苏科版2024-2025学年度八年级（上）单元提优训练第2章轴对称图形含答案

第1页（共1页）苏科版2024-2025学年度八年级（上）单元提优训练第2章轴对称图形一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）下列图案中，轴对称图形是（）A． B． C． D．2．（3分）在△ABC中，∠B，∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．（3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．① B．② C．⑤ D．⑥4．（3分）如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③5．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数等于（）A．100° B．115° C．130° D．140°6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）A．BF＝EF B．DE＝EF C．∠EFC＝45° D．∠BEF＝∠CBE7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点D，交BC于点E，∠B＝∠BAE，若BC＝5，AC＝3，则AD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.58．（3分）张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确 B．两人的作法都不正确 C．张萌的作法正确，小平的作法不正确 D．两人的作法都正确二、填空题（每题2分，共20分）9．（2分）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有个．10．（2分）一个等腰三角形周长是16，其中一边长是6，则另外两条边长分别是．11．（2分）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．12．（2分）如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．则△DEF的形状是．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为．15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠1＝∠2，DE⊥BC于点E，若BC＝a，则△DEC的周长是．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE＝BP，CP＝CF，则∠EPF＝度．17．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．18．（2分）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为．三、解答题（共76分）19．（6分）以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形．20．（8分）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM＝PN，∠AOB＝68°，求∠MPN的度数．21．（8分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD．求证：AD＝CE．22．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．24．（12分）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．25．（10分）如图，∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论．26．（12分）（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰三角形ACM和等腰三角形CBN，且∠ACM＝∠BCN≠60°”，其他条件不变，如图2所示，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）下列图案中，轴对称图形是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．2．（3分）在△ABC中，∠B，∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【分析】先根据角平分线的性质判断出AD是△ABC的角平分线，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，从而证明△ABC一定是等腰三角形．【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC，∴△ABC一定是等腰三角形．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．3．（3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．① B．② C．⑤ D．⑥【分析】入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．【解答】解：如图，求最后落入①球洞；故选：A．【点评】本题主要考查了生活中的轴对称现象；结合轴对称的知识画出图形是解答本题的关键．4．（3分）如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可．【解答】解：∵点P到AE，AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；∵点P到AE，BC的距离相等，∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；∵点P到AD，BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，故选：A．【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．5．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数等于（）A．100° B．115° C．130° D．140°【分析】由已知条件根据三角形的内角和定理和等边对等角的性质，求得∠ABC＝∠ACB＝65°，再根据∠PBC＝∠PCA和三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°．∵∠PBC＝∠PCA，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠PCA+∠PCB）＝180°﹣∠ACB＝115°．故选：B．【点评】此题综合考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．对相等的角进行等量代换转化为一个角是解答本题的关键．6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）A．BF＝EF B．DE＝EF C．∠EFC＝45° D．∠BEF＝∠CBE【分析】根据等腰三角形的三线合一得到BF＝FC，根据直角三角形的性质判断A；根据直角三角形的性质判断B；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断C，根据直角三角形的性质判断D．【解答】解：∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝BF，A不合题意；∵DE＝AB，EF＝BC，不能证明DE＝EF，B符合题意；∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，又BE⊥AC，∴∠BAC＝45°，∴∠C＝67.5°，又FE＝FC，∴∠EFC＝45°，C不合题意；∵FE＝FB，∴∠BEF＝∠CBE；故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点D，交BC于点E，∠B＝∠BAE，若BC＝5，AC＝3，则AD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】由已知条件判定△AEC的等腰三角形，且AC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求AD＝AE＝BE＝（BC﹣CE）．【解答】解：∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，∴AC＝CE．又∵∠B＝∠BAE，∴AE＝BE．∴AD＝AE＝BE＝（BC﹣AC）．∵BC＝5，AC＝3，∴AD＝（5﹣3）＝1．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．8．（3分）张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确 B．两人的作法都不正确 C．张萌的作法正确，小平的作法不正确 D．两人的作法都正确【分析】在图1中，由BM＝2BF推出∠BMF＝30°，所以∠MBF＝60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC∵AE＝ED＝BF＝FC，AB＝BM，∴BM＝2BF，∵∠MFB＝90°，∴∠BMF＝30°，∴∠MBF＝90°﹣∠BMF＝60°，∵MB＝MC，∴△MBC是等边三角形，∴张萌的作法正确．在图2中，∵BM＝BC＝2BF，∠MFB＝90°，∴∠BMF＝30°，∴∠MBF＝90°﹣∠BMF＝60°，∵MB＝MC∴△MBC是等边三角形，∴小平的作法正确．故选：D．【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．二、填空题（每题2分，共20分）9．（2分）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个．【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．故答案为8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．10．（2分）一个等腰三角形周长是16，其中一边长是6，则另外两条边长分别是4，6或者5，5．【分析】要确定等腰三角形的另外两边长，可根据已知的边的长，结合周长公式求解，由于长为6的边已知没有明确是腰还是底边，要分类进行讨论．【解答】解：∵等腰三角形的周长为16，∴当6为腰时，它的底长＝16﹣6﹣6＝4，4+4＞6，能构成等腰三角形；当6为底时，它的腰长＝（16﹣6）÷2＝5，5+5＞6能构成等腰三角形，即它的另外两边长分别为4，6或者5，5．故答案为：4，6或者5，5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；注意养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．11．（2分）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是50°或80°．【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°＝80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2＝50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°＝80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．