苏教版2024-2025学年六年级数学上册夯实提炼第一单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】(原卷版+解析)

苏教版2024-2025学年六年级数学上册夯实提炼第一单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】知识点一：长方体和正方体的认识

1.长方体的特征。长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。

2.长方体的长、宽、高的含义。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。知识点二：长方体和正方体的展开图1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。

2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。3.一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。

（2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。知识点三：长方体、正方体的表面积计算1.意义。长方体（或正方体）6个面的总面积。

2.计算方法。（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。

（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。知识点四：体积与体积单位1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。

2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。

计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。

1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升知识点五：长方体和正方体的体积1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。

4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。5.体积单位常用到，相邻进率是1000。立方分米立方米，它们进率是1000。

立方分米立方厘米，它们进率是1000。

【第一部分】基本知识与基本应用【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。1．下图的长方体共有()个面、()个顶点、()条棱；长方体中和b平行的棱有()条。2．长方体是由()个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由()个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都()的长方体。【高频考题02】长方体和正方体棱长及棱长和与生活实际应用。1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。）3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？【高频考题04】长方体和正方体体积（容积）的实际应用。1．一辆汽车，油箱长5dm、宽4dm、高3dm。如果每升汽油可行驶10千米，这一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。2．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解）3．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？【高频考题05】体积、容积单位的选择与换算。1．在括号里填上适当的体积或容积单位。一辆公交车的体积约是50()

一瓶墨水约60()一块橡皮的体积约是6()

小轿车油箱的容积约45()2．在括号里填上合适的数或单位名称。一瓶矿泉水的体积约500()一间教室的空间约200()450dm2＝()m24.05L＝()L()mL3．在括号里填上合适的数。3290cm2＝()dm2

409L＝()mL＝()m37508dm3＝()m3()dm3

0.09m3＝()L＝()mL【第二部分】综合应用与解决问题【高频考题01】折叠问题。1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？2．一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计）【高频考题02】表面积增减变化问题。1．把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计）3．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。【高频考题03】等积变形问题。1．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计）2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？【高频考题04】排水法求不规则物体的体积问题。1．妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？【高频考题05】不规则或组合立体图形的体积问题。1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米）一、填空题。1．（2022上·甘肃平凉·期末）一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是()；一个足球放在桌子上从左面看到的是()。2．（2024上·河南周口·期末）科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约6升水，即()毫升水，相当于()瓶500毫升装的纯净水。3．（2023下·河南郑州·期末）用小棒摆搭长方体。聪聪：我用4根1.5cm，4根2.8cm，4根2cm的小棒搭成一个长方体。乐乐：我用8根2cm，4根6cm的小棒搭成一个长方体。天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。聪聪搭成的长方体是()；乐乐搭成的长方体是()。（在括号里填上图形的编号）4．（2023上·湖南郴州·期末）用铁丝做一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架，至少需要()dm长的铁丝。5．（2023上·山东日照·期末）把一个棱长和是32dm的长方体包装盒，从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是()。6．（2023上·河南洛阳·期末）灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条()厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸()平方厘米。7．（2023上·四川绵阳·期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时，量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是()立方厘米。二、判断题。8．（2020上·黑龙江·期末）一瓶墨水有100毫升。()9．（2023上·山东日照·期末）在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法。()10．（2022上·广西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。()11．（2023上·河南洛阳·期中）表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。()三、选择题。12．（2024上·山东济宁·期末）下面的图形中，折叠后不能围成正方体的是()。A． B． C．13．（2023上·河南周口·期末）把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是()平方厘米。A．300 B．275 C．25014．（2021上·河北邯郸·期末）一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装()罐。A．12 B．16 C．2015．（2020下·河南洛阳·期末）一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面说法完全正确的是()。A．体积减少，表面积也减少B．体积减少，表面积增加C．体积减少，表面积不变四、计算题。16．（2022下·广东云浮·期末）求左图的表面积和右图的体积。（单位：cm）

