弹性力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法(FDM)简介

弹性力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法(FDM)简介1弹性力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法(FDM)简介1.1有限差分法(FDM)概述1.1.11有限差分法的基本概念有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)是一种数值分析方法，用于求解微分方程。在弹性力学中，FDM通过将连续的物理域离散化为有限数量的网格点，将微分方程转换为网格点上的代数方程组，从而近似求解弹性体的应力、应变和位移。这种方法的核心在于用差商代替导数，即在网格点上用函数值的差值来近似导数。1.1.1.1示例：一维弹性杆的有限差分法求解假设有一根长度为L的一维弹性杆，两端固定，受到均匀分布的横向力作用。我们可以通过FDM来求解杆内的应力分布。首先，将杆离散化为N个等间距的网格点，每个网格点之间的距离为h。对于杆内的应力σ，我们可以用中心差分公式来近似二阶导数：d其中，σiimportnumpyasnp

#参数设置

L=1.0#杆的长度

N=100#网格点数量

h=L/(N-1)#网格间距

E=200e9#弹性模量

I=1e-6#惯性矩

q=10000#均匀分布的横向力

#构建差分矩阵

A=np.zeros((N,N))

foriinrange(1,N-1):

A[i,i-1]=1/h**2

A[i,i]=-2/h**2

A[i,i+1]=1/h**2

#应用边界条件

A[0,0]=1

A[N-1,N-1]=1

#构建右侧向量

b=np.zeros(N)

b[1:N-1]=q*h**2/E/I

#求解方程组

sigma=np.linalg.solve(A,b)1.1.22有限差分法的历史发展有限差分法的历史可以追溯到19世纪，当时数学家们开始使用差分方程来近似微分方程的解。然而，直到20世纪中叶，随着计算机的出现，有限差分法才真正成为求解复杂微分方程的有效工具。在弹性力学领域，有限差分法被广泛应用于求解结构的静力学和动力学问题，特别是在处理线性和非线性问题时，其灵活性和准确性得到了充分的体现。1.1.33有限差分法在弹性力学中的应用在弹性力学中，有限差分法主要用于求解弹性体的应力、应变和位移。它能够处理各种边界条件和载荷情况，包括但不限于：静力学问题：求解在静态载荷作用下的弹性体变形。动力学问题：分析弹性体在动态载荷下的响应，如振动和冲击。热弹性问题：考虑温度变化对弹性体应力和变形的影响。非线性问题：处理材料非线性、几何非线性或接触非线性等问题。1.1.3.1示例：二维弹性板的有限差分法求解考虑一个矩形弹性板，尺寸为2mx1m，厚度为0.01m，弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。板的左边界固定，右边界受到均匀分布的横向力作用。我们可以通过FDM来求解板内的位移分布。首先，将板离散化为MxN个网格点，每个网格点之间的距离为hx和hy。对于板内的位移u和v，我们可以用中心差分公式来近似二阶导数：∂∂将上述差分公式代入弹性板的偏微分方程中，可以得到关于网格点上位移值的代数方程组，然后通过求解该方程组来得到位移分布。importnumpyasnp

#参数设置

Lx=2.0#板的长度

Ly=1.0#板的宽度

hx=Lx/(M-1)#x方向网格间距

hy=Ly/(N-1)#y方向网格间距

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

q=10000#均匀分布的横向力

#构建差分矩阵

A=np.zeros((M*N,M*N))

foriinrange(1,M-1):

forjinrange(1,N-1):

idx=i*N+j

A[idx,idx-1]=1/hx**2

A[idx,idx+1]=1/hx**2

A[idx,idx-N]=1/hy**2

A[idx,idx+N]=1/hy**2

A[idx,idx]=-2/hx**2-2/hy**2

#应用边界条件

forjinrange(N):

A[j,j]=1

A[M*N-1-j,M*N-1-j]=1

#构建右侧向量

b=np.zeros(M*N)

b[(M-1)*N:(M-1)*N+N-1]=q*hx*hy/E/(1-nu**2)

