第54讲 圆锥曲线热点问题-第1课时 求值、最值与范围、证明问题

第八单元

解析几何第54讲圆锥曲线热点问题第1课时

求值、最值与范围、证明问题课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题1.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.2.根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题.3.根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.4.能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系.常用结论1.注意转化思想在圆锥曲线热点问题中的应用.（1）平行四边形条件的转化几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横（纵）坐标差相等对角线互相平分中点重合（2）圆条件的转化几何性质代数实现点在圆上点与直径端点向量数量积为零点在圆外点与直径端点向量数量积为正数点在圆内点与直径端点向量数量积为负数（3）角条件的转化几何性质代数实现锐角、直角、钝角角的余弦（向量数量积）的符号倍角、半角、平分角角平分线性质、定理等角（相等或相似）比例线段或斜率

探究点一

弦长问题

圆锥曲线中的弦长问题是圆锥曲线中的一类重要问题,常用的求解方法有定义法和弦长公式法.

（1）定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优化解题过程.

（2）弦长公式法:根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式进行求解.

[总结反思]

探究点二

最值（范围）问题

圆锥曲线中的最值问题类型较多，常见的最值问题类型有:求线段长度（弦长）最值、求三角形面积最值、求面积比最值、求线段长度比最值等.解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

其中常用的方法有：

（1）利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

（2）利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系.

（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式（组），从而求出参数的取值范围.

（4）利用基本不等式求出参数的取值范围.

（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围.

[总结反思]求解圆锥曲线最值（范围）的思维导图

探究点三

证明问题

圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如线段或角相等以及位置关系等.证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代数方法证明.

[总结反思]圆锥曲线中的证明问题常见的有:（1）位置关系方面:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.（2）数量关系方面:如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算进行证明,但有时也会用反证法证明.

教师备用习题【备选理由】例1考查与弦长有关的求值问题;例2、例3、例4考查圆锥曲线的范围与最值问题;例5考查三线共点的有关证明.

作业手册◆

基础热身

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综合提升

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能力拓展

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