17．（2023·全国·期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm）五、解答题。18．（2023下·河南信阳·期末）母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？

19．（2021下·福建莆田·期末）一间长方体教室长8米，宽6米，高4米，门窗面积是22平方米。现在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料250克，共需涂料多少千克？20．（2023下·浙江绍兴·期末）有一块长方形铁皮（下图），从四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形，然后做成一个盒子，这个盒子的长、宽、高各是多少？容积是多少？21．（2023下·浙江温州·期末）涛涛为了测量一块石头的体积，做了以下的实验。①准备一个无盖的长方体玻璃容器。②测量出这个容器长20厘米，宽8厘米，高15厘米（玻璃厚度忽略不计）。③在容器内注入800毫升的水。④将石头完全浸没在水中（水未溢出），此时量出水面高度是8厘米。（1）制作这个无盖长方体玻璃容器至少需要多少平方分米的玻璃？（2）这块石头的体积是多少立方厘米？22．（2022下·浙江杭州·期末）有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？

23．（2022下·浙江杭州·期末）有一个长方体，如果把长减少2厘米（宽和高不变），那么就得到一个表面积是平方厘米的正方体。求原来长方体的体积。苏教版2024-2025学年六年级数学上册夯实提炼第一单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】知识点一：长方体和正方体的认识

1.长方体的特征。长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。

2.长方体的长、宽、高的含义。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。知识点二：长方体和正方体的展开图1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。

2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。3.一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。

（2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。知识点三：长方体、正方体的表面积计算1.意义。长方体（或正方体）6个面的总面积。

2.计算方法。（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。

（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。知识点四：体积与体积单位1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。

2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。

计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。

1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升知识点五：长方体和正方体的体积1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。

4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。5.体积单位常用到，相邻进率是1000。立方分米立方米，它们进率是1000。

立方分米立方厘米，它们进率是1000。

【第一部分】基本知识与基本应用【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。1．下图的长方体共有()个面、()个顶点、()条棱；长方体中和b平行的棱有()条。【答案】68123【分析】根据长方体的特征，填空即可。【详解】长方体共有6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形对边平行且相等可知，长方体中4条宽互相平行，则与b平行的棱有3条。【点睛】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。2．长方体是由()个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由()个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都()的长方体。【答案】66相等【详解】长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都相等的长方体。【高频考题02】长方体和正方体棱长及棱长和与生活实际应用。1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？【答案】100厘米【分析】捆扎的彩带包括2条长，2条宽，4条高和接头，用长×2＋宽×2＋高×4＋接头＝彩带长度，列式解答即可。【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18＝30＋20＋32＋18＝50＋32＋18＝82＋18＝100（厘米）答：至少需要100厘米的彩带。【点睛】本题考查长方体的总棱长，明确彩带的组成是解题的关键。2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？【答案】3.5米【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方体的棱长为40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装带，然后把单位换算成米，据此解答。【详解】40×8＋30＝320＋30＝350（厘米）350厘米＝3.5米答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包含了几条棱长。3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？【答案】4.2米【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以12，即可求出正方体的棱长。【详解】（5.2＋4＋3.4）×4＝12.6×4＝50.4（米）50.4÷12＝4.2（米）答：正方体的棱长是4.2米。【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。【答案】0.15×2.5×4×30【分析】根据题意，结合长方形的面积公式：长×宽可知，用0.15乘上2.5再乘上4，即为一节排水管的面积，再用求出的结果乘上30，即可求出答案。【详解】0.15×2.5×4×30＝0.375×4×30＝1.5×30＝45（平方米）答：做30节这样的排水管至少需要45平方米铁皮。2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。）【答案】45平方分米【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。正常情况正方体有6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求5个面的面积和，根据求正方体表面积方法求解即可。【详解】3×3×5＝9×5＝45（平方分米）答：制作这个鱼缸至少需要45平方分米的玻璃。3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？【答案】2100元【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体的4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就是粉刷这个教室需要花费的钱数。【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28＝（25＋30＋30－10）×28＝75×28＝2100（元）答：一共需要2100元。【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。【高频考题04】长方体和正方体体积（容积）的实际应用。1．一辆汽车，油箱长5dm、宽4dm、高3dm。如果每升汽油可行驶10千米，这一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。【答案】5×4×3×10【分析】根据题意，结合长方形的体积公式：长×宽×高，求出油箱的体积，因为1立方分米等于1升，所以即为求出油箱可装多少升油，再用求出的结果乘上10，即可求出答案。【详解】5×4×3＝20×3＝60（立方分米）60立方分米＝60升60×10＝600（千米）答：这一箱汽油可使汽车行驶600千米。2．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解）【答案】0.14米【分析】可以把所铺的道路形状看作是一个长为25米，宽为3米，高（厚）未知的长方体，根据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方体的高即道路的厚度。【详解】解：设可以铺x米。3×25x＝10.575x＝10.575x÷75＝10.5÷75x＝0.14答：可以铺0.14米厚。【点睛】本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及根据等量关系列方程解决问题。3．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？【答案】583.2千克【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。【详解】6×6×6×2.7＝36×6×2.7＝216×2.7＝583.2（千克）答：这块石料的质量是583.2千克。【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。【高频考题05】体积、容积单位的选择与换算。1．在括号里填上适当的体积或容积单位。一辆公交车的体积约是50()

