2022届河南省豫北名校高三高中毕业班大联考阶段性测试六数学文试题解析版

2022届河南省豫北名校高三高中毕业班大联考阶段性测试（六）数学（文）试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】得出运算结果由复数的几何意义判断【详解】，在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D2．已知A，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】画出韦恩图，对四个选项一一进行判断.【详解】画出韦恩图，显然，A错误；，故B正确，，C错误；，D错误.故选：B3．函数的图象的一条对称轴方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，求出图像的对称轴，然后逐项代入求出，为整数即可解的答案.【详解】解：由题意得：令，可得当时，当时，当时，当时，故选：D．4．已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由函数的对称性有，结合上函数解析式得、关于参数m、n的表达式，进而求m、n，即可得结果.【详解】依题意，，又，所以①，而②，联立①②，解得：，，则．故选：C5．若，满足约束条件则的最大值为（

）A．9 B．7 C． D．-6【答案】B【分析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．观察可知，当直线过点时，取得最大值．【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．观察可知，当直线过点时，取得最大值．联立解得故的最大值为．故选：B6．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意中给的定义可知该扇形的圆心角为，结合扇形的面积公式计算即可.【详解】依题意，该扇形的圆心角为．又，故所求扇形的面积为．故选：A.7．已知在锐角中，，点M在边AC上，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用正弦定理边化角对等式变换求出的值，再由角平分线的性质利用面积相等求解即可.【详解】依题意，由正弦定理可得，解得，因为，故．而，故，解得故选：D．8．已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如图将三棱柱的上底面ABC沿AC展开至与平面共面，则，利用余弦定理求出即可.【详解】如图，将三棱柱的上底面ABC沿AC展开至与平面共面，此时．因为，且，由余弦定理可得，解得，所以的最小值为．故选：A.9．已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，点在椭圆C上，若点满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线垂直，点斜式得到的直线方程，联立解得点的坐标，再由点在椭圆上，即可得出的关系，即可求解.【详解】由题可知，．因为，，故直线QA：，直线QB：，联立两式，解得又，所以，所以．故选：B10．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论：①该生物种群的数量不超过40000只；②该生物种群数量的增长速度逐年减小；③该生物种群数量的年增长量不超过10000只．其中所有正确说法的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意可知，求出，然后得，化成带分式便可求出的取值范围判断①，对求导，根据单调性便可求出增长速度，可判断②③.【详解】解：由题意得：，即，解得，故．因为，故①正确；因为，可知当时，单调递增，当时，单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故②错误；当时，，故③正确.故选C．11．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据题目不等式构造，得到，构造，，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.【详解】依题意，．令，则．令，，则，所以在上单调递减，则，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以在上恒成立，故在上恒成立，其中在单调递增，故．所以，实数的取值范围是.故选：D【点睛】同构思想，在利用导函数求解参数的取值范围问题上，经常考察，通常题目特征为题干条件中同时出现了指数函数和对数函数，则可以考察同构的方法.12．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点在的一条渐近线上，且（点为坐标原点），直线与轴交于点．若直线过线段的中点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线方程可求得点坐标；将直线方程与渐近线方程联立可得点坐标，由此可得直线方程，进而得到点坐标；根据为中点可构造关于的齐次方程，进而得到双曲线离心率.【详解】设中点为，即直线交轴于，由双曲线方程知：一条渐近线方程为，，，则直线方程为：，令，则，即；由得：，即，，直线方程为：，令，则，又为中点，，则，即，，解得：（舍）或.故选：C.二、填空题13．已知向量，，若，则实数_____________．【答案】【分析】先求出的坐标，再根据垂直的坐标表示列出方程，即可求出的值.【详解】依题意，故，解得．故答案为：.14．已知等差数列的前项和为，且，，则_____________．【答案】770【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求解【详解】由题意得，解得故．故答案为：77015．已知正八边形如图所示，则往正八边形内随机投掷一颗石子（大小不计），该石子落在阴影区域内的概率为_____________．