苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.9等边三角形的轴对称性知识梳理与考点分类讲解(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.9等边三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】等边三角形定义

三边都相等的三角形叫等边三角形.【要点提示】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．【知识点二】等边三角形的性质等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.【知识点三】等边三角形的判定

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识点四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【要点提示】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用等边三角形性质求值与证明【例1】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在等边中，点D、E分别在边上，且，过点E作，交的延长线于点F．（1）求的度数；（2）若，求的长．【变式1】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边中，是边的中点，AD是边上的中线，是AD上的动点，若，则最小值．【题型2】利用等边三角形判定求值与证明【例2】（24-25八年级上·全国·假期作业）等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论．【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在中，，，则是（

）A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）的三边长为，且满足等式，则的形状是三角形．【题型3】利用含30度的直角三角形边的关系求值与证明【例3】如图，．（1）在中，______，______；（2）求证：是等边三角形．【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（

）

A． B． C． D．【变式2】（湖北省武汉市经开区2023-2024学年八年级上学期期中数学模拟试题）如图，在中，的垂直平分线交于点，若，则的长度是．【题型4】直角三角形斜边上中线等于斜边一半【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在锐角中，为边上的高，为的中点，连接，在上找到一点，使，连接，试判断与的位置关系，并说明理由．【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，AD是边上的中线，若，则的度数为．【题型5】利用等边三角形性质与判定求值与证明【例5】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，是等边三角形，点D为边延长线上一点，点E为线段上一点，连接DE，将线段DE绕点E逆时针旋转得到线段，点F恰好落线段AB上．过点E作交边AB于点G．（1）证明：；（2）若，求长．【变式1】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（

）A． B． C．或 D．或【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，为边上一点，连接、，与交于点，且，若，，则的长为.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（

）A．3 B．6 C． D．【例2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（

）

A．的垂直平分线一定与相交于点B．C．当为中点时，是等边三角形D．当为中点时，2、拓展延伸【例1】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为．【例2】（2021·山东德州·中考真题）如图，在等边三角形各边上分别截取，交延长线于点，交延长线于点，交延长线于点；直线，，两两相交得到，若，则．专题2.9等边三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】等边三角形定义

三边都相等的三角形叫等边三角形.【要点提示】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．【知识点二】等边三角形的性质等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.【知识点三】等边三角形的判定

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识点四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【要点提示】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用等边三角形性质求值与证明【例1】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在等边中，点D、E分别在边上，且，过点E作，交的延长线于点F．（1）求的度数；（2）若，求的长．【答案】(1)(2)8【分析】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）证明中的三个角均为，然后再求得；（2）先求得，然后由进行求解即可．解：（1）是等边三角形，．，，，，，，．（2），，，由（1）可知，．又，．．【变式1】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解．解：为等边三角形，，是等边三角形的中线，，，，，，，，故选：．【变式2】（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边中，是边的中点，AD是边上的中线，是AD上的动点，若，则最小值．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，由等边三角形的性质可得，，进而得到AD为的垂直平分线，即得，得到，可知当点三点共线时，的值最小，最小值即为线段的长，又由等边三角形的性质可得，由三角形的面积可得，即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键．解：连接，∵为等边三角形，AD是边上的中线，∴，，∴AD为的垂直平分线，∴，∴，∴当点三点共线时，的值最小，最小值即为线段的长，∵点为的中点，∴，∵，，∴，∴最小值为，故答案为：．【题型2】利用等边三角形判定求值与证明【例2】（24-25八年级上·全国·假期作业）等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论．【答案】是等边三角形，见解析【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，先证，得，再证，从而得出是等边三角形．解：是等边三角形．证明：∵为等边三角形，∴．在与中，∵，∴，∴．∵，∴，∴是等边三角形．【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在中，，，则是（

）A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的三个内角的和等于；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．根据三角形内角和定理求出和的度数，判断的形状即可．解：∵，，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形，故选：D．【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）的三边长为，且满足等式，则的形状是三角形．【答案】等边【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定，根据完全平方公式变形得出，求出，进而可得出答案．解：根据题意得：，∴，整理为，∴，∴三角形为等边三角形．故答案为：等边．【题型3】利用含30度的直角三角形边的关系求值与证明【例3】如图，．（1）在中，______，______；（2）求证：是等边三角形．【答案】(1)，2(2)见解析【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定：（1）等边对等角，求出的度数，根据含30度角的直角三角形的性质，得到即可；（2）根据3个角都是60度的三角形是等边三角形，即可得出结论．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：，2；（2）由（1）知：，∴，∴是等边三角形．【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键．根据题意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性质即可求出CD长．解：∵，，∴．∵，，∴，∴，∴，在中，，，．∴．故选：B．【变式2】（湖北省武汉市经开区2023-2024学年八年级上学期期中数学模拟试题）如图，在中，的垂直平分线交于点，若，则的长度是．【答案】4.5【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明是的角平分线，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到，由此即可得解．解：如图所示，连接，是的垂直平分线，，，，，，.是的角平分线，又，.在中，，，，，．故答案为：．【题型4】直角三角形斜边上中线等于斜边一半【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在锐角中，为边上的高，为的中点，连接，在上找到一点，使，连接，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】BN⊥AC，理由见解析【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后求出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理解答．解：．为边上的高，为的中点，，，，∴，，∴，．【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，求出，从而求出，即可得出结果．解：连接BD，如图所示：

等腰直角三角形中，为边上中点，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，则，∴，故选：B．【变式2】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，AD是边上的中线，若，则的度数为．【答案】130【分析】根据直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．解：在中，，是边上的中线，，，，，．故答案为：．【题型5】利用等边三角形性质与判定求值与证明【例5】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，是等边三角形，点D为边延长线上一点，点E为线段上一点，连接DE，将线段DE绕点E逆时针旋转得到线段，点F恰好落线段AB上．过点E作交边AB于点G．（1）证明：；（2）若，求长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到，进而得到，然后证明即可得到结论；（2）由（1）知，可得，得到为等边三角形即可解题．解：（1）证明：∵为等边三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；（2）由（1）知，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【变式1】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．当是锐角三角形时，然后证明出，得到，证明出是等边三角形，得到，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可，当钝角三角形时，同理求解即可．解：如图①：是等腰三角形，，，延长使，∵，∴，又∵，∴∴∵，∴∴是等边三角形∴∵∴∵∴；如图②：是等腰三角形，，，延长使，同理可得，是等边三角形∴∴∵∴综上所述，这个三角形的底角为或．故选：D．【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，为边上一点，连接、，与交于点，且，若，，则的长为.【答案】6【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及等角对等边，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键．由，得出垂直平分，是等边三角形，可连接交于点，确定是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可得出结果．解：如图，连接交于点，∵，，，∴垂直平分，是等边三角形，∴，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】A【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．解：∵在中，，D是的中点，∴，∵，∴等边三角形，∴．故选：A．【例2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（

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A．的垂直平分线一定与相交于点B．C．当为中点时，是等边三角形D．当为中点时，【答案】D【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．解：连接，如图1所示：

，点是的中点，为斜边上的中线，，，，点在线段的垂直平分线上，即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；设，，，，，，，即，故选B正确，不符合题意；当为中点时，则，，是线段的垂直平分线，，，，，，，是等边三角形，故选C正确，不符合题意；连接，并延长交于，如图2所示：

当为中点时，点为的中点，根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，当为中点时，是等边三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，，故选项D不正确，符合题意．故选：D．【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．2、拓展延伸【例1】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，