一瓶墨水约60()一块橡皮的体积约是6()

小轿车油箱的容积约45()【答案】立方米/m3毫升/mL立方厘米/cm3升#L【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。【详解】一辆公交车的体积约是50立方米；一瓶墨水约60毫升；一块橡皮的体积约是6立方厘米；小轿车油箱的容积约45升。【点睛】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。2．在括号里填上合适的数或单位名称。一瓶矿泉水的体积约500()一间教室的空间约200()450dm2＝()m24.05L＝()L()mL【答案】毫升/mL立方米/cm34.5450【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。【详解】一瓶矿泉水的体积约500毫升；一间教室的空间约200立方米；450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL。【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。3．在括号里填上合适的数。3290cm2＝()dm2

409L＝()mL＝()m37508dm3＝()m3()dm3

0.09m3＝()L＝()mL【答案】32.94090000.40975089090000【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1dm2＝100cm2，用3290÷100即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1L＝1000mL，用409×1000即可，根据1m3＝1000L，则用409÷1000即可；根据1m3＝1000dm3，把7508拆成7000＋508，然后用7000÷1000即可；根据1m3＝1000L，则0.09×1000即可，根据1m3＝1000000mL，用0.09×1000000即可。【详解】3290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m37508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm30.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。【第二部分】综合应用与解决问题【高频考题01】折叠问题。1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？【答案】300立方厘米【分析】由题意可知：这个无盖铁盒的长、宽都是16－3×2＝10（厘米），高是3厘米。长方体的容积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入长方体容积计算公式计算即可。【详解】（16－3×2）×（16－3×2）×3＝（16－6）×（16－6）×3＝10×10×3＝100×3＝300（立方厘米）答：这个铁盒的容积是300立方厘米。【点睛】用长方形铁皮或正方形铁皮制成盒子（四个角上分别去掉一个相同的小正方形），盒子的长和宽要在铁皮的长和宽中去掉两个小正方形的边长，盒子的高是去掉的小正方形的边长。2．一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计）【答案】3L【详解】40-5×2=30（cm）30-5×2=20（cm）30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L【高频考题02】表面积增减变化问题。1．把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？【答案】48立方分米【分析】根据题意，把长方体木材锯成两段后，表面积比原来增加了2个横截面的面积，先用增加的表面积除以2，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积。【详解】0.8÷2＝0.4（平方分米）0.4×120＝48（立方分米）答：这根木材原来的体积是48立方分米。【点睛】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计）【答案】把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小；2280平方厘米【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这4个长方体盒子的最大面，即（20×15）这个面摞在一起，拼成一个长20厘米、宽15厘米、高（6×4）厘米的长方体最省纸，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。【详解】由分析得：把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。（20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2＝（300＋480＋360）×2＝1140×2＝2280（平方厘米）答：把这四个长方体盒子的20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至少需要2280平方厘米的包装纸。【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。3．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。【答案】343立方厘米【分析】由题意可知：将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝56÷4÷2＝7厘米；所以正方体的体积＝7×7×7＝343立方厘米；据此解答。【详解】56÷4÷2＝7（厘米）7×7×7＝49×7＝343（立方厘米）答：原来正方体的体积是343立方厘米。【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。【高频考题03】等积变形问题。1．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计）【答案】50厘米【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。【详解】4.5分米＝45厘米1.2分米＝12厘米30×30×30÷（45×12）＝27000÷540＝50（厘米）答：这个长方体铁块的长是50厘米。【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？