【答案】【分析】设正八边形的中心为，连接，，设，，则，在中，由余弦定理可得：，进一步求出正八面形的面积和三角形的面积，再利用几何概型的概率公式即可求出答案.【详解】如图，设正八边形的中心为，连接，，设，，则．在中，由余弦定理可得，解得．所以正八边形的面积为：．而，故所求概率．故答案为：.16．已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．【答案】【分析】由题意求出的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解【详解】设，则，整理得．设，．联立整理得，故①，②．又，故③．联立①②③，解得．故答案为：三、解答题17．已知在数列中，，，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）分n为奇数和偶数两种情况，求出数列的通项公式，合并可得答案.（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法，求得数列的前n项和.【详解】(1)由题意，可知当时，，故，当时，，故．综上所述，．(2)依题意，．故，，两式相减可得，化简可得．18．为了检验高三学生的体能情况，某校对高三所有学生进行了一次体能测试，将测试成绩（单位：分）统计后绘制成频率分布直方图（每组区间包含左端点不包含右端点），如图所示．(1)求的值；(2)求这些学生体能测试的平均成绩（每组用该组区间的中点值作代表）；(3)现用分层抽样的方法从成绩在，内的学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人的成绩都在内的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由所有小矩形面积之和为可构造方程求得；（2）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（3）根据频率分布直方图可知成绩在内的有人，在内的有人，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件，由古典概型概率公式可得结果.【详解】(1)由题意得：，解得：.(2)平均成绩为：.(3)由题意知：这人中成绩在内的有人，记为；成绩在内的有人，记为，则任取人，所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共种；其中满足条件的有，，，，，，，，，，共种；所求概率．19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，点为的中点．(1)求证：平面；(2)若点到平面的距离为2，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，取的中点，连接，．利用平行四边形证明出，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）先证明出平面，点到平面的距离为．解三角形得到，．过点作于点.证明出平面．利用等面积法得，即可点到平面的距离．【详解】(1)如图，取的中点，连接，．因为为线段的中点，所以且．又，且，所以．所以且，所以四边形为平行四边形，则．又平面，平面，所以平面．(2)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，，面，面，所以平面．所以点到平面的距离为．因为，所以，．过点作于点.因为平面，所以，因为，所以平面．在中，，，，所以，由等面积法得，即点到平面的距离为．20．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条相互垂直的直线，，直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E两点，且当的斜率为1时，．(1)求抛物线C的方程．(2)若点M，N满足，，探究：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)是，直线MN过定点.【分析】（1）设直线：，联立抛物线并整理，由韦达定理得，根据已知焦点弦长及抛物线的定义列方程求参数p，即可得抛物线方程.（2）由（1）可设：，则：，联立抛物线方程求M、N坐标，进而写出直线MN的方程，即可判断定点坐标.【详解】(1)设，，依题意，，当的斜率为1，直线：，联立，消去x得：，则，故，解得，故抛物线C的方程为．(2)由（1）知：．根据题意，直线的斜率存在且不为0，设：，则：．设，由，消去y可得，，则．因为M为线段AB的中点，所以，则，所以，同理，则，直线MN：，即，则直线MN过定点．21．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数（为的导函数）在上的零点个数．【答案】(1)(2)在上的零点个数为1【分析】（1）求出，从而可知切线斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.（2）求得，，令，再求得，讨论和时，的单调性结合零点存在性定理即可得出在上的零点个数．【详解】(1)依题意，，故，而，故所求切线方程为，即．(2)由（1）可知，则，．令，则．（i）当时，，所以为增函数，又因为，，所以存在唯一实数，使得．（ⅱ）当时，，则．由（i）（ⅱ）可知，当时，，单调递减；当时，，单调递增．因为，，所以存在唯一实数，使得．所以在上的零点个数为1．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），点A，B在曲线C上，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据消去参数可得，将、代入计算整理即可；(2)根据题意可设、，利用三角恒等变换化简计算可得，结合正弦型函数的性质即可得出结果.【详解】(1)由曲线C的参数方程为(为参数)，得,又，所以，将，代入，得，即，故曲线C的极坐标方程为．(2)不妨设，，则，，故，当且仅当时，取得最大值．23．已知函数．(1)求