黑龙江省大庆四中2024-2025学年高二数学下学期第二次检测试题理含解析

PAGE18-黑龙江省大庆四中2024-2025学年高二数学下学期其次次检测试题理（含解析）一、选择题1.复数,则对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象跟 D.第四象限【答案】D【解析】【详解】由复数，得，又有复数与复平面上的点一一对应，所以复数对应的点在第四象限.考点：复数的运算及几何意义.2.已知两组数据的对应关系如下表所示，若依据表中的数据得出关于的线性回来方程为，则表中的值为（）2456830385072A.50 B.55 C.56.5 D.60【答案】D【解析】由表中数据，计算，回来直线方程过样本中心，，解得，故选D.3.某班有50名学生,一次考试后数学成果ξ~N(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班学生数学成果在120分以上的人数为()A.10 B.9 C.8 D.7【答案】C【解析】【分析】依据考试的成果ξ听从正态分布N（110，102）．得到考试的成果ξ关于ξ=110对称，依据P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，依据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【详解】∵考试的成果ξ听从正态分布N（110，102）．∴考试的成果ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成果在120分以上的人数为0.16×50=8．故选C．【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成果ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．4.对两个变量进行回来分析，得到一组样本数据：，则下列说法中不正确的是（）A.由样本数据得到的回来方程必过样本中心B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数来刻画回来效果，越小，说明模型拟合效果越好D.若变量之间相关系数为，则变量之间具有线性相关关系【答案】C【解析】解：样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，R2越大拟合效果越好，故C不正确，当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，故选C5.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和微小值，则实数a的取值范围是（）A.－1＜a＜2 B.－3＜a＜6 C.a＜－3或a＞6 D.a＜－1或a＞2【答案】C【解析】【分析】易得有两个不相等的实数根,再依据二次函数的判别式求解即可.【详解】由题有两个不相等实数根,故,解得或.故选：C【点睛】本题主要考查了依据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.6.等于()A. B.2 C.-2 D.+2【答案】D【解析】∵.故选D7.一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必需站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为()．A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】两名女生站一起有种站法，她们与两个男生站一起共有种站法，老师站在他们的中间有＝24种站法，故应选D.8.若，则等于（）A.2 B.0 C.-2 D.-4【答案】D【解析】【分析】先求导，算出，然后即可求出【详解】因为，所以所以，得所以，所以故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简洁.9.现要制作一个圆锥形漏斗,其母线长为t，要使其体积最大,其高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥形漏斗的高为,我们可以表示出底面半径,进而得到圆锥体积的表达式,利用导数法,易得到体积取最大值时,高与母线之间的关系.【详解】解:设圆锥形漏斗的高为,则圆锥的底面半径为则圆锥的体积则,令则当高时,圆锥的体积取最大值,所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式，属于中档题.10.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有A.15种 B.18种 C.19种 D.21种【答案】B【解析】【详解】每个盒子先放一个球，用去3个球，则不同放法就是剩余6个球的放法；有两类：第一，6个球分成1,5或2,4两组，共有种方法；其次，6个球分成1,2,3三组，有种方法．所以不同放法共有12+6=18种．故选B11.设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据对于，，使成立，用导数法求得的最小值，用二次函数的性质求得的最小值，再解不等式即可.【详解】因为，所以，，，，当时，，所以在上是增函数，所以函数取得最小值.因为，当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，不成立；当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，解得，此时；当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，解得，此时；综上：实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查双变量问题以及导数与函数的最值，二次函数的性质，还考查了分类探讨的思想和运算求解的实力，属于中档题.12.设函数的图象与直线有且仅有四个公共点，这四个公共点横坐标的最大值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出的图象，结合的图象与直线有且仅有四个公共点，利用导数，求得正确结论.【详解】画出的图象如下图所示，依题意的图象与直线有且仅有四个公共点，由此可知，与在区间相切.当时，，切点的横坐标为，所以，所以切线方程为，将原点坐标代入上式得.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数探讨函数切线，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13.在的绽开式中，常数项为．【答案】【解析】试题分析：常数项为，系数为．考点：二项式绽开式．14.______.【答案】【解析】【分析】依据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理求解，再合并起来即可．【详解】由定积分的几何意义可知表示圆的部分，即，由微积分基本定理可知，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的求法，定积分几何意义与微积分基本定理的应用，属于基础题．15.对大于或等于的自然数，的次方幂有如下分解方式：，，，，，，依据上述分解规律，若，的分解式中最小的数是，则______.【答案】【解析】【分析】通过已知条件,归纳总结一般的结论（猜想),通过前三个已知的等式的规律，得，通过后三个等式的规律，得，则.【详解】由；视察得，，故，所以；由；视察得，，因为的分解式中最小的数是21，，所以，则.故答案为：.【点睛】本题通过视察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.16.设定义在上的函数满意，，其中是的导函数；则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】确定函数在上是增函数，不等式转化为，即可得出结论.【详解】因为，所以，设，所以在上是增函数，因为不等式，整理得，，又因为，所以，所以，.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性，正确构建函数是关键.属于较难题.三、解答题17.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）设，求函数的极值.【答案】（1）；（2）微小值，无极大值.【解析】【分析】（1）利用切点和斜率，求得切线方程.（2）首先求得的解析式和定义域，然后求得的导函数，依据导函数探讨的单调性和极值.【详解】（1），，，所以，故所求的切线方程为.（2），函数定义域为，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故微小值，无极大值.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数探讨函数的极值，属于中档题.18.某市教化与环保部门联合组织该市中学参与市中学生环保学问团体竞赛，依据竞赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；中学学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参与竞赛.（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事务,求事务的概率；（Ⅱ）设为选出的4人中女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列略，期望为．【解析】试题分析：（Ⅰ）由排列组合学问求得基本领件数，利用古典概型的概率公式进行求解；（Ⅱ）利用超几何分布的概率公式求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以事务的概率为.（Ⅱ）随机变量的全部可能取值为1,2,3,4.由已知得.所以随机变量的分布列为：

