线性代数试题库

线性代数题库

一、填空题.

1.排列632514的逆序数为10；排列〃(〃—1)(〃—2)…321的逆序数为.丁).

排歹U632514排歹！Jnn-1n-2321

解JJ

tj012142tj012n—3n—2n-1

2.偶排列经过一次对换变成奇排列,奇排列经过两次对换变成奇排列.

1

3.已知％4a2心31a42是四阶行列式中的一项，贝J/=__3__；该项所带符号为负.

排列4312

解JJJJ,奇排列，所以带负号。

0122

123

4.行列式0=201中的元素3的代数余子式为」,元素—3的代数余子式为-4.

24-3

“心20—12

解A=(-1)1+3=8,43=(一1)=­.

13243320

4a5

5.已知行列式0=267中元素的i=2的代数余子式41=5,则。=_一5__.

32-1

5

解A,1=(—I)?”“=a+10=5,所以，a=-5.

212-1

6.已知四阶行列式。的第3行元素依次为2,2,L-1,它们的余子式依次为5,2,3,4,则行列式。=

13.

解

D〃31^^31+Q32'^^32+^33,^^33+〃34'^^34

3+33+4

=(—1)3+&也31+(T)"2a32M32+(-1)a33M33+(-1)a34M34

—

—6Z31A/31—+〃33人133^34-^34•

=2x5-2x2+lx3-(-1)x4

二13

7.四阶行列式。的值为91,它的第一行元素为2,31+3,-5,第一行元素的余子式依次为-L0,6,9,

则t=.

解因为

D—%]A”+%2A12+413Al3+414Al4

=(—1严+(—I)"?又监2+(一1严%3监3+(-1严%4监4

=%]"]]—Af12+%3”13—%4”14，

=2x(-1)-3x0+(/+3)x6-(-5)x9

=91

所以，t=5

8.设4为kx/矩阵，5为mx”矩阵.如果有意义，则矩阵C的行、列数分别为_机行.

列.

9.设4是"阶方阵，且0,贝力A'|=a,|=

一a

T2

IA*|=—a11」，|2A|=__2na_,|A4|=_a_，\AA~1\=_I

\AA^\=_an__,||A|A|=_an+1,|-2AAT|=_(-2)na2—,|(3A)2|=_9na2

10.设是〃阶方阵，则A?—^2=(4+B)(A—8)的充分必要条件是_AB=BA

11.设矩阵A是5阶方阵，且|A|=2,则卜|A|A|=__—2。.

|-|A|A|=|-2^=(-2)5-2=-26

」23、

12.设A=,且R(A)=1,贝!Jf=__4__,s=_6

、2ts)

123M-2“123、

解：A=,R(A)=1,贝卜一4=0,s—6=0,即，=4,s=6。

(2s)I。t-4s-6,

1234、'2301

13.设A=0111，B=1122,且A与5等价，则1=_4_.

00023

o>、3t7

解：A(A)=2,且4与5等价,A(B)=2,

/2301、1122、q122、

々一八々-2八

B=1122230101-4-3

G一3八

3t233t23,t-3-4-3

7、o7

所以当R(B)=2,二、三两行对应成比例,即可得，=4。

14.若向量2a+36=(1,2,3,4尸,a+4=(1,2,2,-l)T,则a=,P=

解：J3=(2a+3j8)-2(。+/?)=(1,2,3,4)，-2(l,2,2,-l)r=(-1-2-1,6)r

a=H、一B=(122,-1尸-(-l,-2,-l,6)r=(2,4,3,—7/

15.已知a=(-L,0,2)r,£=(2,1,—3)「A=aT=,则砥4)=.

解:A=aT/3=(—1,0,2)(2,1,—3尸=-6,R(A)=1

16.若向量组q=(L—1,2,。)\&2=(2,—2,。,—8尸线性相关，则。=,b=

解:%,4线性相关,则对应分量成比例，。=-4,b=4

17.当a时,向量组名=(3,l,a)T，4=(4,a,0)T,%=(1,0,a)1线性无关.

