2.4圆周角（第3课时）（课件）九年级数学上册（苏科版）

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圆周角（3）第3课时圆的内接四边形学习目标1．了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念；2．掌握圆内接四边形的性质，会利用性质进行简单计算和证明.问题导学

你还记得“三角形的外接圆”、“圆的内接三角形”的定义吗？问题导学CABO

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.类比归纳CABOD如何定义“四边形的外接圆”、“圆的内接四边形”呢？一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．类比归纳CABOD

注意：“接”是指四边形的4个顶点都在圆上，“内”、“外”是相对的；

三角形的外接圆有且只有一个，四边形的外接圆是否也一定存在，且有且只有一个呢？经过任意四点不一定可以作一个圆.但一个圆的内接四边形却有无数个.1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径.

∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？思考与探索CABOD

因为BD是直径，所以

∠A＝90°，∠C＝90°，∠A与∠C互补.1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径.

∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？思考与探索CABOD

由∠A＋∠C＝180°，可知∠ABC与∠ADC互补.2.

如图，若圆心不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，小明、小丽发现的结论是否仍然成立？思考与探索

作直径DE，可得∠BAE＝∠BCE，这样∠DAB＋∠DCB＝∠DAE＋∠DCE＝180°.CABDEO

2.

如图，若圆心不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，小明、小丽发现的结论是否仍然成立？思考与探索ABDOC新知归纳圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的性质定理：ABDOC符号语言表示：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘.例题讲解例1如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°.求∠BOD的度数.BACDO解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形的对角互补).∵∠C＝130°，∴∠A＝180°－∠C＝180°－130°＝50°.∴∠BOD＝2∠A＝2×50°＝100°.还有其他方法吗？例题讲解变式1如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝100°.

则∠ACB＝_______.BOACD50°130°260°100°例题讲解注意分两种情况：角的顶点在优弧AB上或者劣弧AB上，也可以说是在弦AB的上方或者下方.变式2如图，点A、B是⊙O上两点，C为⊙O上任意一点，若∠AOB＝100°.

则∠ACB＝__________.BOAC150°100°C250°或130°例题讲解

BDAOEC

110°例题讲解变式

如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=30°,∠AED=110°,求∠ABC的度数.解法1：∵四边形ACDE是圆的内接四边形，∴∠AED＋∠ACD＝180°.∵∠AED＝110°，∴∠ACD＝180∘－∠AED＝180∘－110°＝70°.在△ACD中，∠ADC＝180∘－∠CAD－∠ACD＝180∘－30°－70°＝80∘

，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∴∠ABC＝180∘－∠ADC＝180∘－80∘＝100°.CABOED30°110°例题讲解变式

如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=30°∠AED=110°，求∠ABC的度数.解法2：连接BD.∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠AED＋∠ABD＝180°.∵∠AED＝110°，∴∠ABD＝70°.∵∠CAD＝30°，∴∠CBD

＝∠CAD＝30°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD

＝100°.CABOED30°110°新知巩固1.下列说法正确的是(

)A．任意一个四边形都有外接圆B．一个圆只有唯一一个内接四边形C．菱形有一个外接圆D．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆D新知巩固2.圆的内接平行四边形是矩形吗？为什么？COABD解：如图，▱ABCD是⊙O的内接四边形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°.∴∠A＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形.圆的内接菱形是_______.正方形3.

在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3∶4∶6.求四边形ABCD各内角的度数.解：设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝6x°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，∴3x°＋6x°＝180°，解得，

x＝20.∴∠A＝3×20°＝60°，∠B＝4×20°＝80°，∠C＝6×20°＝120°.∴∠D＝180∘－∠B＝180∘－80∘＝100∘新知巩固新知巩固4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角.

若∠D＝100°，求∠CBE的度数.BDAOEC解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＋∠ABC＝180°.又∵∠CBE＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBE.∵∠D＝100°，∴∠CBE＝100°.拓展：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.BDAOEC变式1

如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角.∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？√√解：相等.理由如下：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB＋∠DCB＝180°.又∵∠DAB＋∠DAE＝180°，∴∠DCB＝∠DAE.在△DBC中，∵DB＝DC，∴∠DCB＝∠DBC.又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE=∠DAC.拓展与延伸拓展与延伸BDAOEC变式2如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，连接DB、DC.(1)求证：△DBC是等腰三角形；

拓展与延伸变式2如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，连接DB、DC.(2)F为BC上一点，请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由.BDAOECF(2)解：若F为BC中点，则DF经过圆心.∵△DBC是等腰三角形，F为BC中点,∴DF是BC边上的中垂线.∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，∴DF必过圆心.归纳总结2.与圆周角有关的问题：弦的条件需转化成弧的条件.1.对于圆内接多边形:角：既可以看作是多边形的内角，也可以看作是圆的圆周角；线段：既可以看作是多边形的边，也可以看作是圆的弦.圆内接四边形的定义拓展：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.课堂总结圆内接四边形的性质—对角互补当堂检测基础过关

B当堂检测基础过关

C当堂检测基础过关3.（2022·四川南充·模拟预测）已知矩形的两边长分别为6和8，则矩形的四个顶点在以____________为圆心，以____为半径的圆上．对角线交点54.圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则这个四边形最大角的度数是________.135°当堂检测基础过关

64°当堂检测基础过关

当堂检测综合提升

B当堂检测综合提升

C

当堂检测综合提升C当堂检测综合提升4.有下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正