3.2水平面内的圆周运动

学而优教有方.2水平面内的圆周运动【知识梳理】1．汽车转弯问题(1)汽车在水平路面上转弯时，有向滑的趋势，地面会对汽车产生指向的静摩擦力。(2)根据公式知，弯道半径一定，汽车速度超过一定限度时，汽车就会向滑。2．飞机转弯问题飞机转弯时所需的向心力由和空气对它的作用力的合力提供。3．火车转弯问题(1)转弯处设计。(2)火车以规定速度行驶时，恰好由和的合力提供向心力。1．轨道平面的分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面。火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。2．向心力来源的分析如图所示，火车速度合适时，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝。3．规定速度的分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道侧压力。则mgtanθ＝meq\f(v02,r)，可得v0＝(r为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)。4．轨道侧压力的分析5．汽车过凸形桥和凹形桥(1)汽车驶过凸形路面的顶端时，如图甲所示，由向心力公式G－N＝eq\f(mv2,R)知，N<G。根据牛顿第三定律知汽车在凸形路面的顶端时对路面的压力汽车的重力。(2)汽车在凹形路面底部时，如图乙所示，由向心力公式知，N>G。根据牛顿第三定律知汽车在凹形路面底部时对路面的压力汽车的重力。6．实验室的“过山车”当小球沿圆环内侧轨道经过最高点时，向心力F＝，根据向心力公式可得。(1)当N＝0时，，小球恰好能通过最高点，此时，小球的速度，所需的向心力完全由提供。(2)小球能通过最高点的条件是在最高点的速度大小。答案；外侧、内侧、f＝meq\f(v2,r)、外侧、重力、外高内低、重力、支持力、mgtanθ、eq\r(grtanθ)、小于、N－G＝eq\f(mv2,R)、大于、mg＋N、mg＋N＝meq\f(v2,r)、mg＝meq\f(v2,r)、v＝eq\r(gr)、重力、v≥eq\r(gr)【例题】1．关于铁轨转弯处内、外轨间的高度关系，下列说法正确的是()A．内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故B．因为列车转弯处有向内倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车翻倒C．外轨比内轨略高，这样可以使列车顺利转弯，减少车轮对铁轨的挤压D．以上说法均不正确2.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为r，若质量为m的火车在转弯时的速度等于eq\r(grtanθ)，则()A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C．这时铁轨对火车的支持力等于eq\f(mg,cosθ)D．这时铁轨对火车的支持力大于eq\f(mg,cosθ)3．[多选]在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了()A．增加火车轮子对外轨的挤压B．增加火车轮子对内轨的挤压C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力D．限制火车向外脱轨4.火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。若已知某转弯处内、外轨道所在平面与水平面的夹角为θ，火车以某一速率v通过该弯道时，内、外轨道均不受侧向压力，则下列说法正确的是()A．火车弯道的轨道半径r＝eq\f(v2,g)B．当火车速度大于v时，外轨将受到侧向压力作用C．当火车速度小于v时，外轨将受到侧向压力作用D．当火车质量改变时，要使内外轨都不受侧向压力作用，其行驶的速率v要改变5．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为r的在水平面内的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于多少？6.铁路转弯处的圆弧半径是300m，轨距是1435mm，规定火车通过这里的速度是72km/h。(1)内、外轨的高度差应为多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压？(2)保持内、外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72km/h，分别会发生什么现象？说明理由。7.有一列质量为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内、外轨一样高的弯道，轨道半径为400m。(g取10m/s2)(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，试计算路基倾斜角度θ的正切值。

参考答案1．解析：选C外轨略高于内轨，这样轨道对火车的支持力垂直于轨道平面向上，它与火车的重力的合力沿水平方向指向圆心，消除或减小车轮和轨道间的侧向挤压，有效地保护了轨道和车轮。2.解析：选C由牛顿第二定律F合＝meq\f(v2,r)，解得F合＝mgtanθ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，Ncosθ＝mg，则N＝eq\f(mg,cosθ)，内、外轨道对火车均无侧压力。3．解析：选CD火车轨道修建成外高内低，火车转弯时，轨道的支持力与火车的重力的合力指向弧形轨道的圆心，为火车转弯提供了(部分)向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压，同时在一定程度上限制了火车转弯时向外脱轨。4.解析：选B火车转弯时，内、外轨道均不受侧向压力，重力与轨道支持力的合力提供向心力，对其受力分析如图所示，则有mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(v2,gtanθ)；当速度大于临界速度v时，mgtanθ<meq\f(v2,r)，火车将做离心运动，外轨将受到侧向压力作用；当速度小于临界速度v时，mgtanθ>meq\f(v2,r)，火车将做向心运动，内轨将受到侧向压力作用；由mgtanθ＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(grtanθ)，内、外轨都不受侧向压力时，临界速度与质量无关。综上分析，B正确。5．解析：设拐弯处路面倾角为θ，对汽车受力分析，如图所示。由题意知，当mgtanθ＝meq\f(v2,r)时，其横向摩擦力等于零，所以v＝eq\r(grtanθ)＝eq\r(\f(grh,d))。6.[解析](1)如图所示，h为内外轨的高度差，d为轨距。72km/h＝20m/s，F＝mgtanα＝meq\f(v2,r)，tanα＝eq\f(v2,gr)。由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，可以近似地认为tanα≈sinα＝eq\f(h,d)。代入上式得eq\f(h,d)＝eq\f(v2,rg)，所以内、外轨的高度差h＝eq\f(v2d,rg)＝eq\f(202×1.435,300×9.8)m≈0.195m。(2)如果车速v>72km/h，火车的重力和轨道对火车的支持力的合力F将小于需要的向心力，所差的向心力仍需由外轨对外侧车轮轮缘的弹力来弥补。这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。如果车速v<72km/h，F将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向内挤压内轨的现象。7.解析：(1)v＝72km/h＝20m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需