341

解：M=1a0=2a(a-2)w0时，线性无关，即aw0且aw2时线性无关。

a0a

18.若向量组4=(a,0,0)T,%=(L3,2)T线性相关，则。力满足

lai

解：⑶=1o3=a—2b=0时，线性相关。

1b2

,12

19.当。=,方程组23a+23有无穷个解.

Ja-2

’1210<121

f(«+l)(«-3)=0

解：入=23〃+23—>0—1a时，方程组有

a—3=0

Ja-20J100(t?+l)(t?-3)a-3)

无穷个解，即。=3

20.设％为方阵A的特征值，g为A对应X的特征向量，则方阵24+E的特征值为2征+1,对应的

特征向量为q.

解q为A对应/的特征向量，则4^=24，故(2A+E)q=2Aq+£q=2/lq+q=(22+l)q.

21.设分别为实对称矩阵4的两个不同特征值，名,以为所对应的特征向量，则

4,42]=—Q-.

解实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量正交.

22.设矩阵4的三个特征值分别为1,2,3,则A+2E的特征值分别为3,4,5；A*的特征值分别为

632.

解g为A对应2的特征向量，Aq^Aq,则故4^的特征值为工=1—；

AX23

(A+2E)q=Aq+2Eq=Xq+2q=(X+2)q,故A+2E的特征值为X+2=3,4,5；

A*q=\A\A-'q^q,且冈=444=6,故A*的特征值为@=6,3,2.

23.若3阶方阵A的特征值为1,—1,2,5=42—5A+2E,贝/A|=二2,5的特征值为—2,8,—4,

151=64.

解|A|=444=-2；

令0(x)=x2—5x+2,则3=0(A)=A2—5A+2E,故6的特征值为双㈤=下—54+2,从而

可得6的特征值为。⑴=—2,以-1)=8,0(2)=T,于是6的行列式为I5I=-2x8x(-4)=64.

24.已知3阶矩阵A有特征值—1,2,4,则2A*的特征值为16,—8,4.

2A*«=2同4%=冽4,

解q为A对应4的特征向量，Aq=lq,则人一匕二：q,且

A

2A

回=4%4=~8,故24*的特征值为q=16,-8,4.

2

q-33、

25.若4=3a3的特征值为—2,—2,4,则a=q,b=4

、6-6b,

1-33

解|A|=3ai=ab-k9-

6-6b

ab-lSa+9b-106=0

因为|A|=444,4+4+4=〃1]+〃22+〃33，所以得到方程组<

a+b+l=0

解得，=—5"=4或者a=—23"=22.经检验，当〃=一23"=22时矩阵A的特征值不是—2,—2,4,

当a=—5,6=4时矩阵A的特征值是—2,—2,4,故。二-5,8=4.

(1—24)(5ooA

26.若矩阵4=—2x—2与5=0-40相似，则元=----,y=一

3737

-4-2100y)

...,17x+20y=81225

解矩阵4与3相似，贝|4=国且"4=疗3,得方程组17，解得％=—丁，

[%-丁二一13737

"101、

27、二次型/区,9,%)=%：+2%巧一4X2巧+3x；的实对称矩阵为00-2,它的规范形为

I-3,

<101、1-201

解二次型的矩阵4=00-2)|(A-E)|=0-2-2=-23+4A2+22-4=0RT

U-23,1-23-2

以判断方程有两个负根，一个正根，即矩阵A的绝对值两负一正，故二次型的正惯性指数为1,负惯性指

数为2.它的规范形为/=$—£—£.

28.已知二次型/(%],%2，巧)=5x；+5%；+c4一2%]%2-6%2巧+6再％3的秩为2，则c=3.

5-13、(201

解二次型的矩阵4=-15-3f02-1因为H(A)=2,所以c=3.

