24.1.2垂直于弦的直径课件人教版数学九年级上册

1.能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形2.能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.3.能利用垂径定理解决相应问题.学习目标垂直于弦的直径第二十四章

圆这是赵州桥，建于1400多年前的隋朝，是一座世界闻名的石拱桥,整个桥身是圆弧的一段，长50多米，宽9米多，这么长的桥，全部用石头砌成，没有桥墩，横跨在37米宽的河面上，这样巨型的跨度，在当时是首屈一指。是建桥史上的一个创举，比欧州19世纪建造的同类拱桥早一千二百多年，赵州桥经历了洪水，地震的袭击和一千多年使用的考验，依然雄姿焕发，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境问

题（一）剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？活动1：探索轴对称问

题（二）不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.例1求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外

的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.

在△OAA′中，∵OA=OA′圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

∴△OAA′是等腰三角形.又∵AA′⊥CD，(三线合一）

∴AM=MA′即CD是AA′的垂直平分线，那么对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′ABD┐EC活动2：探索垂径定理

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．根据圆的对称性，你发现图中有哪些相等的线段和弧？CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①过圆心②垂直于弦题设结论DOABEC垂径定理定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。ABD┐ECAE＝BE⌒⌒AC＝BC⌒⌒AD＝BD几何语言：CD是直径所在直线，CD⊥AB定理简史欧几里得(古希腊数学家，公元前330年-公元前275年)《几何原本》第I卷中的第12个命题即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。欧几里得是谁？《几何原本》是什么？思考：下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？牛刀小试图1图2图3图4图5图6图7图8OO(E)O(E)AAABBBCCCDDD才有直径CD垂直弦AB，平分弦AB所对的两条弧。EAB是弦，但不能是直径时，垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.活动3垂径定理推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE活动3几何语言

根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心

（2）垂直于弦

（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧

（5）平分弦所对的劣弧

上述五个条件中的任意

个条件都可以推出其他

个结论.即知二推三注意两三例2如图：⊙O的半径是5cm，弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离。OE·AB圆心到弦的距离叫做弦心距。又OA=5cm解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB,垂足为E,学以致用1：则AE=EB=AB=6=3(cm)变式1：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求⊙O的半径。则AE=EB=AB=8=4(cm)解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB,垂足为E,又OE=3cmABOE┐变式2：在半径为5㎝的圆中，圆心O到弦AB的距离为3㎝，求AB的长。方法总结：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题．解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB,垂足为E,又OA=5cm;OE=3cm;E则AB=2AEAB的长为8cm.ABO┐赵州桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)AB为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)CD为7.23m,你能求出桥拱所在圆的半径吗？┐学以致用2：回归求赵州桥拱半径的问题如何确定圆心？弦的垂直平分线必经过圆心7.23m37mDCAB┐解得：r

≈27．3（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.37m7.23m解决求赵州桥拱半径的问题⊙Ｏ解：如图，设的半径为rm,

OA=r,AB=37，CD=7.23,

OD=OC－CD=r－7.23，AD=18.5r垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．r2=（a）2+d2OA2=AE2+OE2拓展提升圆材埋壁问径几何？“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题。今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？圆材埋壁问径几何？今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表述为：“如图，CD为的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=１寸，AB=10寸，求直径CD的。”解：连接OA，设OA=r,由CE=1寸，则OE=（r-1）寸CD为直径，弦AB⊥CD，AB=10寸高速公路的隧道，形状是圆的一部分，如图，路面AB是10米，净高CD是7米，则圆的半径OA是多少米？拓展提升ABCDO⊙Ｏ解：如图，设的半径为r,

OA=r,AB=10，CD=7,

OD=CD－OC=7-r，AD=5在Rt△OAD中，由勾股定理，得∴隧道圆的半径是米.

一、圆是轴对称图形，其对称轴是其任意一条过圆心的直线（或直径所在直线．）课堂小结:三、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