#求解方程组

u=np.linalg.solve(A,b)通过上述代码示例，我们可以看到有限差分法在弹性力学中的具体应用，以及如何通过编程实现对弹性体的数值求解。这种方法不仅适用于一维和二维问题，还可以扩展到三维问题，是解决弹性力学问题的重要工具之一。2有限差分法的基本原理2.11偏微分方程的离散化在弹性力学中，我们经常遇到描述材料行为的偏微分方程（PDE）。有限差分法（FDM）通过将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，从而将问题简化为一系列代数方程，便于数值求解。这一过程涉及将空间和时间变量离散化，用网格点上的函数值的差商来近似导数。2.1.1离散化步骤网格划分：首先，定义一个网格，将连续的空间区域分割成有限数量的离散点。差分逼近：使用差分公式来逼近偏微分方程中的导数项。代数方程组：将偏微分方程转化为网格点上的代数方程组。2.1.2示例考虑一维弹性杆的平衡方程：d其中，E是弹性模量，A是截面积，u是位移，fxdf其中，h是网格间距，ui是网格点i2.22差分格式的构建差分格式的选择直接影响到数值解的精度和稳定性。常见的差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分。2.2.1中心差分格式中心差分格式提供了一种二阶精度的导数逼近方法，适用于内部点的计算。d2.2.2向前差分格式向前差分格式通常用于边界条件的处理，它是一阶精度的。d2.2.3向后差分格式向后差分格式与向前差分格式类似，也是一阶精度的，但适用于另一侧的边界条件。d2.2.4示例假设我们有以下一维弹性杆的边界条件：u对于边界点x=d对于边界点x=d其中，N是网格点的总数。2.33差分方程的求解方法一旦将偏微分方程离散化为差分方程，下一步就是求解这些方程。常见的求解方法包括直接求解和迭代求解。2.3.1直接求解直接求解方法适用于小型问题，其中差分方程可以被转化为一个线性代数方程组，然后使用矩阵求逆或分解技术来求解。2.3.2迭代求解对于大型问题，直接求解可能不切实际，因为需要大量的计算资源。迭代求解方法，如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR（SuccessiveOver-Relaxation）方法，通过逐步逼近解来减少计算成本。2.3.3示例：Gauss-Seidel迭代法假设我们有以下简化的一维弹性杆问题的差分方程组：E边界条件为：u使用Gauss-Seidel迭代法求解这个方程组，我们首先初始化所有ui的值，然后迭代更新每个uimportnumpyasnp

#参数定义

EA=1000#弹性模量乘以截面积

h=1#网格间距

f=np.array([10,20,30])#分布载荷

#初始化位移

u=np.zeros(5)

#迭代求解

tolerance=1e-6

max_iterations=1000

foriterationinrange(max_iterations):

u_old=u.copy()

u[2]=(h**2*f[0]+EA*(u[1]+u[3]))/(2*EA)

u[3]=(h**2*f[1]+EA*(u[2]+u[4]))/(2*EA)

u[4]=(h**2*f[2]+EA*(u[3]))/(2*EA)

ifnp.linalg.norm(u-u_old)<tolerance:

break

print("迭代次数:",iteration)

print("位移解:",u[2:5])在这个例子中，我们使用了Gauss-Seidel迭代法来求解差分方程组，直到满足给定的收敛标准。通过以上步骤，有限差分法提供了一种有效的方法来数值求解弹性力学中的偏微分方程，适用于各种边界条件和材料特性。3有限差分法的数学基础3.11泰勒级数展开泰勒级数展开是有限差分法(FDM)中一个核心的数学工具，它允许我们将一个函数在某一点的值用其在另一点的导数和函数值的线性组合来近似。泰勒公式的一般形式如下：假设函数fx在点x0的某个邻域内具有n+1f其中，Rnx是泰勒公式的余项，表示n3.1.1示例考虑函数fx=ex在点x0=0的泰勒级数展开。我们知道e3.1.2代码示例importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义函数和其导数

deff(x):

returnnp.exp(x)

defdf(x):

returnnp.exp(x)

#泰勒级数展开的函数

deftaylor_expansion(x,x0,n):

result=0

foriinrange(n+1):

result+=df(x0)**i/np.math.factorial(i)*(x-x0)**i

returnresult

#计算点x=0.5处的泰勒级数展开

x0=0

x=0.5

n=5

approximation=taylor_expansion(x,x0,n)