3-30c-3

cJ(°7

29.当f满足一2</<1时,二次型/(%1；%2,%3)=x；+4%2+2/XJX2-2%巧+4X2X3+4X；

为正定二次型.

(It-1、

解二次型的矩阵为4=t42,其三个顺序主子式为

、T

1t-1

%=1,/%2=1r=4—/，|A|=t42=-4(r-l)(r+2),

a2la22t4

当三个顺序主子式均大于零时二次型是正定的，由4-产>0,—1)«+2)>0,解得-2</<1.所

以当-2<1<1时，二次型是正定的；

30.二次型f(x1,x2,x3)=x；+5xf+9xj-4%JX2+2版：2七为正定的充分必要条件是网<3.

‘1-20、

解二次型的矩阵为A=-25k,实对称矩阵A正定的充分必要条件是4的各阶顺序主子式

10k9j

121-20

都大于零，即。“=1>0,如包=一=i>o,⑷=—25左=9—左2〉0,解得|左|<3.

%a22-250k9

二、选择题.

1.〃阶行列式展开式中%2a23a34…4-1,0的符号为D

(A)正；(B)负；(C)(-1)"；(D)(—1产.

排歹U234■■■n-11

解JJJJJJ

,0000n-1

2.六阶行列式列的展开式共有B项.

(A)62；(B)6!；(C)12；(D)24.

3.下列排列是偶排列的是」

(A)13524876；(B)51324867；(C)38124657；(D)76154283.

k12

4.行列式20=0的充分条件是B

11-1

(A)左=2；(B)k=—2；(C)左=0；(D)k=-3.

12

12k1

解按第二行展开,20k=(-1产2+(-D2+3k=6-k(k-D=O,

1-111

11-1

所以，k=3,k=-2.

aa

nn〃132a2i2a222a23

5.若口=a2i〃22〃23二aw0,则3ali3aI23a13A

a〃

3i。32334a3i4a324a33

(A)-24。；(B)24。；(C)8a；(D)12a.

aaaaa

2a2i2a222a23212223\\n43

解3ali3a*3a13=2-3-4ailai2ai3=-24〃21^22=-24a.

aa

4a3i4a324a333132a33〃31〃32〃33

a〃〃〃a

n121321a2223

6.若D“21“22023=aw0,则£)]=〃3]2Q]]a32~2。12。33—2〃]3A

〃

31。32。333an3.3

(A)3a；(B)—a;(C)6a；(D)-6a.

解

〃21Cl22〃23a21Cl22〃23a2l〃22〃23

〃-2〃13—〃〃263

D：=“32-242333132。33■2ali2an

3。“3/23%33ali3%23〃133〃n3623%3

aa

%“23出1。23\\!2

=3。32“33232%i2al22%=3%“23=3a

aa

ni2“133an3%3“31。32“33

氏x+y+z=0

7.若齐次线性方程组x+ky-z=G有非零解,则左C

2x-y+z=0

(A)左。一1或左。4；(B)左w—1且左w4；(C)左=一1或%=4；(D)左=—1且女=4.

解

k1111

D=1k-1-11

2-111-12

11k

0k+1k+1=(左-2)(左+1)-2(左+1)=(左+1)(匕4)

0-22-k

所以系数矩阵。=0时有非零解，k=-l,k=4.

8.已知〃阶方阵4和常数左，且|A|=d,则卜411的值为_(D)

(A)kd2；(B)k2d?；(C)knd；(D)k"d~.

解：,心[=9网,[=左22

9.设矩阵A„*s，Bsxn,Cnxn,下列—(B)运算可行・

(A)AC；(B)BC；(C)ACB；(D)AB-BC.

解：两矩阵相乘，左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。

10.设A为”阶方阵，且|4|=aw0,贝”A*|=—(C).

