19.1二次函数（二次函数的定义及表示形式）（课件）九年级数学上册（京改版）

复习导入一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数．请回忆函数的概念。学习目标目标1目标21.掌握二次函数的定义；目标32.掌握二次函数的一般表示形式；3.掌握根据实际问题列出二次函数的方法。自学指导仔细阅读教材P38---P39。用3分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题：1.什么是二次函数？2.如何根据实际问题列出相关的函数关系？实践探究新知交流：列出下列函数的表达式1．圆的面积A是它的半径r的函数．函数表达式：2．如图所示，利用直角的墙角，用20m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S（m2）是它的一边长a（m）的函数．分析：函数表达式：另一边长（m）（20－a）矩形的面积=长×宽（20－a）aS3．如图所示，正方形中圆的半径是4cm，其余部分的面积Q（cm2）是正方形边长x（cm）的函数．分析：函数表达式：其余部分的面积=正方形的面积-圆的面积xQ4．某种药品现价每盒26元，计划两年内每年的降价率都为p，那么，两年后这种药品每盒的价格M（元）是年降价率p的函数．分析：第一年的售价：函数表达式：第二年的售价：元元，即

元观察所列出得表达式，它们有什么共同的特点？这些表达式可以用怎样的式子来概括？函数表达式：右边：（1）整式；（2）自变量的最高次数是2次；（3）项数不同思考：你能类比一次函数的定义，也用一个一般的函数表达式来概括这四个表达式的结构特征吗？

，其中x，y分别表示自变量、因变量，a，b分别是二次项、一次项的系数，c是常数项．函数表达式：思考：对于常数a，b，c的取值有限制吗？它们可以为0吗？二次函数的定义一般地，我们把形如

的函数叫做二次函数，其中a，b分别是二次项、一次项的系数，c是常数项．思考：在二次函数

中，自变量的取值范围是什么呢？由于

是整式，故x可以取全体实数，所以自变量的取值范围是全体实数．

知识要点典型例题

C典型例题例

下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．（1）y＝3﹣2x2；（2）y＝x（x﹣1）+1；（3）y＝2x（1﹣x）+2x2．解：（1）根据二次函数的定义可知y＝3﹣2x2是二次函数，其中a＝﹣2，b＝0，c＝3；（2）∵y＝x（x﹣1）+1＝x2﹣x+1，根据二次函数的定义可知y＝x2﹣x+1是二次函数其中，a＝1，b＝﹣1，c＝1；（3）∵y＝2x（1﹣x）+2x2＝2x﹣2x2+2x2＝2x，没有二次项，∴y＝2x（1﹣x）+2x2不是二次函数．练一练下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．（1）y＝3﹣2x2；（2）y＝x（x﹣1）+1；（3）y＝2x（1﹣x）+2x2；（4）y＝（x+3）（3﹣x）．分析：首先将原方程化简，再根据二次函数的定义解答问题；接下来根据a是二次项系数，b是一次项系数和c是常数项来回答即可．解：（1）y＝3﹣2x2，是二次函数，其中a＝﹣2，b＝0，c＝3；（2）整理为y＝x2﹣x+1，是二次函数，其中a＝1，b＝﹣1，c＝1；（3）整理为y＝2x，不是二次函数；（4）整理为y＝﹣x2+9，是二次函数，其中a＝﹣1，b＝0，c＝9．总结只需判断函数表达式是否可以写成

的形式，即是否满足三个条件：（1）等式右边为整式；（2）自变量的最高次数为2次；（3）二次项的系数不能为0．1.如何判断一个函数是否为二次函数？2.在确定二次函数a，b，c的值时应注意什么呢？（2）最后写出a，b，c的值，注意不要丢掉负号．（1）先进行观察，再整理为

的形式．典型例题分析：周长增大的部分y₁和面积增大的部分y2,分别是两个正方形周长的差和面积的差，例

已知：如图,一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形.那么,周长增大的部分y₁(cm)和面积增大的部分y₂(cm²)分别是x(cm)的函数.求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中a,b,c的值.解：根据题意，得y₁=4(x+8)-4×8.整理，得y₁=4x.它是形如y=kx(k=0)的函数，所以它是正比例函数根据题意，得y₂=(x+8)²-8².整理，得y₂=x²+16x.如图，将一根长30cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15练一练B

总结自变量的取值范围表达式有意义符合实际意义如果一个函数表达式是由实际问题得到的，那么在确定此函数自变量的取值范围时应注意什么呢？知识要点例张大叔要围成一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用总长为60m的篱笆恰好围成的鸡场，如图所示，设AB边的长为x

m，长方形ABCD的面积为S

m2，求S与x关系式及x的取值范围．

解：S＝x（60-2x）＝-2x2+60x∵0＜60-2x≤35，∴12.5≤x＜30．典型例题基础检测

解：（3）函数关系式可化简为：y＝3（x2+2）﹣3（1﹣x）2＝3x2+6﹣3+6x﹣3x2＝6x+3，y不是x的二次函数；（4）函数关系式可化简为：y＝（2x+3）（3x﹣4）﹣x（4x+1）＝6x2+x﹣12﹣4x2﹣x＝2x2﹣12，y是x的二次函数，其中a、b、c的值分别是2，0，﹣12．2.用40cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（）A．y＝x2 B．y＝﹣x2+40x C．y＝﹣x2+20x D．y＝﹣x2+20

C分析:先根据矩形一边长为xcm，周长为40cm得出另一边长为20﹣x（cm），再根据矩形的面积公式可得答案．一展身手1.一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（）A．y＝240（1﹣2x） B．y＝240（1+2x）

C．y＝240（1﹣x）2 D．y＝240（1+x）2C2.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（）A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2xB2.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（）①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系；②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系．A．① B．② C．③ D．①③C1.某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）A．y＝10（1+x）3 B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2

C．y＝10+10x+x2 D．y＝10（1+x）2B解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴该厂今年二月份新产品的研发资金为10（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为10（1+x）2万元．根