#输出结果

print(f"e^{x}的泰勒级数展开近似值为:{approximation}")

#绘制函数和泰勒级数展开的图形

x_values=np.linspace(x0-1,x0+1,400)

y_values=f(x_values)

y_taylor=taylor_expansion(x_values,x0,n)

plt.plot(x_values,y_values,label='e^x')

plt.plot(x_values,y_taylor,label=f'泰勒级数展开(n={n})')

plt.legend()

plt.show()3.22差商与导数的关系差商是有限差分法中用来近似导数的概念。差商可以是向前差商、向后差商或中心差商，分别对应于导数的向前、向后和中心差分近似。向前差商：f向后差商：f中心差商：f3.2.1示例假设我们有一个函数fx=x2，我们想要在点f3.2.2代码示例#定义函数

deff(x):

returnx**2

#定义中心差商函数

defcentral_difference(f,x,h):

return(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)

#计算点x=1处的导数近似值

x=1

h=0.001

approx_derivative=central_difference(f,x,h)

#输出结果

print(f"x=1处的导数近似值为:{approx_derivative}")3.33截断误差与收敛性分析在有限差分法中，截断误差是由于用差商代替导数而产生的误差。收敛性分析则研究随着步长h的减小，差分近似如何接近真实导数。3.3.1截断误差对于中心差商，截断误差可以通过泰勒级数展开来计算。假设fx在x截断误差其中，ξ是x−h和x3.3.2收敛性分析收敛性分析通常涉及研究截断误差随着h的减小而减小的速度。如果截断误差随着h的减小而以hp的速度减小，我们说差分近似是p3.3.3示例考虑函数fx=sinx，我们使用中心差商来近似其在点3.3.4代码示例importnumpyasnp

#定义函数

deff(x):

returnnp.sin(x)

#定义中心差商函数

defcentral_difference(f,x,h):

return(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)

#定义计算截断误差的函数

deftruncation_error(f,x,h):

#使用泰勒级数展开计算截断误差

#注意：这里简化了计算，仅用于示例

return(h**2)/6*f'''(x)

#计算点x=0处的导数近似值和截断误差

x=0

h_values=np.logspace(-1,-5,5)#生成不同的h值

approx_derivatives=[]

errors=[]

forhinh_values:

approx_derivative=central_difference(f,x,h)

error=truncation_error(f,x,h)

approx_derivatives.append(approx_derivative)

errors.append(error)

#输出结果

print("h值,导数近似值,截断误差")

fori,hinenumerate(h_values):

print(f"{h},{approx_derivatives[i]},{errors[i]}")通过上述代码，我们可以观察到随着h的减小，导数的近似值逐渐接近真实值，而截断误差也随之减小，这体现了有限差分法的收敛性。4有限差分法在弹性力学中的应用实例4.11一维弹性杆的有限差分分析在弹性力学中，有限差分法（FDM）是一种数值方法，用于求解偏微分方程。对于一维弹性杆，我们考虑其在轴向力作用下的变形。假设弹性杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，密度为ρ。我们使用有限差分法来分析弹性杆在轴向力F作用下的位移ux4.1.1离散化过程首先，将弹性杆离散为n个节点，每个节点之间的距离为Δxd4.1.2平衡方程弹性杆的平衡方程可以表示为：d其中FxE4.1.3代码示例下面是一个使用Python实现的一维弹性杆有限差分分析的示例：importnumpyasnp

#参数设置

L=1.0#弹性杆长度

E=200e9#弹性模量

A=0.01#截面积

rho=7800#密度

F=1000#轴向力

n=100#节点数

dx=L/(n-1)#节点间距

dt=0.001#时间步长

t_end=0.1#模拟结束时间

#初始化位移数组

u=np.zeros(n)

u_new=np.zeros(n)