(A)a；(B)-；(C)a"'(D)an.

a

解：A4*=网区两边取行列式，|A4*|=|A||A*|=W同=8，14*1=4。"=a"T

n

11.设A,3均为九阶方阵，则下列结论中正确的是—(D).

(A)若45=4。，则5=。；(8)若45=0,则4=0或5=0；

(C)若贝力A|#0；(D)若|A|WO,则4/0.

12.设A,6均为〃阶方阵，且满足A5=0,则—(C).

(A)4=0或5=0；(B)det(4)=0且det(5)=0；

(C)det(A)=0或det(5)=0；(D)上述结论均不正确.

13.设4,6均为〃阶方阵，左为正整数，下列结论中不正确的是―(B).

(A)।AT+BTHA+B|；(B)IAT+BTHAI+IBI；

(C)\{AB}k|=|AP-IB|A；(D)IAB|=|BA|.

14.设A,5,C均为〃阶方阵，则下列结论中不正确的是—(D).

(A)若A5C=E,则A,B,C都可逆；(B)若A5=AC,且A可逆，则5=C；

(C)若45=AC,且4可逆，则5A=C4；(D)若A5=0,且4/0,则5=0.

15.设4,6都是〃阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是(A)—.

(A)(A+B)-1=A-l+B-\(B)((AB)1"尸=(A-1)T(B')T；

(C)(Akyl=(A-l)k(左为正整数)；(D)|(一尸|=左-|41T(左为非零常数).

16.设A,B,C都是〃阶可逆矩阵，且A5C=E,则下列结论必成立的是_(B)

(A)ACB=E；(B)BCA=E；(C)CBA=E；(D)BAC=E.

aw%2〃13。31〃32Q33

17.设A=〃21〃22。23,B=a22।dy2a23+013

。32。33J<a\\a12“13/

「001、「100、

4=010P2=110,则有—(A)

J0、001,

(A)尸]P,A=B；(B)P^P1A=B；(C)AP{P^=B；(D)AP2Pl=B.

解：PXP,A=B,先把A的第一行的一倍加到第二行,再交换、三两行，即

/\、/

[[C^l]?]3ajja]2a13〃31〃32。33

G+4心—G

A=〃2122〃23。21+1。22+。12^3^23+^^13"21।^^22^^12^^23^^13O

l“31”32033JIa3\a31。33)\a\\%2。13J

18.设A为”阶可逆矩阵，则有—(A).

(A)A总可以经过初等行变换化为单位矩阵E；

(B)对(A|E)经过若干次初等变换，当4化为E时，相应的E一定化为A-1；

(C)由AX=B4得X=6；(D)以上三个结论都不正确.

19.设A为九阶方阵，且有人2=4成立，则下面命题中正确的是_(D).

(A)4=0；(B)A=E,

(C)若4不可逆，则4=0；(D)若4可逆，则A=E.

解：由人2=人，A2-A=0,即A(A-E)=0,若A-E可逆，则4=0；若A可逆，则A-E=0,

即A=E

20.设A,6均为〃阶可逆矩阵，下列结论中正确的是_(D).

(A)AB=BA；(B)存在可逆矩阵P,使AP=6；

(C)存在可逆矩阵。，使O'AC=5；(D)存在可逆矩阵P,0,使。4。=5.

21.已知向量组织,。2，。3线性无关，则下列向量组中线性相关的是.

(A)a{-a2,a2-a3,a3-ax；(B)ax+a2,a2+a3,a3+ax；

(C)%—2%,%一2%%一2q；(D)%+2a2，%+2%%+20.

1-10110

解：(A)|A|=01--1=0；(B)A=011=2

-101101

1-20120

(C)A=01-2=-7；(D)A=012=9

-201201

22.若向量组名=(l,0,0)T,4=(1,1,0尸。3=3"c)T线性无关，则有•

(A)a=b=c；(B)b=c=0；(C)c=0；(D)c20.