【答案】14厘米【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用35×22×8即可求出水的体积，如果把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为22厘米，宽变为20厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。【详解】35×22×8＝6160（立方厘米）6160÷22÷20＝14（厘米）答：水面的高是14厘米。【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。【高频考题04】排水法求不规则物体的体积问题。1．妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？【答案】2000立方厘米【分析】水面上升的那部分水的体积就是乌龟的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出水面上升的那部分水的体积，即乌龟的体积。【详解】5分米＝50厘米4分米＝40厘米50×40×1＝2000×1＝2000（立方厘米）答：这只乌龟的体积是2000立方厘米。【点睛】此题考查了用排水法求不规则物体的体积的方法。向盛水的容器中放入物体，且物体完全浸入水中（水未溢出），放入物体的体积等于容器中升高的那部分水的体积。2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？【答案】6.4升【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是8分米、6分米、4分米，水深2.8分米，现在投入一块正方体铁块，铁块的棱长为4分米，缸里的水溢出来了；正方体的棱长与长方体的高相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正方体铁块的体积为4×4×4，长方体空余部分体积为8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列式为：4×4×4－8×6×（4－2.8）。【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8）＝64－48×1.2＝64－57.6＝6.4（立方分米）＝6.4升答：缸里的水溢出6.4升。【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。【高频考题05】不规则或组合立体图形的体积问题。1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。【答案】表面积：1712平方厘米；体积：4320立方厘米【分析】图中的几何体可以看成是从长、宽、高分别为20厘米、20厘米、12厘米的长方体上面切下一个长、宽、高分别为20厘米、6厘米、4厘米的小长方体，算表面积可以用平移的方法求解，最终相当于是原长方体的表面积减去两个的面，求体积直接用大长方体体积减去小长方体体积即可。【详解】（厘米）表面积：（平方厘米）体积：（立方厘米）2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米）【答案】体积为875立方厘米；表面积为700平方厘米。【分析】题干中图形是由一个棱长10厘米的正方体挖去一个棱长为5厘米的正方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正方体积可得出体积。表面积增加了小正方体4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。【详解】图形体积为：（立方厘米）图形表面积为：（平方厘米）一、填空题。1．（2022上·甘肃平凉·期末）一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是()；一个足球放在桌子上从左面看到的是()。【答案】正方形圆【分析】因为正方体的六个面都是正方形，所以从正面、上面、左面看到的都是正方形；一个足球是球形所以无论从哪个方向看都是一个圆。据此填空即可。【详解】由分析可知：一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是正方形；一个足球放在桌子上从左面看到的是圆。【点睛】本题考查从不同方向观察物体，明确正方体和球形的特点是解题的关键。2．（2024上·河南周口·期末）科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约6升水，即()毫升水，相当于()瓶500毫升装的纯净水。【答案】600012【分析】1升＝1000毫升，据此将6升换算成毫升。用水的总容量除以每瓶纯净水的容量，求出瓶数。【详解】6升＝6000毫升6000÷500＝12（瓶）科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约6升水，即6000毫升水，相当于12瓶500毫升装的纯净水。3．（2023下·河南郑州·期末）用小棒摆搭长方体。聪聪：我用4根1.5cm，4根2.8cm，4根2cm的小棒搭成一个长方体。乐乐：我用8根2cm，4根6cm的小棒搭成一个长方体。天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。聪聪搭成的长方体是()；乐乐搭成的长方体是()。（在括号里填上图形的编号）【答案】①③【分析】聪聪搭的长方体的长宽高各不相同；乐乐搭的长方体有相邻的两边长度相等；天天搭的长方体十二条边长度都相等，据此解答。【详解】聪聪搭的长方体的长宽高各不相同是①；乐乐搭的长方体有相邻的两边长度相等即长方体的两个相对面是正方形是③；天天搭的长方体十二条边长度都相等也就是正方体是②。因此，聪聪搭成的长方体是①；乐乐搭成的长方体是③。4．（2023上·湖南郴州·期末）用铁丝做一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架，至少需要()dm长的铁丝。【答案】6【分析】根据题意，用铁丝做一个长方体框架，求铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，以及进率：1dm＝10cm，代入数据计算，即可求解。【详解】（7＋5＋3）×4＝15×4＝60（cm）60cm＝6dm至少需要6dm长的铁丝。【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的运用，明白求铁丝的长度就是求长方体的棱长总和是解题的关键。5．（2023上·山东日照·期末）把一个棱长和是32dm的长方体包装盒，从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是()。【答案】40dm2/40平方分米【分析】根据从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子，即长方体的四个长棱，八个短棱，一个长棱等于两个短棱，所以有4×2＋8个短棱，设短棱长为x，列式求出一个短棱的长度，再根据正方形的面积＝边长×边长，把几个面相加即可解答。