#边界条件

u[0]=0#固定端位移为0

u[-1]=0#自由端位移为0

#主循环

t=0

whilet<t_end:

foriinrange(1,n-1):

u_new[i]=u[i]+dt**2*(E*A/dx**2)*(u[i+1]-2*u[i]+u[i-1])/rho+dt**2*F/(rho*A)

u,u_new=u_new,u

t+=dt

#输出最终位移

print(u)4.1.4解释此代码首先定义了弹性杆的物理参数和有限差分法的参数。然后，它初始化了位移数组，并设置了边界条件。在主循环中，它使用有限差分公式更新每个节点的位移，直到达到模拟结束时间。最后，它输出了弹性杆在轴向力作用下的最终位移。4.22二维弹性平板的有限差分求解对于二维弹性平板，我们考虑其在平面应力或平面应变条件下的变形。假设平板的尺寸为Lx×Ly，厚度为h，弹性模量为E，泊松比为ν。我们使用有限差分法来分析平板在面内力Fx和Fy作用下的位移4.2.1离散化过程将平板离散为nx×ny个节点，每个节点之间的距离分别为Δ4.2.2平衡方程平板的平衡方程可以表示为：∂其中σxx，σyyσ4.2.3代码示例下面是一个使用Python实现的二维弹性平板有限差分求解的示例：importnumpyasnp

#参数设置

Lx=1.0#平板长度

Ly=1.0#平板宽度

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

Fx=1000#面内力x方向

Fy=1000#面内力y方向

nx=100#x方向节点数

ny=100#y方向节点数

dx=Lx/(nx-1)#x方向节点间距

dy=Ly/(ny-1)#y方向节点间距

dt=0.001#时间步长

t_end=0.1#模拟结束时间

#初始化位移数组

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

u_new=np.zeros((nx,ny))

v_new=np.zeros((nx,ny))

#边界条件

u[:,0]=0#x方向固定端位移为0

u[:,-1]=0#x方向自由端位移为0

v[0,:]=0#y方向固定端位移为0

v[-1,:]=0#y方向自由端位移为0

#主循环

t=0

whilet<t_end:

foriinrange(1,nx-1):

forjinrange(1,ny-1):

#计算应力和应变

exx=(u[i+1,j]-u[i-1,j])/(2*dx)

eyy=(v[i,j+1]-v[i,j-1])/(2*dy)

gxy=(u[i,j+1]-u[i,j-1])/(2*dy)+(v[i+1,j]-v[i-1,j])/(2*dx)

#应力-应变关系

sxx=E*exx/(1-nu**2)+E*nu*eyy/(1-nu**2)

syy=E*eyy/(1-nu**2)+E*nu*exx/(1-nu**2)

txy=E*gxy/(2*(1+nu))

#更新位移

u_new[i,j]=u[i,j]+dt**2*(sxx/dx**2+txy/dy**2)/rho+dt**2*Fx/(rho*A)

v_new[i,j]=v[i,j]+dt**2*(txy/dx**2+syy/dy**2)/rho+dt**2*Fy/(rho*A)

u,u_new=u_new,u

v,v_new=v_new,v

t+=dt

#输出最终位移

print(u)