1

2

3

4

随机变量的数学期望.考点：1.古典概型；2.超几何分布．19.已知函数，求证：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】令，利用导数推断其单调性，证明，从而得到，再利用导数探讨的单调性，证明即可.【详解】设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，又，故，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，综上，有.【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的单调性，利用导数证明不等式，考查学生的逻辑推理与运算求解实力.20.为了探讨家用轿车在高速马路上的车速状况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速马路上行驶时的平均车速状况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100的有25人.（1）完成下面的列联表，并推断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.平均车速超过100人数平均车速不超过100人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2）以上述数据样原来估计总体，现从高速马路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.参考公式与数据：，其中0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）依据题目中的数据，完成列联表，求出，从而有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；

（2）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为，推导出听从二项分布，即，由此能求出的分布列与数学期望.【详解】解：（1）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（2）依据样本估计总体的思想，从高速马路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为，可取值是0，1，2，3，由题知，有：，，，，分布列为0123.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查二项分布，随机变量的分布列与期望的计算，考查学生的数据分析和运算求解实力.21.已知函数.（1）当且时，求函数的单调区间；（2）若，关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，详细见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求导数，依据导函数的零点状况对参数进行分类探讨，探讨导函数的正负区间，进而得到函数的单调区间；（2）将方程的根的问题转化为函数的图象与水平直线的交点个数问题，利用（1）的结论，探讨函数的最值和图象，进而得到参数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域是，.①当时，在上恒成立，在上恒成立，的增区间为，的减区间为.②当时，，在和上恒成立，在上恒成立.∴时，的增区间为和，的减区间为.综上所述，当时的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）若，，关于的方程有三个不同的实根，等价于的图象与直线有三个交点.，由解得或,由，解得.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴，，又∵当趋近于时趋近于，当在定义域内趋近于0时，趋近于-，∴趋近于-，∴的图象与直线有三个交点时的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求含参数的函数的单调区间问题和方程的零点问题，考查分类探讨思想和数形结合思想，考查运算实力，逻辑思维实力，涉及利用导数求函数的最值.属中档题.22.已知函数有且只有一个零点，其中.（1）求的值；（2）若对随意的，有成立，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件得，列方程即可求出结果；（2）由（1）知，先分析，当时，由