【详解】解：设短棱长为x，16x＝3216x÷16＝32÷16x＝2侧面积是：2×4×4＝8×4＝32（dm2）底面积是：2×2＝4（dm2）32＋4＋4＝36＋4＝40（dm2）这个长方体包装盒的表面积是40dm2。6．（2023上·河南洛阳·期末）灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条()厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸()平方厘米。【答案】96384【分析】正方体棱长和＝棱长×12，据此列式求出需要木条多少厘米；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出需要彩纸多少平方厘米。【详解】8×12＝96（厘米）8×8×6＝384（平方厘米）所以，需要木条96厘米；需要彩纸384平方厘米。7．（2023上·四川绵阳·期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时，量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是()立方厘米。【答案】800【分析】长方体容器中水的形状可以看作是长方体，长方体的体积＝长×宽×高，据此把容器的长、宽和水深相乘，即可求出水和这个苹果的体积之和，再减去水的体积，即可求出这个苹果的体积。【详解】20×20×17＝6800（立方厘米）6升＝6000立方厘米6800－6000＝800（立方厘米）则这个苹果的体积是800立方厘米。二、判断题。8．（2020上·黑龙江·期末）一瓶墨水有100毫升。()【答案】√【分析】计量液体的体积常用容积单位升和毫升，通常较多液体的体积用升，较少液体的体积用毫升。一瓶墨水的体积是100毫升比较合适。【详解】根据分析可知：一瓶墨水有100毫升。原题说法正确。故答案为：√9．（2023上·山东日照·期末）在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法。()【答案】√【分析】长方形所含面积单位的数量，就是长方形的面积，长方形所含面积单位的数量等于长和宽的乘积，所以长方形的面积＝长×宽；长方体所含体积单位的数量，就是长方体的体积，长方体所含体积单位的数量等于长、宽、高的乘积，所以长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。【详解】由分析可得：在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法，所以原题说法正确。故答案为：√10．（2022上·广西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。()【答案】√【分析】根据题意，0.1的立方，表示3个0.1相乘，据此判断。【详解】0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。原题计算正确。故答案为：√【点睛】本题考查一个数的立方的意义及计算。11．（2023上·河南洛阳·期中）表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。()【答案】×【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值根据公式求值决定的。假设其中一个长方体的长5厘米、宽1厘米、高1厘米，另一个长方体的长3厘米，宽2厘米，高1厘米，根据长方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。【详解】长5厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体的表面积是：（5×1＋5×1＋1×1）×2＝（5＋5＋1）×2＝11×2＝22（平方厘米）长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体的表面积是：（3×2＋3×1＋2×1）×2＝（6＋3＋2）×2＝11×2＝22（平方厘米）所以两个长方体的表面积相等，它们的长、宽、高也不一定相等。原题干说法错误。故答案为：×三、选择题。12．（2024上·山东济宁·期末）下面的图形中，折叠后不能围成正方体的是()。A． B． C．【答案】A【分析】正方体展开图是由6个相同的正方形组成的，根据正方体展开图的特征解答即可。【详解】下图是正方体的展开图，共有11种。A.不属于正方体展开图的形式，不能围成正方体；B.属于正方体展开图的“1−3−2”型，所以能围成正方体；C.属于正方体展开图的“2−2−2”型，所以能围成正方体。故答案为：A13．（2023上·河南周口·期末）把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是()平方厘米。A．300 B．275 C．250【答案】C【分析】把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，则长方体的长为5×2＝10厘米，宽和高均为5厘米；将数据代入长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2计算即可。【详解】拼成的长方体的长为5×2＝10厘米，宽和高均为5厘米。（10×5＋10×5＋5×5）×2＝（50＋50＋25）×2＝125×2＝250（平方厘米）把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是250平方厘米。故答案为：C14．（2021上·河北邯郸·期末）一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装()罐。A．12 B．16 C．20【答案】B【分析】先分别用长和宽除以直径求出长边装的罐数和宽边装的罐数，再用长方体的高除以饮料罐的高求出饮料罐的层数，再将三者个数相乘算出结果。【详解】28÷7＝4（罐）14÷7＝2（罐）24÷12＝2（层）4×2×2＝8×2＝16（罐）则最多能装16罐。故答案为：B15．（2020下·河南洛阳·期末）一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面说法完全正确的是()。A．体积减少，表面积也减少B．体积减少，表面积增加C．体积减少，表面积不变【答案】C【分析】根据长方体的体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积减少了，据此解答即可。【详解】由分析可知：一个长方体被挖掉一小块正方体，则此时体积减少，表面积不变。故答案为：C四、计算题。16．（2022下·广东云浮·期末）求左图的表面积和右图的体积。（单位：cm）

