D.720［思路点拨］（1）先求得六人的全排列数，然后结合题意，求得甲、乙在丙同侧所占的比例，即可求解.

（2）

[2023·广东茂名一中三模]

由数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的五位数中，从小到大排列的第88个数为(

)

CA.42

031

B.42

103

C.42

130

D.42

301［思路点拨］（2）分类讨论由数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的五位数的各种情况，进而得到从小到大排列的第88个数为42

130.

[总结反思]求排列问题的注意点（1）有些排列的问题，可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.（2）间接法是解决排列问题常用方法，即遇到直接进行解题步骤多,

不易计算时，可以考虑先计算出总的情况数,然后计算出不满足要求的情况数,最后用总的情况数减去不满足的情况数即得最后答案.（3）求解排列问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，则求解过程简单，容易让人接受，否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误，因此，可借助分类讨论思想来求解.变式题（1）

甲、乙、丙3位志愿者被安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲被安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有(

)

AA.20种

B.30种

C.50种

D.60种

DA.10

B.12

C.14

D.16

AA.100

B.120

C.300

D.600

探究点二

组合问题

CA.96种

B.144种

C.192种

D.206种

（2）

[2023·

新课标Ⅰ卷]

某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.64

［思路点拨］（2）按选修2门或3门课进行分类讨论，结合组合知识求解.[总结反思]解决组合问题的注意点:（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.（3）成双成对的元素一般是先取双再取单.变式题（1）

（多选题）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是(

)

ADA.若4人中男、女生各2人，则有18种选法B.若男生甲和女生乙必选，则有12种选法C.若男生甲和女生乙至少有1人被选，则有15种选法D.若4人中既有男生又有女生，则有34种选法

（2）

[2024·山东泰安肥城模拟]

现有6名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这6人中安排3人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式有______种.

探究点三

排列与组合的综合应用角度1

相邻、相间及特殊元素（位置）问题例3（1）

有3名男生，4名女生站成一排，则下列说法错误的是(

)

CA.从7人中任选3人相互调整位置，其余4人位置不变，则不同的调整方案有70种B.全体站成一排，男生互不相邻的站法有1440种C.全体站成一排，女生必须站在一起的站法有144种D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾的站法有3720种［思路点拨］（1）根据两个计数原理和排列组合的知识，逐项判断即可.

BA.48

B.36

C.24

D.12

［思路点拨］（2）根据甲跑的棒次进行分类讨论，由此求得不同棒次安排方案种数.[总结反思]（1）对于有限制条件的排列组合问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）有限制条件的排列问题的常用方法：相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法.变式题（1）

[2023·河北保定一中二模]

某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有(

)

CA.56种

B.64种

C.72种

D.86种

（2）

琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国优秀传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共有______种.（用数字作答）

角度2

定序问题例4

“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的2串共6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法的种数为____.20［思路点拨］

先对6盏不同的花灯进行全排列，结合定序问题的解决方法，即可求解.

[总结反思]定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.变式题

[2023·长沙雅礼中学一模]

六个身高不同的人排成两排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有_____种排法.

角度3

相同元素分配问题例5

某高校举行一场智能机器人大赛，该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则理学院参赛名额的分配方法共有(

)

DA.20种

B.21种

C.28种

D.35种［思路点拨］

利用隔板法可得答案.

变式题

某农户用2400元的资金购买良种羊羔，共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至少买1只，则所有可能的购买方案种数为_____.

角度4

分组分配问题

360

[总结反思]分组分配问题分为三类：

变式题

[2023·广东佛山二模]

“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.某班级有五位同学从上述四所学校中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法共有(

)

CA.120种

B.180种

C.240种

D.300种

教师备用习题【备选理由】例1考查排列问题，体现创新意识及综合能力；例2考查组合问题及传统文化；例3考查相邻问题，体现整体思想的应用；例4考查定序问题，强化对有顺序与无顺序的理解；例5考查相同元素分配问题，加深对隔板法的应用；例6考查分组分配问题及分类讨论思想的应用.

50

CA.24

B.27

C.36

D.60

平行的横线与竖线构成的矩形的个数为(

)

例3

［配例3使用］

某个单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(

)

CA.504种

B.960种

C.1008种

D.1200种

ACD

例5

［配例5使用］

某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额分配到高二年级的6个班级中，若高二（1）班至少3个名额，其余5个班每班至少1个名额，则共有____种不同分法.（用数字作答）56

AA.100

B.110

C.140

D.260

作业手册◆

基础热身

◆

AA.90

B.42

C.12

D.10

123456789101112131415162.某中学从4名男生和4名女生中选出4人参加某项社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有(

)

AA.68种

B.70种

C.240种

D.280种

123456789101112131415163.[2023·湖北襄阳四中模拟]

一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有(

)

AA.120种

B.60种

C.40种

D.20种

123456789101112131415164.[2023·山东滨州模拟]

由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻四位恰好是2023的六位数的个数为(

)

BA.3

B.6

C.9

D.24

123456789101112131415165.[2023·武汉华中师大第一附中模拟]

某校选拔出甲、乙等四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法有____种.14

12345678910111213141516

34

12345678910111213141516◆

综合提升

◆

AA.10

B.20

C.30

D.40

123456789101112131415168.[2024·南京模拟]

将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3的3个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号，则不同的放法共有(

)

AA.120种

B.240种

C.360种

D.720种

123456789101112131415169.近年来喜欢养宠物猫的人越来越多.某猫舍只有5个不同的猫笼，有金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫崽），银渐层猫4只,布偶猫1只.该猫舍计划将3只金渐层猫放在一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排方法有(

)

CA.8种

B.30种

C.360种

D.1440种

12345678910111213141516

DA.72

B.84

C.88

D.10012345678910111213141516

1234567891011121314151611.（多选题）[2023·辽宁大连八中月考]

下列各式正确的是(

)

CD

12345678910111213141516

12.（多选题）将9本书分给甲、乙在内的3位同学，下列说法正确的是(

)

ABC

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151613.北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的