2022届湖南省益阳市高三下学期3月调研考试数学试题解析版

2022届湖南省益阳市高三下学期3月调研考试数学试题一、单选题1．若复数满足，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第四象限，故选：D2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由可求出，比较与的关系可得出结论.【详解】因为，所以，显然由推不出，由可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.3．已知，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算和指数函数、对数函数的性质判断．【详解】，，，所以．故选：B．4．若，则A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求得sin2α﹣sinαcosα﹣3cos2α的值．【详解】由可知：∴，∴，又==.故选C.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5．为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为(

)A．36 B．45 C．72 D．90【答案】D【分析】采用插空法即可求解.【详解】采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法；第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9×10＝90种排法.故选：D.6．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（

）A．为定值10 B．为定值6C．最大值为18 D．与P的位置有关【答案】A【解析】设，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.【详解】设.，因为，，所以.故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.7．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋此赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场此赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，再连赢三场，求三种情况的概率之和即可．【详解】甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1胜3负5胜6胜；1负4胜5胜6胜；所以甲获得冠军的概率为,故选：D8．若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．点的运动轨迹为双曲线的一部分C．若，，则D．不存在点，使得取得最小值【答案】C【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；由且，解得：，∴，则，∴，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设△的内切圆的半径为，则，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正确；若与关于y轴对称，则且，而，∴，故要使的最小，只需三点共线即可，易知：，故存在使得取最小值，D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值．二、多选题9．据新华社报道，“十三五”以来，中国建成了全球规模最大的信息通信网络，光纤宽带用户占比从2015年底的56%提升至94%，行政村通光纤和4G的比例均超过了99%；中国移动网络速率在全球139个国家和地区中排名第4位；在5G网络方面，中国已初步建成全球最大规模的5G移动网络．如图是某科研机构对我国2021-2029年5G用户规模和年增长率发展的预测图，则下列结论正确的是（

）2021—2029年中国5G用户规模和年增长率发展预测图A．2021-2029年，我国5G用户规模逐年增加B．2022-2029年，我国5G用户规模后4年的方差小于前4年的方差C．2022-2026年，我国5G用户规模的年增长率逐年下降D．2021-2029年，我国5G用户规模年增长最多的是2022年【答案】ABC【分析】根据预测图对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】由题图可知，2021-2029年，我国5G用户规模逐年增加，故A正确；2022-2029年，我国5G用户规模前4年比后4年的分散，方差比后4年的大，故B正确；2022-2026年，我国5G用户规模的年增长率逐年下降，故C正确；2021-2029年，我国5G用户规模年增长最多的是2023年，增加了37499.9万人，而2022年我国5G用户规模增加了20498.1万人，所以D错误．故选：ABC10．关于函数，下列说法正确的是（

）A．若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1x2是π的整数倍B．函数的递减区间是（）C．函数图象关于对称D．函数图象关于点对称【答案】BC【分析】求出函数的零点，从而可判断A；令，求出的范围，从而可判断B；判断是否为函数的最值，即可判断C；求出，即可判断D.【详解】解：对于A，由函数，令，则，，因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以，所以是的整数倍，故A错误；对于B，令，则，即函数的递减区间是，故B正确；对于C，，所以函数图象关于对称，故C正确；对于D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D错误.故选：BC.11．函数的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由题得，再利用数形结合分析求解.【详解】解：由题得可理解为单位圆上动点到两定点的距离和.如图所示，点处于位置时，三点共线取到最小值，当位于时，，此时.过了点逆时针运动时，都在逐步增加，当位于时，，此时.故选：CD12．已知正方体的棱长为2，点E、F分别是棱、的中点，点P在四边形内（包含边界）运动，则下列说法正确的是（