print(v)4.2.4解释此代码首先定义了平板的物理参数和有限差分法的参数。然后，它初始化了位移数组，并设置了边界条件。在主循环中，它使用有限差分公式计算应力和应变，然后使用应力-应变关系更新每个节点的位移，直到达到模拟结束时间。最后，它输出了平板在面内力作用下的最终位移。4.33三维弹性体的有限差分模拟对于三维弹性体，我们考虑其在空间力作用下的变形。假设弹性体的尺寸为Lx×Ly×Lz，弹性模量为E，泊松比为ν。我们使用有限差分法来分析弹性体在空间力Fx，Fy，和F4.3.1离散化过程将弹性体离散为nx×ny×nz个节点，每个节点之间的距离分别为4.3.2平衡方程弹性体的平衡方程可以表示为：∂在有限差分法中，我们用差分近似代替导数，得到：σ4.3.3代码示例三维弹性体的有限差分模拟通常涉及复杂的计算和大量的内存使用，因此在本教程中，我们不提供完整的代码示例。然而，可以使用类似于二维弹性平板的代码结构，通过增加一个维度和相应的应力-应变关系来实现。4.3.4解释三维弹性体的有限差分模拟需要在三个方向上离散化，并计算六个独立的应力分量。这增加了计算的复杂性，但原理与一维和二维情况相同。在实际应用中，可能需要使用更高级的数值方法，如有限元法，来处理三维问题。以上示例展示了如何使用有限差分法分析一维弹性杆、二维弹性平板和三维弹性体的变形。这些方法在工程和科学研究中非常有用，可以用来预测材料在不同载荷下的行为。5有限差分法的局限性与改进5.11有限差分法的局限性分析有限差分法(FDM)在解决弹性力学问题时，虽然能够提供一种直观且易于实现的数值解法，但其局限性也不容忽视。主要局限性包括：网格依赖性：FDM的精度高度依赖于网格的细化程度。网格越细，计算精度越高，但同时计算量和存储需求也显著增加。例如，对于一个二维弹性力学问题，如果网格尺寸从h减小到h2边界条件处理：在处理复杂的边界条件时，有限差分法可能变得复杂且不精确。例如，对于非矩形或非规则形状的边界，需要通过特殊的技术如“虚拟节点”或“不规则网格”来近似边界条件，这可能引入额外的误差。高阶导数的计算：对于包含高阶导数的弹性力学方程，有限差分法的计算变得复杂，且高阶差分的数值稳定性较差。例如，对于四阶偏微分方程，直接使用二阶差分格式可能导致数值解的振荡。非线性问题的处理：当弹性力学问题涉及非线性材料特性或非线性边界条件时，有限差分法的求解过程变得更为复杂，可能需要迭代求解，且收敛性难以保证。局部网格细化：在某些区域需要高精度解时，如应力集中区域，全局网格细化是低效的。有限差分法难以实现局部网格细化，而其他方法如有限元法(FEM)则能更灵活地处理此类问题。5.22高阶差分格式的引入为克服有限差分法在高阶导数计算中的局限性，引入高阶差分格式是常见的改进策略。高阶差分格式能够提供更精确的导数近似，从而提高整体的计算精度。5.2.1例：四阶差分格式考虑一维弹性力学问题中的二阶导数∂2∂其中，ui表示在网格点xi处的位移，5.2.2代码示例假设我们有一个一维弹性杆，长度为1m，两端固定，受到均匀分布的载荷作用。我们使用四阶差分格式来计算杆的弯曲。importnumpyasnp

#参数设置

L=1.0#杆的长度

N=100#网格点数量

h=L/(N-1)#网格间距

E=200e9#弹性模量

I=1e-6#惯性矩

q=10000#均匀载荷

#初始化位移向量

u=np.zeros(N)

#四阶差分格式的系数矩阵

A=np.diag([12]*N)+np.diag([-2]*(N-1),1)+np.diag([-2]*(N-1),-1)+np.diag([1]*(N-2),2)+np.diag([1]*(N-2),-2)

A[0,0]=1#左端固定

A[-1,-1]=1#右端固定

#载荷向量

F=q*h**2/12*np.ones(N)

F[0]=0#左端载荷为0

F[-1]=0#右端载荷为0

#弹性力学方程

A=A/(E*I*h**2)

#求解位移

u=np.linalg.solve(A,F)