11a

解：A=01b=cwO

00c

23.如果向量用可由向量组名,线性表示，则一D—•

(A)存在一组不全为零的数自，左2,…，心，使得万=&%+左2a2T—+左"。"，成立；

(B)存在一组全为零的数々，左2,…，心，使得用=左］q+左2%+…+成立；

(C)存在唯一的一组数自，左2,…，匕"使得6=左1%+左2%+…+尢”%,成立；

(D)向量组力,名以2,…,％”线性相关.

24.已知向量组…,的秩为r,则下述论断中不正确的是A.

(A)ax,a2,-,am中任意厂个向量线性无关；

(B)名，a2，…,％■中至少有厂个向量线性无关；

(C)中任何r个线性无关部分向量组与区,4等价；

(D)中任意c+1个向量(若有的话)线性相关.

25.若名,a2，％均为“维向量，则下述结论中不正确的是B.

(A)若对任意一组不全为零的数3左2,…/s，都有匕氏+&%+•••+左,,03#0，则

%,%,,,,,见线性无关；

(B)若名,。2,…,名,线性相关，则对任意一组不全为零的数匕/2,…，心，都有

匕%+左2%+…+4"%"=0；

(C)向量组名,a?，…,4线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S；

(D)向量组必,a2，…,见线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

26.向量％,。2,…，a,(S22)线性相关的充分必要条件是D.

(A)/,。2,…,冬中至少有一个零向量；

(B)ava2,-,as中至少有两个向量的分量对应成比例；

(C)名,外，…,％中每个向量都能由其余向量线性表出；

(D)al,a2,--,as中至少有一个向量可由其余向量线性表出.

27.若向量组织,4,4线性无关，向量组%,%，%线性相关，则C.

(A)%一定可由。2。3。4线性表示；(B)%一定不能由%，％，%线性表示;

(C)。4一定可由线性表示；(D)%一定不能由4。2。3线性表示.

28.若非齐次线性方程组心=力中方程个数小于未知量个数，4x=0是它的导出组，那么B.

(A)Ar=力必有无穷多解；(B)4x=0必有非零解；

(C)4x=0仅有零解；(D)4x=0一定无解.

29.设非齐次线性方程组=8中，系数矩阵A为根义"矩阵，且矩阵A的秩为R(A)=r,则

A.

(A)厂=7〃时，方程组有解；(B)r=〃时，方程组Ar=办有唯一解；

(C)相=”时，方程组Ar=力有唯一解；(D)厂＜“时，方程组Ar=)有无穷解.

30.设A为机义〃矩阵，8=0是线性方程组心=。的导出组，则下列结论正确的是D.

(A)若4x=0仅有零解，则=8有唯一解；(B)若4x=O有非零解，则有无穷多解；

(C)若4x=Z»有无穷多解，则4x=O仅有零解；(D)若4x=)有无穷多解，则4x=O有非零解.

31.已知^，区是非齐次线性方程组加=力的两个不同的解向量，%,%是其导出组加=。的基

础解系，左，自是任意常数，则AK=办的通解是③.

2(%+(,1—2(%—

(A)左]%+左6z2)+—02)；(B)4]%+左a,)+—(Bl+02)；

(C)氏1%+左2(,1_,2)+5(夕1_夕2)；(D)左1%+左2(,|_,2)+万(£]+,2).

A

32.设二阶方阵A的特征值为。和2,则一的特征值为A

2

(A)0,1；(B)0,2；(C)0,4；(D)0,8.

A21(A-2E)=^|(A-2E)|,得：的特征值为

解二阶方阵4的特征值为4=0,2,由万石

33.设〃阶方阵A满足A?=E，则B.

(A)A的特征值是1；(B)A的秩是“；(C)|A|=1；(D)A一定是对称矩阵.

解A2=£,则|A|=±JI]=土洞=±1,故4的秩是〃.

34.”阶方阵4与某对角矩阵相似，则D.