）A．若P是线段的中点，则平面平面B．若P在线段上，则异面直线与所成角的范围是C．若平面，则点P的轨迹长度为D．若平面，则长度的取值范围是【答案】ACD【分析】对于A，先证明，，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，由可将与所成的角转化为与所成的角，结合为正三角形可得与所成角的取值范围；对于C，先利用线面位置关系得到点的轨迹，然后求解即可；对于D，先由线线平行证明线面平行，进而得面面平行，可确定点的轨迹为线段，然后结合勾股定理求解长度的最值即可求解．【详解】对于A：因为、分别是线段、的中点，所以，则，则，所以，又由平面，所以，所以平面，又因为平面，所以平面平面，即选项A正确；对于B：在正方体中，，所以与所成的角为与所成的角，连接、，则为正三角形，所以与所成角的取值范围为，即选项B错误；对于C：设平面与直线交于点，连接、，则为的中点，分别取、的中点、，连接、、，由，所以平面，同理可得平面，又因为，所以平面平面，又由平面，所以直线平面，故点的轨迹是线段，易得，即选项C正确；对于D：取的中点，的中点，的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，连接、，则，又因为，所以，所以平面，连接、，由，且，得，故、、、四点共面，所以平面平面，因为平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，由知、，连接，，在中，，所以，所以，则，故线段长度的最小值为，线段长度的最大值为，所以长度的取值范围是，即选项D正确．故选：ACD．三、填空题13．二项式的展开式中含的项的系数是____________.（用数字作答）【答案】【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令，解出，再代入计算可得；【详解】解：因为展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中项的系数为；故答案为：14．已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________.【答案】【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时与直线垂直，写出所在直线方程，与直线的方程联立，求得点坐标，然后写出以为直径的圆的方程，再与圆的方程联立可得所在直线方程．【详解】解：的圆心，半径，四边形面积，要使最小，则需最小，当与直线垂直时，最小，此时直线的方程为，联立，解得，则以为直径的圆的方程为，则两圆方程相减可得直线的方程为．故答案为：．15．已知函数，若且，则的最小值为_________.【答案】【分析】根据函数解析式画出函数图形，即可得到，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：由，可得函数图象如下所示：因为且，所以，且，所以，令，，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以；故答案为：16．已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.【答案】【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和.【详解】由，有，；两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，，，从而.所以.故答案为：四、解答题17．在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求的中线长度的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，再利用余弦定理即可求得答案；若选②，则根据正弦定理，边化角，再利用两角和的正弦公式化简，求得答案；若选③，则根据正弦定理，边化角，再利用诱导公式结合倍角公式化简，求得答案；（2）根据可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.【详解】(1)选择条件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得,因为，所以；选择条件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因为，所以，所以,因为，所以；选择条件③：由及正弦定理，得：，因为,，所以.在中，，则，故.因为，所以，则，故；(2)因为，所以，整理得，在三角形中，由余弦定理得.因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，即，即长度的最小值为.18．为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，2、，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用得出数列的递推关系，得其为等差数列，再求得后可得通项公式；（2）由数列的生成规律得出其前50项中含有的中的项（数）和数列的中的项（数），然后由分组求和法计算．【详解】(1)，解得（舍去），由得时，，两式相减得，，因为，所以，是等差数列，公差为2，所以；(2)由于，，，因此数列的前50项中含有的前9项，含有中的前41项，所求和为．19．如图，四棱锥中，，，，，为线段上一点，平面，平面平面.(1)求；(2)若三棱锥体积为，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接交于，求出，由线面平行的性质定理得，从而得结论；（2）证明平面，以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】(1)连接交于，由，，得，所以，，即，，，因为平面，平面，平面平面，所以，所以；(2)因为，，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（1）得，所以，即，，平面即为平面，如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，平面一个法向量是，．二面角为锐二面角，所以其余弦值为．20．从2019年的11月份开始，新冠肺炎疫情逐渐在全球开始蔓延，目前，国内外疫情防控形势仍严峻复杂.(1)为有效控制疫情传播，需对特殊人群进行核酸检测，为提高检测效率，多采用混合检测模式.“k合1”“混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则每人的检测结果均为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确，若将这100人随平均分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测试.求两名感染者不在同一组的概率.(2)2021年12月来，西安市爆发了新冠局部疫情，受疫情影响，餐饮和旅游都受到了影响.某网站统计了西安“面”在2022年1月7至11日的网络售量y（单位：百件），得到以下数据：日期x7891011销售量y（百件）1012111220根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由.参考数据：，参考公式：相关系数.回归直线的方程是：，其中，.【答案】(1)(2)可以，【分析】（1）先求得两名感染者在同一组的概率，再求不在同一组的概率即可；（2）根据已知数据求得相关系数，再求回归直线方程即可.【详解】(1)若两名感染者在同一组，则该组还需从另外的98人中抽取3人，故两名感染者在同一组的概率为.故所求两名感染者不在同一组的概率为；(2)由已知得：，，，，，因为，说明y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系，∴，则y关于x的线性回归方程为：.21．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x－1）2＋y2＝16，点B（－1，0），过B的直线l与圆A交于点C，D，过B作直线BE平行AC交AD于点E.(1)求点E的轨迹τ的方程；(2)过A的直线与τ交于H，G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）画出图形，转化可得，结合椭圆第一定义可求τ的方程；（2）设过点A的直线为x＝ty＋1，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，写出韦达定理，结合化简得，结合换元法和基本不等式可求，再由转化得即可求解.【详解】(1)如图，因为，所以＝，|AC|＝|AD|＝4，所以|EB|＝|ED|，所以|EB|＋|EA|＝|ED|＋|EA|＝|AD|＝4>|AB|＝2，所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴长为4的椭圆的一部分，设椭圆方程为，则2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b