#输出位移

print(u)5.2.3解释上述代码中，我们首先定义了问题的参数，包括杆的长度、网格点数量、弹性模量、惯性矩和均匀载荷。然后，我们构建了四阶差分格式的系数矩阵A和载荷向量F，并求解了位移向量u。通过使用四阶差分格式，我们能够更精确地计算杆的弯曲，尤其是在网格点较少的情况下。5.33有限差分法与其他数值方法的比较有限差分法与其他数值方法如有限元法(FEM)、边界元法(BEM)和有限体积法(FVM)相比，有其独特的优势和局限性。有限元法(FEM)：FEM在处理复杂几何形状和边界条件方面更为灵活，能够实现局部网格细化，适用于非线性问题。然而，FEM的实现通常更为复杂，需要构建复杂的有限元模型。边界元法(BEM)：BEM将问题转化为边界上的积分方程，减少了问题的维数，适用于解决边界条件复杂的问题。但BEM在处理内部源项和非线性问题时存在局限性。有限体积法(FVM)：FVM基于守恒定律，适用于流体力学和传热问题，但在弹性力学问题中，其优势不如FEM和FDM明显。5.3.1例：有限元法与有限差分法的比较考虑一个二维弹性力学问题，其中包含一个圆孔。有限元法能够更准确地处理圆孔周围的应力集中，而有限差分法则可能需要更细的网格来达到相同的精度。5.3.2代码示例这里我们不提供具体的代码示例，因为有限元法的实现通常涉及复杂的有限元库和软件，如FEniCS或ANSYS，这些软件的使用超出了简单的代码示例范围。5.3.3解释在实际应用中，选择有限差分法、有限元法还是其他数值方法，取决于问题的复杂性、所需的精度以及计算资源的可用性。例如，对于简单几何形状和边界条件的问题，有限差分法可能是一个快速且有效的选择。但对于复杂几何和需要高精度解的问题，有限元法或其他更高级的数值方法可能是更合适的选择。5.4有限差分法的最新进展5.4.11非结构化网格上的有限差分法在传统的有限差分法中，网格通常被设计为规则的结构化网格，这在处理简单几何形状和边界条件时非常有效。然而，对于复杂的几何结构和边界条件，结构化网格可能无法提供足够的灵活性和准确性。因此，非结构化网格上的有限差分法成为了一个重要的研究方向。5.4.1.1原理非结构化网格允许使用不规则的网格单元，这可以更好地适应复杂的几何形状。在非结构化网格上应用有限差分法，需要对差分格式进行调整，以适应不同形状的网格单元。这通常涉及到使用局部坐标系和基于节点的差分公式。5.4.1.2内容局部坐标系的使用：在非结构化网格中，每个网格单元可能有不同的形状和大小，因此需要为每个单元定义一个局部坐标系，以便在该单元内进行计算。基于节点的差分公式：在非结构化网格上，差分公式需要基于节点而不是基于单元的中心点。这要求对差分算子进行重新定义，以确保在所有节点上都能准确地计算导数。网格生成技术：非结构化网格的生成是一个复杂的过程，需要考虑几何适应性、网格质量以及计算效率。5.4.1.3示例在非结构化网格上应用有限差分法，通常涉及到使用特殊的软件包或库，如FEniCS或deal.II。下面是一个使用FEniCS在非结构化网格上解决弹性力学问题的简化示例：fromfenicsimport*

#创建一个非结构化网格

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

#定义函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',2)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义弹性力学的弱形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-10))

E,nu=10.0,0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnlmbda*tr(epsilon(u))*Identity(2)+2*mu*epsilon(u)

a=inner(sigma(u),epsilon(v))*dx

L=dot(f,v)*dx

#求解问题

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#可视化结果

plot(u)

interactive()5.4.22高性能计算在有限差分法中的应用随着计算硬件的发展，高性能计算（HPC）在有限差分法中的应用变得越来越重要，尤其是在处理大规模问题时。5.4.2.1原理HPC通过并行计算和分布式内存架构，可以显著提高有限差分法的计算效率。这包括使用多核处理器、GPU加速以及在多台计算机上进行分布式计算。5.4.2.2内容并行计算：利用多核处理器或GPU的并行计算能力，加速有限差分法的计算过程。分布式内存架构：在大规模计算中，数据可能无法完全存储在一台计算机的内存中。分布式内存架构允许数据在多台计算机之间分布，从而解决大规模计算的内存限制问题。优化算法：为了充分利用HPC的潜力，需要对有限差分法的算法进行优化，包括减少通信开销、平衡计算负载等。5.4.2.3示例使用PETSc和SLEPc库在HPC环境中求解弹性力学问题的示例：fromfenicsimport*

frompetsc4pyimportPETSc

fromslepc4pyimportSLEPc

#创建网格

mesh=UnitSquareMesh(128,128)

#定义函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',2)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义弹性力学的弱形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-10))

E,nu=10.0,0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnlmbda*tr(epsilon(u))*Identity(2)+2*mu*epsilon(u)

a=inner(sigma(u),epsilon(v))*dx

L=dot(f,v)*dx

#求解问题

A=PETSc.Mat()

b=PETSc.Vec()

assemble_system(a,L,bc,A_tenso