(A)A的秩是“；(B)A有"个不同的特征值；

(C)A一定是对称矩阵；(D)A有九个线性无关的特征向量.

35.设4是“阶方阵，2,.。=1,2,…)是A的特征值，则必有D.

(A)4(i=1,2,)互异；(B)2,(z=)均异于零；

(C)422'''n=。11。22‘'；(D)X]+力2+，，，+X”=+。22+。@

36.n阶方阵A有〃个不同的特征值是4可对角化的A.

(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既不充分也非必要条件.

37.设；1=2是可逆矩阵4的一个特征值，则下面B是矩阵2E+AT的一个特征值.

i52

(A)—；(B)—；(C)5;(D)一.

425

解设q是A对应于特征值2=2的特征向量，则A4=2q，4一%=；4，

故(2E+A-%=2Eq+A~'q=2q+—q-—q.

38.下述说法正确的是B.

(A)A与有相同的特征值和相同的特征向量；(B)A与有相同的特征多项式；

(C)设名,以为A的两个特征向量，则左必+七以(左1，后不全为零)也是4的特征向量；

(D)齐次线性方程(A-XE)x=0的每一个解向量都是对应于特征值X的特征向量.

解设q是4对应于特征值2的特征向量，则为=%.

(A)不正确.A与有相同的特征值，而特征向量不一定相同.

(B)正确.|万一2目=(A—2石)[=](A—2£)卜

(C)不正确.Aqx=\qx,A%=4%,当4=4时，有

A(klql+k2q2)=k1Aqi+k2Aq2=klAlql+k2X2q2=\(kAqx+k2q2),此时kxqY+k2q2(k1,k2不全为

零)是A的特征向量；

当时，0应2线性无关，假设%%+七。2(匕/2不全为零)是4的对应于特征值几的特征

向量，有勺彳⑼十左&〃亏H左1由左切亍彳(k和1,得(几一%比]0+(X—42K〃2=，从而

4=4=4,矛盾•综上，只有当41，«2为A的同一个特征值对应的两个特征向量时，左M+左2。2(左1，左2

不全为零)才是4的特征向量；

(D)不正确.零向量是齐次线性方程组(A-/LE)x=O的解，但不是4的特征向量；

39.设A,5均为〃阶方阵，并且4与6相似，下述说法正确的是A.

(A)V与5T相似；(B)4与6有相同的特征值和相同的特征向量；

(C)A1=Bl；(D)存在对角矩阵Z>,使4、5都与。相似.

解矩阵4与6相似，即存在可逆矩阵0,使0TA0=5,故

(A)正确.对于可逆矩阵。，0也可逆，令尸=(°T尸，则

5T=(Q-'AQ)^=eTAT(eTr*=PAJP,由定义知AT与5T相似；

(B)不正确.因|8—XEH0T40—XE|=I0T40—九0-10|

=\Q-\A-AE)Q\=\Q-'\\A-AE\\Q\=\A-AE\,

故A与6的特征多项式相同，从而4与6的特征值也相同.但是对应的特征向量不一定相同.因为，若

力是方阵A的特征值，向量q是方阵A对应于特征值2的特征向量，则Aq=Xq.而0TA0=5即

A=QBQ1,所以050Tq=几4,两边左乘BQ'q^AQ^q,即方阵6对应于特征值2的特

征向量为0Tg.

(C)不正确.B=(Q-lAQYl=QrAjQ丰A-1；

(D)不正确.因为A与6不一定可以对角化.

40.若矩阵A与矩阵6相似，则下列说法正确的是C.

(A)AE-A=AE-B；(B)A与5均相似于同一对角矩阵；

(C)H(A)=R(5)；(D)对于相同的特征值X,4与6有相同的特征向量.

解(A)不正确.当且仅当矩阵4与6相同时/IE—A=4E—B成立；

(B)不正确.因为4与5不一定可以对角化；

(C)正确.由A与6相似的定义可知，当A与6相似时，A与6一定等价，从而R(A)=A(b).

