2021-2022学年北师大版必修5-3.3.1基本不等式-教案3-

课题：根本不等式教学设计教材：北师大版必修5修第3章第三节第一课时一、教学目标：〔1〕知识目标：学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等〔2〕能力目标：通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力〔3〕情感目标：通过探索与发现的过程，使学生亲临数学研究的成功与快乐，感悟数学朴实无华的内在美；学会提出问题，分析问题和解决问题；激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质。二、教学重点和难点重点：均值定理证明难点：等号成立条件三、教学方法与手段采用问题式教学为主线，辅以启发式，探究式，自主式，讨论式的教学方式，激发学生积极参与，在知识的发生开展中渗透类比，化归的数学思想。同时借助多媒体教学，创设问题情境，为使学生乐学，想学，好学数学提供丰富的资源。教学程序教学环节教学程序设计意图1、创设情境、引入课题。先让学生用已经准备好的四个全等的直角三角形拼成各种图形，选出三小组代表拼出了三种具有代表的图形：风车形状，国际数学大会的会标，正方形等等。从学生身边熟悉的实际问题出发，让学生体会数学来源于生活又应用于生活，对材料中的问题从而引入课题。2通过探究实例，观察归纳，形成概念。通过国际数学大会的会标中图形的面积关系引入新课：1．重要不等式：如果从拼图中观察出图形的面积得到结论另一方面从数的角度证明：当所以，，即引导学生充分讨论，深入探究，通过观察国际数学大会的会标中正方形的面积与四个直角三角形的面积之和的关系引出重要不等式，又用做差比拟法从数的角度证明此不等式，培养学生数形结合的思想。换元代换，数形结合，深化概念。接着，由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果a,b是正数，那么证明：∵，即显然，当且仅当说明：ⅰ〕我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ〕成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是非负数ⅲ〕“当且仅当〞的含义是充要条件再从几何的角度证明均值不等式：如图：以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立归纳均值不等式几何特征和代数特征，并得出根本不等式的其它几种变形。师生互动，层层设问，采用换元的思想得出均值不等式，并强调不等式中a,b需要满足的条件及等号成立的条件。培养学生换元的思想，整体与局部的思想。讲解中始终贯穿数形结合的数学思想方法,从形与数两个角度来证明根本不等式，并说明等号成立的条件。4、学以致用，培养能力例1．试判断〔x>0与2的大小关系？如果将条件“x>0〞去掉，上述结论是否仍然成立？与2的大小关系？

在结论成立的根底上，条件“a>0,b>0〞可以变化吗？为能及时将新知识纳入已有的知识系统，强化概念的理解，领会概念间的内在联系将此例题和学生一起完成。5、知识延伸、自主探究变式2．试判断与1的大小关系？

变式的最小值求函数的最大值归纳总结出利用均值不等式求函数最值的条件及取等的条件。接下来共同探究例题2及例题2的再问，进一步深化知识。这时把时间交给学生，即能及时让学生稳固新知识，又能使他们品尝到成功的喜悦，树立信心继续解决问题，这也正表达了数学教学中充分发挥学生的主观能动性的教学理念。设置这两个练习是两个极易混淆的背景，需要学生课下充分讨论，探究，深思熟虑后再解决，是课堂教学的延伸，同时也可以激发学生的潜力，进一步培养他们自主探究，团结协作，勇于探索的精神。6、解决实际问题通过讲解例题2及再问问题，总结解决此类问题的方法规律，要注意的问题。进一步培养学生探究意识及创新意识，提高学生分析问题,解决问题的能力，并能利用所学数学知识，解决一些简单的实际问题，同时认识到生活中蕴含着大量的数学信息。7、总结反思，提高认识本堂课你学到了什么？两个重要的不等式:以上不等式中都是当且仅当a=b的时候等号成立。2.思想方法技巧：

〔1〕数形结合思想、整体与局部

〔2〕换元法、比拟法、分析法

〔3〕配凑等技巧不会反思就不会学习，通过反思，深化知识理解，完善认知结构，领悟思想方法。8、作业布置1.1.课本94页业A组3题和B组1题2.预习3.3节根本不等式和最大〔小〕值。3.课外题及思考。为下节课埋下伏笔。作业1能保证全体学生对知识的稳固应用，作业2，3能兼顾学有余地的学生，同时将探究的问题延伸到课外，渗透类比思想，让不同的学生在数学上得到不同的开展，也表达了数学教学中遵循教学相长的教学原那么。教学反思本节教材主要研究：本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数〔〕，几何平均数〔〕及它们的关系〔≥〕它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的根本工具，又是求函数最值的重要工具它是本章的一个根底知识。所以无论从知识的结构上，还是对学生能力的培养上，本节课都有十分重要的作用。基于以上教材所处的地位和作用。我力求到达以下的教学目标：知识目标：学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等能力目标：通过诱导，探索得出结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力。情感目标：通过探索与发现的过程，使学生亲临数学研究的成功与快乐，感悟数学朴实无华的内在美，学会提出问题分析问题解决问题，激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质。本节课教学注重表达以学生为本的理念，力求使培养学生的“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观〞的三维目标落实于课堂实践中。为了突出重点突破难点，本课的教学设计改变传统的老师讲授，学生接受的模式，采用学生动手，动脑，讨论，探索，老师指导尝试的方法。充分地调动学生的积极性，发挥了学生的主体地位，使教学过程成为一个再发现，再创造的认识过程。推广到一般形式，由简单到复杂，由特殊到一般，螺旋上升，符合学生学习的心理特点。充分利用教材中的“思考〞、“探究〞问题，还适当补充一些问题，通过实例，让学生总结归纳，引导学生合作探讨，调动学生获取新知识的兴趣，更好地在课堂上展现师生互动。同时在教学过程中重视培养学生类比、化归的数学思想，培养他们用运动变化的观点和类比的方法来探索新问题，激发他们勇于探索，敢于创新的精神，进一步把所学知识转化为解决问题的能力。事实上，到了高三以后，有些学生还是很难准确地两个根本不等式的使用条件及取等的条件。所以对于高二阶段的学生，教学中始终牢牢把握这一难点，教学中我首先创设情境，激发学生的学习兴趣，把问题作为教学的出发点，接着鼓励学生观察归纳，初步形成分类加法计数原理的概念，再类比归纳出分步乘法计数原理的概念，为了进一步深化概念，让学生更好地区分两个原理，我不失时机地将一组训练题及变式题请同学自己完成，在讲解例题中也是围绕怎样使用均值不等式来讲解，为了进一步培养能力，还设置了一个变式问题，并鼓励学生自己归纳出两个原理的异同点。在知识延伸，自主