35-第三章习题课(概率统计)

第三章多维随机变量及其分布习题课三习题课三归纳第三章的概念、理论与方法等内容，在“例题分类解析”部分，讲解了：二维随机变量及其分布的概念及性质；二维离散型随机变量的分布律；二维连续型随机变量的分布函数；边缘分布律与条件分布律;

随机变量落入平面区域内的概率计算；

两个随机变量的独立性的判定；

两个随机变量函数的概率分布.三、学习与研究方法.习题课三内容简介：

本章重点：1.二维随机变量分布函数的概念和性质；2.边缘分布的概念；3.条件分布的概念；4.随机变量的独立性；5.简单随机变量函数的概率分布.本章难点：

1.二维连续型随机变量的概率计算；

2.连续型随机变量边缘概率密度的计算；

3.随机变量的独立性的判定和应用问题；

4.简单随机变量函数的概率分布的计算.

一、主要内容归纳1.分布函数F(x,y)及其性质表3-1二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)及其性质二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为性质:(1)≥0;(2)分布函数:表3-2二维离散型随机变量及其性质2.二维离散型随机变量及其性质表3-3二维连续型随机变量及其性质设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y).性质:

(1)f(x,y)≥0;

(2)

(3)

,(x,y)为f(x,y)的连续点;

(4)

分布函数:

3.二维连续型随机变量及其性质离散型随机变量二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数为表3-4边缘分布4.二维随机变量的边缘分布二维随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘概率密度为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数为连续型随机变量5.二维随机变量的条件分布表3-5条件分布离散随机变量二维随机变量(X,Y)在条件下X的条件分布律为二维随机变量(X,Y)在条件下Y的条件分布律为xiX=二维随机变量(X,Y)在条件Y=y下X的条件概率密度为条件分布函数为

二维随机变量(X,Y)在条件X=x下Y的条件概率密度为条件分布函数为连续型随机变量

3-6随机变量的独立性随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立,其中f(x,y),fX(x),fY(y)分别是(X,Y)的概率密度和边缘密度.连续型随机变量随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:对于(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)均成立.离散型随机变量若对任意的数x,y,

满足F(x,y)=Fx(x)FY(y),则称随机变量X与Y相互独立.其中F(x,y),FX(x),FY(y)分别是(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.定义6.随机变量的独立性表3-7常见两个随机变量函数的分布设X,Y为连续型随机变量,Z=X+Y的分布函数为≤≤Z}

设X,Y为离散型随机变量,

Z=X+Y的分布律为或Z=X+Y

7.简单随机变量函数的分布N的分布函数为

，其中X,Y相互独立.N=min{X,Y}

M的分布函数为

其中X,Y相互独立.

M=max{X,Y}Z=X+Y的概率密度为若X,Y相互独立,则有8.重要结论表3-8重要结论1.二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且都不依赖于参数ρ.2.一般地,单由关于X和Y的边缘分布不能唯一确定X和Y的联合分布.

3.对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0.4.有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

9.重要二维分布及其性质表3-9重要二维分布及其性质二维随机变量(X,Y)的概率密度为其中SG表示平面区域G的面积.

均匀分布二维随机变量(X,Y)的概率密度

其中.记作二维正态分布的性质:

1.

2.

正态分布

二、例题分类解析1.二维随机变量及其分布的概念和性质

例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为求:(1)常数A,B,C;(2)

(X,Y)的概率密度.解(1)由分布函数的性质有令x=0,y=0,由此解得故有(2)(X,Y)的概率密度为

注：本题考查了分布函数的性质在确定其表达式中待定参数的应用,考查了分布函数和概率密度之间的运算关系.求分布函数表达式中的待定常数是一个常见问题.此例的解法具有通用性.2.二维离散型随机变量的分布律设某班车起点站上客人数X服从参数为的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数.求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.

例2

由于乘客下车与否相互独立,所以第一个问题可看成是一个n重伯努利试验问题涉及到条件概率;第二个问题中的两个随机变量都是离散型的,同时涉及到概率乘法公式分析(1)解0≤m≤n,n=0,1,2,….(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布为≤m≤n,n=0,1,2,….

例3

甲、乙两人独立地各进行两次射击.假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数.试求X和Y的联合概率分布.分析由于X和Y相互独立,所以此题目用到二项分布.X服从参数为n=2,p=0.2的二项分布,Y服从参数为n=2,p=0.5的二项分布.它们的概率分布分别为解X012P{X=i}0.640.320.04Y012P{Y=j}0.250.50.25由于X和Y的独立,可得X和Y的联合概率分布为

YX01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01

3.连续型随机变量的分布函数

例4

已知随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布函数F(x,y).分析本题涉及联合分布函数为分段形式的计算,即计算二重积分解根据定义X和Y的联合分布函数(2)当x>1且y>1时,有(3)当0≤x≤1且0≤y≤1时,有≤x,Y≤y}=

在计算中应注意区域的划分和f(x,y)的分段表达式.