(D)不正确.由上题可知.

41.下列结论正确的是D.

(A)实数域上的”阶方阵4一定有〃个特征值；(B)A与有相同的特征值和特征向量；

(C)若刈是A的特征值，则齐次线性方程组(4-%E)x=O的解就是A对应于儿的特征向量;

(D)若儿不是A的特征值，则矩阵A-可逆.

解设q是4对应于特征值2的特征向量，则=

(A)不正确.在实数域上讨论方阵A的特征值和特征向量，则〃阶矩阵4可能没有特征值或特征值

r0—2、

个数小于”.如矩阵4=的特征值4=2。4=-2,均为虚数；

20

(B)不正确.

(C)不正确.零向量是齐次线性方程组(A-%E)x=0的解，但不是A的特征向量;

(D)正确.若儿不是A的特征值，贝4目20,故矩阵A—可逆.

42.设〃阶方阵A可逆，q是4对应于4的特征向量，则下列结论不正确的是D

(B)q是矩阵［ga?］对应于京的特征向量;

(A)q是矩阵3A对应于32的特征向量;

1

(C)q是矩阵A*对应于一|A|的特征向量；(D)0是矩阵对T应于2的特征向量.

A

解因为q是A对应于特征值2的特征向量，所以Aq=.

(A)正确.(3A)q=3(Aq)=3(W)=(3X)q；

因为(5A2)q=/(A2q)=gq，所以；

(B)正确.

(C)正确.又因为方阵A是可逆的，所以XwO，于是得0=4一|叔，即_lq=LA*q,故

4IA|

=所以号为方阵A*的特征值，且q为方阵A*对应于特征值号的特征向量.

(D)不正确.因为ATq=Aq不一定成立，所以=不一定成立.

43.设〃阶方阵A相似于对角矩阵，则下列说法正确的是D.

(A)A必为可逆矩阵；(B)4有〃个不同的特征值；

(C)A必为实对称矩阵；(D)A必有〃个线性无关的特征向量.

44.二次型2%；+5%2+4%］/一4%巧一8%兀3+5%；的标准形是B

(A)10y；；(B)y:+y£+10y；；

(c)(D)y：一货一10y，

(22-2、2-22-2

解二次型的矩阵为A=25-4,\A-AE\=25-2-4=-(4-1)2(4-10)

「2-45；-2-45-2

(\、

故A的特征值是4=4=1,4=10,由题意知A可以对角化为1,则二次型的标准形为

才+贡+10y.

45.设4为〃阶正定矩阵，如果矩阵4与6相似，则6必为B

(A)实对称矩阵；(B)可逆矩阵；(C)正定矩阵；(D)正交矩阵.

解4为”阶正定矩阵，则A可逆.矩阵A与5相似，即存在可逆矩阵。，使0TA0=5,故

(A)不正确.3T=(0TAQ)T=QTA(Q-I)T,由于0不一定是正交矩阵，故5不一定是实对称矩阵;

(B)正确.3T=(QTAQ)T=QTATQ,故5必为可逆矩阵；

(C)不正确.由于5不一定是实对称矩阵，故不能确定是否正定;

T

(D)不正确.5B=QTA(Q-I)TQ-1AQ,由于。不一定是正交矩阵，故5不一定是正交矩阵.

(ab\,

46.设矩阵4=,其中a>Z?>0,且则4为D.

、b-a.

(A)正定矩阵；(B)负定矩阵；(C)初等矩阵;(D)正交矩阵.

_(ab\(ab\(a2+b201_/10、_

解A7==12

3一。八。-a)0a+b^]o1)

ab+30、

47.矩阵A=a-1a0为正定矩阵，则a满足B.

、00a,

(1)a>2；(B)a>~；(C)a<-；(D)与b有关不能确定.