正弦定理和余弦定理的综合应用习题课课件高一下学期数学人教B版

第九章解三角形习题课正弦定理和余弦定理的综合应用人教B版

数学

必修第四册重难探究·能力素养全提升探究点一三角形解的个数的判断【例1】

根据下列条件,判断解三角形时是否有解,若有解,有几个解?(2)a=60,b=48,B=60°;(3)a=7,b=5,A=80°;(4)a=14,b=16,A=45°.∵b>a,∴B>A,∴B可能为锐角,也可能为钝角,即有两解.方法二(从几何角度)(1)∵A>90°,且a>b,∴有一解,即这样的三角形是唯一的.(3)∵a=7,b=5,A=80°,a>b,∴有一解,即这样的三角形是唯一的.规律方法

已知两边和一边的对角判断三角形解的个数的两种基本方法(1)代数法:已知a,b,A求B,则

,求出角B的正弦值,再结合大边对大角等判断解的个数.(2)几何法:如下表.变式训练1(1)[2023浙江海曙校级期中]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=45°,a=2,c=x,若△ABC有两个解,则x的取值范围为(

)C解析

若△ABC有两个解,则x>a,且a>xsin

A.因为a=2,A=45°,所以2<x<.故选C.(2)已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.①a=10,b=20,A=80°;②a=,b=6,A=30°.解①因为bsin

A=20sin

80°>20sin

60°=,所以a<bsin

A,所以此三角形无解.②因为bsin

A=6sin

30°=3,所以bsin

A<a<b,所以此三角形有两解.探究点二边角互化【例2】

(1)[2023重庆模拟]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为A(2)在△ABC中,(a-c·cosB)sinB=(b-c·cosA)sinA,判断△ABC的形状.解(方法一)因为(a-c·cos

B)sin

B=(b-c·cos

A)·sin

A,所以由正弦定理、余弦整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2=b2或a2+b2-c2=0,所以a=b或a2+b2=c2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.(方法二)由题意及正弦定理,得(sin

A-sin

Ccos

B)·sin

B=(sin

B-sin

Ccos

A)sin

A,即sin

Ccos

Bsin

B=sin

Ccos

Asin

A.因为sin

C≠0,所以sin

Bcos

B=sin

Acos

A,即sin

2B=sin

2A.因为A,B为△ABC的内角,所以2B=2A或2B+2A=π,即A=B或A+B=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.规律方法

边角互化的策略(1)设△ABC的外接圆的半径为R.正弦定理的变形:①a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C;ABD探究点三三角形中的取值范围(最值)问题【例3】

(1)[北师大版教材例题]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知A是锐角,且cos2A=.①若mbc=b2+c2-a2,求实数m的值;②若a=,求△ABC面积的最大值.变式训练3(1)在锐角三角形ABC中,(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=3,则b2+c2的取值范围是(

)A.(9,18] B.(15,18) C.[9,18] D.(15,18]D(2)[2023江苏新沂校级月考]在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin22A+cos2A=1.①求角A;②若a=,