12．（2分）如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．则△DEF的形状是等边三角形．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE，∴AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，∴在△ADF与△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS）．同理证得△ADF≌△CFE（SAS），∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一个等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解题关键．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为72°．【分析】由AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，根据三角形内角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度．【解答】解：∵AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∴∠B＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∠DCB＝36°．∴∠BDC＝72°．故答案为：72°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题根据三角形内角和等于180度，在△CDB中从而求得∠BDC的角度．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为7．【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，从而得出∠E＝∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E＝∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．【解答】证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF＝2，BF＝3，∴CA＝AB＝5，AE＝2，∴CE＝7．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E＝∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠1＝∠2，DE⊥BC于点E，若BC＝a，则△DEC的周长是a．【分析】由已知条件易得△ABD≌△EBD，结合其它已知得到BE＝AC，而AC＝DE+DC于是得到△DEC的周长等于BC的长．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠BED＝90°，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴BE＝AB＝AC，又∠A＝90°，∠1＝∠2，DE⊥BC，∴AD＝DE，则△DEC的周长＝DE+CD+CE＝AD+CD+CE＝AC+CE＝BE+CE＝BC＝a．故填a．【点评】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质以及三角形全等的判定．对线段进行有效的等量代换，把要求的周长转化为BC的长度是解答本题的关键．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE＝BP，CP＝CF，则∠EPF＝50度．【分析】根据在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，利用三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝50°，再利用BE＝BP，求出∠EPB，然后即可求得∠EPF，同理，可求出∠FPC，即可解题．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，∴∠B＝∠C＝50°，∵BE＝BP，∴∠BEP＝∠EPB＝65°，同理，∠FPC＝65°，∠EPF＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．17．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108度．【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，根据全等三角形的性质可得OB＝OC，根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．故答案为：108．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．18．（2分）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为4．【分析】根据BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，和EF∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出BE＝DE，DF＝FC．然后即可得出答案．【解答】解：如图，连接AD，∵在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，∠FCD＝∠DCB＝∠FDC，∴BE＝DE，DF＝FC，∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∵EF∥BC，∴AD⊥EF，∴AE＝2ED，AF＝2DF，∵AB＝AC＝6，∴BE+AE＝6，AF+CF＝6，∴BE＝CF＝2，∴DE＝DF＝2，∴EF＝DE+DF＝4故答案为：4【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证BE＝DE，DF＝FC．三、解答题（共76分）19．（6分）以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形．【分析】从各点分别向直线引垂线并延长相同长度找到对应点，顺次连接即可．【解答】解；如图所示：．【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义．作轴对称变换找对应点是关键．20．（8分）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM＝PN，∠AOB＝68°，求∠MPN的度数．【分析】根据四边形的内角和可以得出∠DPE的值，通过证明△PDM≌△PEN就可以得出∠DPM＝∠EPN就可以得出结论．【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．∠PDO＝∠PEO＝∠PEN＝90°．∵∠PDO+∠PEO+∠DPE+∠AOE＝360°，∠AOB＝68°，∴∠DPE＝112°．在Rt△PDM和Rt△PEN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PEN（HL），∴∠DPM＝∠EPN．∴∠DPM+MPE＝∠EPN+∠MPE，∴∠DPE＝∠EPN＝112°．答：∠MPN的度数为112°．【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，四边形的内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．21．（8分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD．求证：AD＝CE．【分析】作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD＝CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD＝GD，即可得出结论．【解答】证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：则∠DGF＝∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD＝CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝GD，∴AD＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．22．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．【分析】先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF＝CD，然后又D为BC中点，根据中点定义得到CD＝BD，等量代换得到BF＝BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．【解答】证明：连接DF，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCE＝∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD＝∠CBF＝90°，∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．∴△BFD为等腰直角三角形．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°．∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°．∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF．【点评】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE＝∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∠BCE+∠B＝90°，∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∴AF＝2CD．【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．24．（12分）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．25．（10分）如图，∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC＝∠DC0，所以OD＝CD＝DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM＝ON，即可判断出OD＝DM+ON，据此解答即可．（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝ON﹣DM．由（1），可得OD＝DC＝CM﹣DM，再根据CM＝ON，推得OD＝ON﹣DM即可．【解答】解：（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝DM+ON．证明：如图1，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠C0B，又∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠C0B，∴∠DOC＝∠DC0，∴OD＝CD＝