4.5　角的比较与补(余)角

4.5角的比较与补(余)角第1课时角的比较与角平分线1.角的比较方法：

和

.2.角的平分线的定义：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个

的角，这条射线叫作这个角的平分线.度量法叠合法相等如图，O是直线AB上一点，∠AOE＝∠COD，射线OC平分∠BOE，∠EOC＝50°.求∠DOE的度数.【思路分析】由∠AOE＝∠COD，得∠AOD＝∠EOC＝50°，再由射线OC平分∠BOE，得∠AOD＝∠EOC＝∠BOC＝50°，进而由平角减去这三个角，便可得∠DOE的度数.【自主解答】因为∠AOE＝∠COD，所以∠AOE－∠DOE＝∠COD－∠DOE，即∠AOD＝∠EOC＝50°，因为射线OC平分∠BOE，所以∠EOC＝∠COB＝50°，所以∠DOE＝180°－3×50°＝30°.【名师支招】由角平分线可找出图中相等的角，还要注意题中隐含的条件(∠AOB为平角)的应用.【易错原因】对没有给出图形的求角问题，考虑不全面射线OC平分∠AOB，从点O引出一条射线OD，使∠AOB＝3∠AOD，若∠COD＝20°，则∠AOB的度数为____.【自主解答】24°或120°知识点一：角的大小比较1.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有()A.∠AOC＝∠BOCB.∠AOC＞∠BOCC.∠BOC＞∠AOBD.∠AOB＞∠AOCD2.如图，在正方形网格中有∠α和∠β，则∠α和∠β的大小关系是

.∠α＞∠β知识点二：角的和差3.将一副直角三角板如图摆放，则∠ADC的度数为()A.75°B.120°C.135°D.150°C4.如图，∠AOC＝

＋

＝

－

，∠BOC＝

－

＝

－

.∠AOB∠BOC∠AOD∠COD∠BOD∠COD∠AOC∠AOB

D6.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD的度数为

.110°7.如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON＝

.135°8.在15°，65°，75°，135°的角中，能用一副三角尺画出来的有()A.1个B.2个C.3个D.4个C9.(雨花区期末)如图，OC是∠AOB的平分线，∠DOC＝3∠BOD，∠BOD＝18°，则∠AOD的度数为()A.72°B.80°C.90°D.108°C10.(金安区期末)如图，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.(1)如果∠BOC＝40°，∠MON＝80°，那么∠AOD的度数为

；(2)如果∠AOD＝x°，∠MON＝80°，那么∠BOC的度数为

(用含x的代数式表示).120°(160－x)°【解析】(2)由角的加减可得∠AOM＋∠DON，易得∠BOM＋∠CON，再利用∠BOC＝∠MON－(∠BOM＋∠CON)可得结果.11.如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，(1)∠BOD的度数为

；(2)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.155°解：(2)因为∠COE＝∠DOE－∠DOC＝65°，∠BOC＝180°－∠AOC＝130°，所以∠BOE＝∠BOC－∠COE＝65°.所以∠COE＝∠BOE，所以OE平分∠BOC.12.如图，射线OB，OC在∠AOD的内部，且∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶5∶3.若射线OM平分∠AOD，且∠BOM＝45°，求∠AOD的度数.

13.【特例探究】(1)将一张长方形纸片按如图①所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为

；(2)将一张长方形纸片按如图②所示的方式折叠，BC，BD为折痕，若∠A′BE′＝50°，则∠CBD的度数为

；90°115°【规律总结】(3)将一张长方形纸片按如图③所示的方式折叠，BC，BD为折痕，若∠A′BE′＝α，则∠CBD的度数为

(用含α的式子表示).

第2课时余角和补角1.如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为

；如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为

.2.同角(或等角)的补角

，同角(或等角)的余角

.补角余角相等相等

【自主解答】

【名师支招】1.已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角的概念直接计算即可.但要注意角度相减时要度、分、秒分别相减，并注意角度单位的进制，往往将90°或180°化成如下形式：90°＝89°59′60”，180°＝179°59′60”.2.解有关余角和补角的问题时，先把这个角设成未知数，再根据这个角的余角、补角之间的关系列出方程，最后求出结果.知识点一：余角和补角的定义1.若α＝29°45′，则α的余角的度数为()A.60°55′B.60°15′C.150°55′D.150°15′B2.如图，∠ACE的补角、余角分别是()A.∠ECB，∠ECDB.∠ECD，∠ECBC.∠ACB，∠ACDD.∠ECB，∠BCDA3.若两个角互补，则（

）A.这两个角都是锐角B.这两个角都是钝角C.这两个角一定一个是锐角，一个是钝角D.以上答案都不对D4.已知∠α与∠β互为余角，且它们的度数之比为2∶3，求∠α，∠β的补角的差.解：设∠α＝2x，则∠β＝3x，由题意得∠α＋∠β＝2x＋3x＝90°，解得x＝18°.所以∠α＝36°，∠β＝54°.所以∠α，∠β的补角的差为180°－∠α－(180°－∠β)＝∠β－∠α＝18°.知识点二：余角和补角的性质5.若∠α＝∠β，∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，则∠1与∠2的大小关系是

，理由是

.∠1＝∠2等角的补角相等6.如图，O是直线EF上一点，∠DOE＝90°.(1)写出图中互为余角的角；(2)写出图中互为补角的角；(3)若∠1＝∠2，写出图中其他所有相等的角.解：(1)∠1与∠AOD互为余角；∠2与∠BOD互为余角.(2)∠AOF与∠1互为补角；∠EOD与∠FOD互为补角；∠BOE与∠2互为补角.(3)∠AOD＝∠BOD，∠AOF＝∠BOE，∠EOD＝∠FOD.7.若∠α＝90°－m°，∠β＝90°＋m°，则∠α与∠β的关系是（

）A.互补B.互余C.和为钝角D.和为周角A8.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，则其中使∠α与∠β互余的摆放方式是（

）A9.如果∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，有下列结论：①∠3－∠2＝90°；②∠3＋∠2＝270°－2∠1；③∠3－∠1＝2∠2；④∠3>∠1＋∠2.其中正确的有（

）A.1个B.2个C.3个D.4个D10.已知一个角是它余角的3倍，那么这个角的度数为

.11.OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，则∠AOC的度数为

.67.5°40°或120°12.如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC∶∠AOE＝3∶1.(1)∠COD的度数为

；(2)图中有哪几对角互为余角？22.5°解：(2)图中互为余角的有∠AOE与∠DOE；∠EOD与∠COD；∠COD与∠BOC；∠BOC与∠AOE.(3)图中有哪几对角互为补角？解：图中互为补角的有∠AOE与∠BOE；∠AOD与∠BOD；∠EOC与∠AOD；∠EOC与∠BOD；∠COD与∠BOE；∠DOE与∠AOC；∠AOC与∠BOC.13.如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，以相同的速度从OB出发，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为ts，当OC旋转到与OD重合时，OC，OD都停止运动.(1)猜想：∠AOC＋∠AOD＝

°；180(2)已知射线OE始终平分∠BOD，射线OF在∠COD内，且满足∠BOD与∠EOF互余.①当t＝3s时，∠EOF＝

°；②在运动过程中，试探究∠BOF与∠COF之间有怎样的数量关系，并说明理由.60

第3课时用尺规作角

C

B3.(庐阳区期末)如图，已知∠AOB，∠DCE，利用尺规作图，比较它们的大小(不写作法，保留作图痕迹).解：如图所示，∠AOB＞∠DCE.