(1)当x<0或y<0时,有;(4)当0≤x≤1且y>1时,有(5)当x>1且0≤y≤1时,有故X和Y的联合分布函数为4.边缘分布律和条件分布律

例5

设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的分布律及其关于X和Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中空白处.1x2

x1

y3y2y1YX解所以有首先,

由于在此基础上利用X和Y的独立性,有于是再次,利用X和Y的独立性,有于是最后,利用X和Y的独立性,有因此得到下表y3y2y1x1

YX

1x2

例6

设二维随机变量(X,Y)在圆域x2+y2≤1上服从均匀分布.求:

(1)关于X和Y的边缘概率密度;

(2)条件概率密度.分析由于(X,Y)服从均匀分布,所以解由题设知,(X,Y)的联合概率密度为(1)当x<-1或x>1时,由于f(x,y)=0,所以当-1≤x≤1时,于是关于X的边缘概率密度为利用对称性,可得关于Y的边缘概率密度为(2)因为,注意到当时,f(x,y)才不为零,时,有

因此,当

类似地,可以求得在条件“X=x”下,当-1<x<1时Y的条件概率密度.即在条件“Y=y”下,当-1<y<1时X的条件概率密度为5.随机变量落入平面区域内的概率例7

已知随机变量X和Y的联合概率密度为求P{X<Y}.解由概率密度求概率的计算公式,可得练习: 计算概率P{2X+1<Y},P{X+Y<1}.6.两个随机变量的独立性的例子例8

设(X,Y)的分布律为问当α,β取何值时,X与Y相互独立?β

α

(2,3)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)(X,Y)Pij

分析:首先,由分布律求得边缘分布律解1β+α+p.j

+α+β

β

α

21pi.321YX对所有的i,j都要成立.因此又涉及计算边缘分布律.离散型随机变量的独立性需要考虑充要条件故可得方程组解得pij=pi.p.j(i=1,2;j=1,2,3).由于边缘分布满足相互独立的等价条件为

,又X,Y经检验,此时,对于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.因此当X与Y相互独立.

例9

一电子仪器由两个部件构成,

X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为问X和Y是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.由于题设给出的是联合分布函数,所以独立性只需检验因此，需要计算X和Y的分布函数.是否成立.分析解

(1)X和Y的分布函数分别为由于F(x,y)=FX(x)FY(y),所以X和Y相互独立.(2)

例10

设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律,且X的分布律为PX10求随机变量Z=max{X,Y}的分布律.7.两个随机变量函数的分布这是一个离散型随机变量函数的分布律的问题.Z的可能取值为0,1,然后再分析Z取这些值的概率.分析解由题设知,Z的可能取值为0,1.Y}=0,即意味着X=0,Y=0.又由于X和Y相互独立,所以

Z=max{X,由对立条件的概率得出故Z=max{X,Y}的分布律为P10Z均匀

分布，试求Z=X+Y的概率密度(计算结果用标准正态分布函数(Z)表示).

例11

设随机变量X与Y相互独立,X服从正态分布,Y服从区间上的Z=X+Y的分布是一种非常重要的分布.因X与Y相互独立,故可使用卷积公式直接计算其概率密度.本题目还需熟悉均匀分布和正态分布的概率密度.分析解由题意知,X的概率密度为Y的概率密度为由卷积公式知,Z的概率密度为作变量代换，可得

例12

设X与Y相互独立,且服从参数为的指数分布,求:(1)U=max{X,Y}的概率密度;(2)V=min{X,Y}的概率密度.直接利用表3-7中公式计算即可.分析

X和Y的概率密度和分布函数分别为解(1)由于X与Y相互独立,U=max{X,Y}的分布求导,可得U的概率密度函数为(2)由于X与Y相互独立,V=min{X,Y}的分布函求导,可得V的概率密度为数为

例13

假设一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为λ>0的指数分布.当三个元件都无故障时电路正常工作,否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T的概率分布.记Xi(i=1,2,3)表示第i个元件无故障工作时间,则T=min{X1,X2,X3}.实际上可以看作三个元件串联时构成的电路系统.分析记Xi(i=1,2,3)表示第i个元件无故障工作的时间,则X1,X2,X3相互独立同分布,其分布函数为解设T的分布函数为G(t).由于T=min{X1,X2,X3},当t>0时,≤t}当t≤0时,G(t)=0;所以故即T服从参数为3λ的指数分布.求随机变量Z=X+2Y的分布函数.例14

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)当z≤0时，,F(z)=0;因联合概率密度已知,只需按分布函数的定义计算即可.分析解Z的分布函数为≤z}=

≤

(2)当z>0时,故例15

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度分别为求随机变量的概率密度.由于随机变量X,Y相互独立,所以(X,Y)的概率密度为由于随机变量X,Y相互独立,所以X,Y的联合概率密度易得.这就变成了求随机变量函数的分布问题.见例14题型.分析解Z的分布函数为≤

下面来计算这个二重积分.(1)当≤0时,即z