【答案】1932cm2；512cm3【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入到长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，计算出长方体的表面积。把正方体的棱长的数据代入正方体的体积公式：V＝a×a×a中，计算出正方体的体积。【详解】（25×18＋25×12＋18×12）×2＝（450＋300＋216）×2＝966×2＝1932（cm2）8×8×8＝512（cm3）即长方体的表面积是1932cm2，正方体的体积是512cm3。17．（2023·全国·期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm）【答案】表面积：150cm2；体积：109cm3【分析】（1）通过平移的方法，将凹进去的面向外平移，图形可以填补为：棱长为5cm的正方体，根据公式：正方体的表面积＝6a2，代入数据计算即可；（2）图形的体积＝正方体的体积－小长方体的体积，正方体的体积＝a3，长方体的体积＝abh；将数据代入公式计算即可。【详解】表面积：5×5×6＝25×6＝150（cm2）体积：5×5×5－4×2×2＝25×5－8×2＝125－16＝109（cm3）五、解答题。18．（2023下·河南信阳·期末）母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？

【答案】340厘米【分析】观察图片可知，丝带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋打结处，据此解答即可。【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20＝120＋80＋120＋20＝340（厘米）答：捆扎这个礼品盒一共需要340厘米丝带。【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。19．（2021下·福建莆田·期末）一间长方体教室长8米，宽6米，高4米，门窗面积是22平方米。现在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料250克，共需涂料多少千克？【答案】34.5千克【分析】由题意可知，要粉刷的面积就是长方体五个面的面积减去门窗的